山东省日照市东港区新营中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 若有意义，则x的取值范围是
A. 且B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】由题意可知：，
解得：且，
故选A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为0、二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.
2. 在晴朗的夜晚，我们仰望天空会看到无数的星星在闪烁，其中绝大多数是像太阳一样发光的星球称为恒星，科学家们估算宇宙中可能有1000亿到4000亿颗恒星，多到让人无法想象！下面用科学记数法表示4000亿正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解： 亿，
故选：A．
3. 下列计算式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方运算．根据题意对选项逐个进行计算即可选出答案．
【详解】解：∵，故A选项正确；
∵，故B选项不正确；
∵，故C选项不正确；
∵，故D选项不正确，
故答案选：A．
4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即且，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5. 我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，就比竿短5尺．设竿长为x尺，根据题意列一元一次方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．设杆子为x尺，则索为尺，根据“折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x一元一次方程．
【详解】设杆子为x尺，则索为尺，根据“折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x一元一次方程．
【解答】解：设杆子为x托，则索为尺，
根据题意得：，
故选：C．
6. 是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”．如：的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数字的规律变化，分别求出数列的前个数得出该数列每个数为一周期循环，据此可得答案，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
详解】解：∵，
∴，
，
，
，
该数列每个数为周期循环，
∵，
∴，
故选：．
7. 如图，正方形中，，点、同时从点出发，以的速度分别沿、运动，到点时停止运动设运动时间为，的面积为，则与的函数关系可用图象表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，分当时，点F在上，点E在上，根据求出S与t之间的函数关系式；当时，点F在上，点E在上，此时，则，据此可得答案．
【详解】解：当时，点F在上，点E在上，此时，
∴，
∴
；
当时，点F在上，点E在上，此时，
∴，
∴四个选项中只有D选项中的函数图象符合题意，
故选D．
8. 我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（）
A. 4B. 2C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数，代数式求值及有理数的运算，结合已知条件求得的值是解题的关键．
根据题意求得的值后代入中计算即可．
【详解】解：由题意可得，
则，
那么，
则，
根据题意可得不符合题意，舍去，
则，
则，
故选：D．
9. 如图，将直线向下平移m（m＞0）个单位长度后得到直线l，直线l与反比例函数的图像在第一象限内相交于点A，与x轴相交于点B，则（ ）
A. 16B. 12C. 8D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移规律，平移后解析式是，代入求出与x轴交点B的坐标是，设A的坐标是，求出，代入求出即可．
【详解】解：∵平移后解析式是，
代入得：，
即，与x轴交点B的坐标是，，
设A的坐标是，
∴
故选：B．
10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线对称轴为直线x＝1；③ax2+bx+c＝5的另一个解是x＝4；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，其中，正确的个数（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设抛物线解析式为：，将（0，-3）代入得，根据可判断结论①正确；抛物线的解析式为，即可得抛物线的对称轴为直线，可判断结论②正确；根据所给的表格可得，当时，，再根据抛物线的对称性得的另一个解为4，可判断结论③正确；根据所给表格可判断结论④错误；根据所给表格可得，抛物线于x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），则抛物线于x轴的两个交点间的距离是4，可判断结论⑤正确，即可得．
【详解】解：设抛物线解析式为：，
将（0，-3）代入得：，
解得：，
∵，
∴抛物线开口向上，故①正确；
抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，故②正确；
根据所给的表格可得，当时，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴的另一个解为4，故③正确；
根据所给表格可得，当时，，故④错误；
根据所给表格可得，抛物线于x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），
则抛物线于x轴的两个交点间的距离是：，故⑤正确；
综上，①②③⑤正确，正确的个数有4个；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 分解因式：_______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法和平方差公式是关键；
先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
详解】解：原式
．
12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据已知可得，整体代入，即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴
故答案为：．
13. 已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，即可求方程组的解．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，用整体思想解题是关键．
14. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解及解不等式组，先对不等式进行求解，再根据不等式组的整数解有个即可解决问题，能根据不等式组整数解的个数建立关于的不等式组是解题的关键．
【详解】解：由题知，解不等式得，；
解不等式得，；
∵不等式组的整数解有个，
∴，解得，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，点在上，且轴平分角，求______.
