1号卷2022年高考最新原创信息试卷（四）理数（含解析）

这是一份1号卷2022年高考最新原创信息试卷（四）理数（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．12B．-12C．6D．-6
4．若直线始终平分圆，则（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
5．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．31B．C．D．
7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过的直线与E的左支交于A，B两点，M为的中点，（O为坐标原点），若M恰好在y轴上，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，圆O为四边形的外接圆，点M在直径上，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上单调递减
11．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．，对，不等式恒成立，则正整数的最大值与最小值之和为（ ）
A．8B．6C．5D．2
二、填空题
13．已知，，，之间的夹角为60°，则 .
14．甲、乙、丙3个公司承包7项不同工程，甲、乙公司均承包3项，丙公司承包1项，则共有 种承包方式.（用数字作答）
15．记抛物线的焦点为F，点，直线与抛物线C交于M，N两点，则四边形的面积为 .
16．在等差数列中，，，且，若存在，使得成立，则实数的取值范围为 .
三、解答题
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)若，求角C的大小；
(2)求证：，，成等差数列.
18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，点是线段上靠近的三等分点，.
(1)求证：是直角三角形；
(2)若，与平面所成角的正弦值为，求的值.
19．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立.
(1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；
(2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由.
20．已知椭圆的下顶点为，左、右焦点分别为，.
(1)求的面积；
(2)过点作直线交圆于，两点，过点作垂直于的直线交椭圆于（点异于点），求的最大值.
21．已知函数，.
(1)若（其中为的导函数），讨论的单调性；
(2)求证：.
22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数）.以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的极坐标方程以及直线l的直角坐标方程；
(2)直线l与曲线C交于M，N两点，且，求的值.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)已知，求证：.
参考答案：
1．C
【分析】根据题意结合交集运算求解.
【详解】由题意可得，，所以.
故选：C.
2．D
【分析】由复数的乘除法运算求解即可.
【详解】.
故选:D.
3．A
【分析】根据等差数列的定义、求和公式和等差数列的性质进行计算.
【详解】由题意得，，解得，
∴数列的公差为.
故选：A
4．A
【分析】根据圆的一般方程求得圆的圆心，再根据圆的直径的性质可得选项.
【详解】解：由得圆心，因为直线平分圆，所以直线必过圆心，则，则．
故选：A.
5．B
【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义及二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】依题意，，所以.
故选：B
6．B
【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最小值即得.
【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，其中，，，
目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，
作直线，平移直线到直线，当直线经过点A时，直线的纵截距最大，z最小值，
则，所以的最小值为.
故选：B

7．D
【分析】利用根式与分数指数幂的互化和指对数函数的单调性，分别判断的范围即可得到它们的大小关系.
【详解】因，，又，则，.
故选：D.
8．A
【分析】由题意可得，从而，，，在中，利用勾股定理求解.
【详解】解：如图所示：
设，
由双曲线的定义可得，
由条件可得，且，
∴，，
在中，由勾股定理得，解得，
∴E的离心率.
故选：A.
9．A
【分析】根据图形的几何特征，以来表示，根据平面向量的数量积运算律计算即可.
【详解】由，可得，
则，，∴，
则
.
故选:A.
10．C
【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】由题意得，，
将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
则 ，
则函数的最小正周期为，则选项A正确；
当时，，
所以，函数的图象关于直线对称，则选项B正确；
当时，，
所以，函数的图象不关于点对称，则选项C错误；
当时，，则函数在上单调递减，则选项D正确.
故选：C.
11．C
【分析】根据题意可知，则正三棱锥可看作边长为2的正方体的一角，结合正方体的外接球运算求解.
【详解】设P在底面上的射影为M，
因为，可知M为的中心，
由题意可得，
由，解得，
在正中，可得，
在中，，
则，
可得，，，
可知正三棱锥可看作边长为2的正方体的一角，

