专题23 以函数为背景的直角三角形的存在性问题-2024年中考数学重难点专项突破（全国通用）

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知识内容：
在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理的计算来确定直角三角形．
解题思路：
按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；
计算出相应的边长等信息；
根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．
【例题讲解】
1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直
角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
x
y
A
B
C
O
【答案】（1）A、B的坐标分别为（，0），（2，0）；
（2）直线l解析式为或．
【解析】（1）解方程，
可得：A、B的坐标分别为（，0），（2，0）；
（2）设AB中点为D，D点为（，0），
以D为圆心，AD为半径作圆，
若l与y轴平行，则找不到3个M点，使为直角三角形．
∴l不与y轴平行．
∴必定存在2个M点，使或．
要满足“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”，
即直线l与圆D相切，设切点为M0，过M0作M0H⊥x轴于H，
∵，，
∴，．
∴M0的坐标为或．
∴直线l解析式为或．
【总结】本题主要考查二次函数背景下的直角三角形的存在性问题，注意认真分析题目中的条件，从而求出正确的结果．
2、在平面直角坐标平面内，O为原点，二次函数的图像经过点
A（，0）和点B（0，3），顶点为P．
（1）求二次函数解析式及点P的坐标；
（2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标．
【答案】（1）解析式：，顶点（1，4）；
（2）点Q的坐标是（1，0）或（9，0）．
【解析】（1）由题意得，解得：，；
∴二次函数解析式为，
∴点P的坐标是（1，4）；
（2）P（1，4），A（，0），∴
设点Q的坐标是（x，0），则，．
eq \\ac(○,1)当时，，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点Q的坐标是（1，0）；
eq \\ac(○,2)当时，，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标是（9，0）．
eq \\ac(○,3)当时，不合题意．
综上所述，所求点Q的坐标是（1，0）或（9，0）．
【总结】本题一方面考查二次函数的解析式及顶点坐标的确定，另一方面考查二次函数背景下的直角三角形的存在性，注意利用勾股定理确定点的坐标．