【答案】
【解析】
【分析】作轴，证明△COD∽△AED，求得AE=1，再证明△CBO∽△BAE，求得OE=，进而可求出k的值.
【详解】如图所示：作轴
由题意：可证
又∵
∴
令，则
∵轴平分
∴
∵轴
∴可证
则，即，解得：
∴
故.
【点睛】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
16. 已知：如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题利用二次函数解析式得出、两点的坐标，连接，再利用勾股定理计算出，取的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，连接，再利用中位线得出，最后根据三角形三边关系，给出，即可解题．
【详解】解：连接，取的中点，连接，，

，
，
当时，有，解得，，
，
，
，
点是的中点，
为三角形的中位线，即有，
，当、、三点共线等号成立，即，
故的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、三角形三边关系和三角形中位线，解题的关键在于作辅助线构造三角形中线和中位线，即可解题．
三、解答题（8道大题，共72分）
17. （1）计算，；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（）；（），．
【解析】
【分析】（）先分别求解绝对值，正弦，算术平方根，负整数次幂，然后进行加减运算即可；
（）先通分、因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可；
本题考查了绝对值，特殊的三角函数值，算术平方根，负整数次幂和分式化简求值，解题的关键熟练掌握以上知识的运算法则．
【详解】（）解：原式，
，
；
（）解：原式，
，
，
，
当时，
原式，
，
．
18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根为，，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围；
（2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值．
【小问1详解】
解：，
∵有两个不相等的实数，
∴，
解得：；
【小问2详解】
∵方程的两个根为，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）．
即：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
19. 我边防局接到情报，如图1，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇追赶．图2中，，分别表示两船相对于海岸的距离与追赶时间之间的关系．
（1）预计快艇在距离海岸多少能追赶上可疑船只？
（2）为了对可疑船只实施有效检查，边防局同时派出快艇协助快艇追赶，快艇与快艇的出发地相同，且快艇可比快艇B提前追赶上，则快艇的速度为多少？
【答案】（1）快艇在距离海岸能追赶上可疑船只．
（2）快艇的速度为．
【解析】
【分析】（1）本题考查的是实际问题与一次函数，设直线的解析式为，直线的解析式为，把函数图象中的已知坐标代入解析式求解．然后通过与的解析式，列方程求解即可．
（2）本题通过快艇与可疑船只离海岸距离相同，利用求出可疑船只所用的时间，再利用速度路程时间求解即可．
【小问1详解】
解：设直线的解析式为，
当，时，有，解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
当，时，有，解得，
直线的解析式为，
当快艇追赶上可疑船只时，
有，解得，
把代入中，有，
所以快艇在距离海岸能追赶上可疑船只．
【小问2详解】
解：快艇可比快艇B提前追赶上，
此时快艇与可疑船只距离海岸（），
即当时，有，解得，
20. 学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．
（1）列表：
则________，________．
（2）描点并画出该函数的图象；
（3）判断：函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形；
观察函数图象，当时，x的取值范围是________．
观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值．
【答案】（1）；
（2）图见解析 （3）是；；存在最小值，最小值是
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，绝对值的意义，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
（1）把x的值代入计算，即可求出a、b的值；
（2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象；
（3）利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断；
分情况讨论：时和时，分别求解不等式，即可得到答案；
利用绝对值的性质，得到，当且仅当时取等号，即可判断最小值．
【小问1详解】
解：，
当时，，即；
当时，，即，
故答案：；；
【小问2详解】
解：函数图象如下：
【小问3详解】
解：由（2）图象可知，函数的图像是轴对称图形，
故答案为：是；
，
当时，，即，解得：；
当时，，即，解得：，
综上所述：x的取值范围是；
故答案：；
存在，最小值为，证明如下：
，
，当且仅当时取等号，
函数的最小值为；
即存在最小值，最小值为．
21. 疫情期间，为满足市民防护需求，某药店想要购进A、B两种口罩，B型口罩的每盒进价是A型口罩的两倍少10元．用6000元购进A型口罩的盒数与用10000元购进B型口罩盒数相同．
（1）A、B型口罩每盒进价分别为多少元？
（2）经市场调查表明，B型口罩受欢迎，当每盒B型口罩售价为60元时，日均销量为100盒，B型口罩每盒售价每增加1元，日均销量减少5盒．当B型口罩每盒售价多少元时，销售B型口罩所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
【答案】（1）A型口罩每盒进价是30元，则B型口罩每盒进价为50元
（2）当B型口罩每盒售价为65元时，最大日均总利润为1125元
【解析】
【分析】(1) 设A型口罩每盒进价是x元，则B型口罩每盒进价为(2x-10)元，根据题意即可列出分式方程，解方程即可求得；
(2) 设B型口罩每盒售价为m元，销售B型口罩所得日均总利润为w元，根据题意即可得出w关于m的二次函数，再根据二次函数的性质，即可解答．