则正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，
记外接球半径为，则，
所以球的表面积.
故选：C.
12．B
【分析】将在上恒成立，转化为在上恒成立求解.
【详解】由在上恒成立，可得，
即在上恒成立，
只需求出的最小值，的最大值.
设，
则，
∴在上单调递减，得.
再设，
易得在上单调递减，
∴，故有.
若存在，则必有，即，
又，且n为整数，故满足要求，的整数都不成立，
故整数n的最大值为4，最小值为2，
∴最大值与最小值之和为6.
故选：B.
13．
【分析】通过计算即可.
【详解】由题意得，
∴.
故答案为：.
14．140
【分析】第一步：从7项不同工程中选3项给甲公司；第二步：从剩余4项工程中选3项给乙公司；第三步：剩下的1个项目给丙公司.根据分步乘法计数原理，求共有多少种不同承包方案.
【详解】由题意得，.
故答案为：140
15．
【分析】结合图形，因直线穿过四边形，且长度可求，故可把四边形的面积分割成两个三角形的面积的和来计算，需要求两个三角形的高，而这可以通过直线与抛物线方程联立后运用韦达定理求得.
【详解】
如图，由题意得，，联立，得.
设，，则，，
而四边形的面积为.
故答案为：.
16．
【分析】由等差数列的通项公式求出的首项和公差，得到的通项公式，利用裂项相消求出，从而将问题转化为存在，使得成立，利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意得，，又，解得，
∴，∴，
∴.
∵存在，使得成立，即存在，使得成立.
∵（当且仅当时取等号），∴，
即实数的取值范围是.
故答案为：
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先利用诱导公式及正弦公式化角为边，再结合三角形的面积公式即可得解；
（2）先利用诱导公式及正弦公式化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简，再结合等差数列的定义即可得证.
【详解】（1）由得，，
由正弦定理得，即，
∵，∴，
∴，即，
∵，∴；
（2）由题意得，，
由正弦定理得，即，
又，
∴，即，
则，，成等差数列.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，，从而得到平面，即可证明是直角三角形；（2）建立空间直角坐标系，用向量数量积计算与平面所成角的正弦值，解方程即可求解.
【详解】（1）∵平面，平面，∴.
设，则，∴，∴，∴.
又，∴平面.
∵平面，∴，∴是直角三角形.
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，，则，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，，∴.
∵，
解得，（舍去），∴.
19．(1)选择回答B类取得复赛资格的概率为，选择回答C类问题取得复赛资格的概率为
(2)按或顺序回答问题取得复赛资格的概率最大，理由见解析
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式分类讨论计算即可；
（2）根据甲回答A，B两类问题正确的概率相同，从，，这三种回答顺序考虑，根据独立事件的概率公式计算比较大小即可.
【详解】（1）甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为，
甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为，
∴所求概率为.
（2）由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑，，这三种回答顺序，
按顺序回答，取得复赛资格的概率为，
按顺序回答，取得复赛资格的概率为，
按顺序回答，取得复赛资格的概率为，
∵，
∴按或顺序回答问题取得复资资格的概率最大.
20．(1)
(2)
【分析】（1）分别求出，，的坐标，即可得到的面积；（2）由题可得直线的斜率存在，不妨设为，则直线，当时，求出，当时，得到直线的方程为，利用圆的弦长公式求出，联立椭圆与方程，得到韦达定理，从而表示出，得到，再利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意得，，，.
的面积.
（2）易知直线的斜率存在，不妨设为，则直线.
当时，直线的方程为，直线的方程为，
则，，此时；
当时，直线的方程为，圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长为.
联立，得，，则，
，
.
当且仅当，即时，等号成立，
，面积的最大值为.
21．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，求出的单调区间；
（2）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，从而证明.
【详解】（1），
则，
当时，由得，得，
∴在上单调递减，在上单调递增.
当时，，∴在上单调递增，
当时，令，得或；
令，得，
∴在上单调递减，在和上单调递增，
当时，令，得或；
令，得，
∴在上单调递减，在和上单调递增.
（2）构造函数，则，，
则在上单调递增，，，
∴，，即，∴.
当，，单调递减；当，，单调递增，
∴的最小值为，
∵，∴等号不能取，∴，∴.
22．(1)曲线C的极坐标方程为，直线l的直角坐标方程为
(2)
【分析】（1）利用消参法即可得曲线的一般方程，由极坐标与直角坐标之间的互化即可求解，
（2）由直线的参数方程的几何意义，即可由韦达定理求解.
【详解】（1）由题意得，曲线，即，
曲线C的极坐标方程为.
直线l的极坐标方程为，
直线l的直角坐标方程为.
（2）设直线l的参数方程为（t为参数），
代入中，化简得，
设M，N两点对应的参数分别为，，则，，
则.
23．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分和讨论即可；
（2）求出，再利用柯西不等式即可.
【详解】（1）当，即时，，解得，；
当，即时，，解得，.
综上所述，不等式的解集为.
（2）由题意得，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，则.
由柯西不等式，得，
当且仅当时，等号成立，即，
成立.