【小问1详解】
解：设A型口罩每盒进价是x元，则B型口罩每盒进价为(2x-10)元，
根据题意得：
解得x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
2x-10=60-10=50，
答：A型口罩每盒进价是30元，则B型口罩每盒进价为50元；
【小问2详解】
解：设B型口罩每盒售价为m元，销售B型口罩所得日均总利润为w元，
根据题意得：w=(m-50)[100-5(m-60)]=-5m2+650m-20000=-5(m-65)2+1125，
，
时w取得最大值，最大值为1125元，
答：当B型口罩每盒售价为65元时，销售B型口罩所得日均总利润最大，最大日均总利润为1125元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用与性质，根据题意列出方程和函数关系式是解决本题的关键．
22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点A，点C在反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为D，与交于点E，．

（1）求a，k的值；
（2）若点P为x轴上的一点，求当最小时，点P的坐标；
（3）F是平面内一点，是否存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）先将代入即可求出a的值，再将点B的坐标代入，即可求出k的值；
（2）先求出点A的坐标，得出，则，即点C的横坐标为2，求出，作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，点P即为所求，易得，用待定系数法求出直线的函数表达式为，即可求出点P的坐标；
（3）根据题意，结合平行四边形对角线互相平分的性质，进行分类讨论，①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时．
【小问1详解】
解：把点代入得：，
∴，
把代入得：，解得：，
综上：；
【小问2详解】
解：把代入得：，
解得：，
∴，则，
∵，
∴，即点C的横坐标为2，
∵，
∴反比例函数表达式为：，
把代入得：，
∴，
作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，点P即为所求，
∴，
设直线的函数表达式为，
把，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为，
把代入，
解得：，
∴；
【小问3详解】
解：
设，
①当为对角线时，
，解得：，
∴，
②当为对角线时，
，解得：，
∴，
③当为对角线时，
，解得：，
∴，
综上：或或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，以及平行四边形对角线互相平分．
23. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．
赵爽在其所著的《公股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为．
任务：
（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程解法的正确构图是___________（从序号①②③中选择）．
（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程）
【答案】（1）② （2）
【解析】
【分析】（1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法；
（2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为 ，中间的小正方形面积为，即可解决问题.
【小问1详解】
∵应构造面积是 的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为 ，中间的小正方形面积为,
∴大正方形的面积又可表示为，
∴大正方形的边长为，所以
，
故正确构图②，
故答案为: ②;
【小问2详解】
首先构造了如图所示的图形，
图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，
所以大正方形的面积又可表示为，
进一步可知大正方形的边长为，所以，
解得
【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想.
24. 抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在直线BC上方抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．
【答案】（1），，t=3，
（2）点
（3）
【解析】
【分析】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；
（2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，，再根据，可求出m，即可求解；
（3）作轴交于点，过点作轴于点，则，再根据，可得，，然后根据，可得，从而得到，在根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，（舍），
∴．
∵在直线上，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为．
【小问2详解】
解：如图，作轴于点，
对于，令x=0，则y=-6，
∴点C（0，-6），即OC=6，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∵点P的横坐标为m．
∴，
∴，，
∵∠CAP=90°，
∴，
∵，
∴，
∵∠AOC=∠AMP=90°，
∴，
∴，
∴，即，
∴（舍），，
∴，
∴点．
【小问3详解】
解：如图，作轴交于点，过点作轴于点，
∵，
∴点，
∴，
∵PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠PNQ=∠OCB，
∵∠PQN=∠BOC=90°，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵EN⊥y轴，
∴EN∥x轴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．x
﹣2
﹣1
0
1
3
y
5
0
﹣3
﹣4
0
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
-1
-2
a
-2
b
0
…