安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式即可求得答案.
【详解】.
故选：A.
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用根式及对数函数的定义建立不等式组，解不等式组得到定义域即可.
【详解】由，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D．
3. 已知集合，，则＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求两个集合，再根据交集的定义，即可求解.
【详解】，即，
且，所以.
故选：C
4. 若，是函数两个相邻的最值点，则等于（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最值点可得出函数的周期，再求出即可.
【详解】因为，是函数两个相邻的最值点，
所以，，
故选：A
5. 函数的图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数奇偶性，再取特殊值验证，即可求得答案.
【详解】，
，
由，可得函数定义域为：
函数为奇函数，故排除A，C选项，
当时，
即在正半轴距离原点最近的零点为：
当时，.
故排除B选项.
故选：D.
【点睛】本题考查函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
6. “关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解.
【详解】当时，则有，解得，不合题意；
当时，则，解得.
综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为，
所以一个必要不充分条件是.
故选：A.
7. 已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.
【详解】由，得，
即函数的单调递减区间为，
令，则函数其中一个的单调递减区间为：
函数在区间内单调递减，
则满足，得，所以的取值范围是.
故选：D.
8. 已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用十字相乘法法进行因式分解，然后利用换元法，作出的图象，利用数形结合判断根的个数即可，
【详解】
由得
则或，
作出的图象如图，
则若，则或，
设，由得，
此时或，
当时，，有两个根，当时，，有1个根，
则必须有，有5个根，
设，由得，
若，由得，或，有一个根，有两个根，此时有3个根，不满足条件．
若，由得，有一个根，不满足条件．
若，由得，有一个根，不满足条件．
若，由得，或或，，
当时，，有一个根，当时，，有3个根，
当时，，有一个根，此时有个根，满足条件．
故，
即实数a的取值范围是，
故选A．
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数的图象交点个数，结合数形结合以及利用分类讨论的思想是解决本题的关键综合性较强，难度较大．已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．
二、多选题：本题共4小题，共5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. 命题：使得，则：，
B. 若奇函数，则一定有
C. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D. 若的定义域为，则的定义域为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，得出命题的否定判断即可；对于B，取即可说明B；对于C，分段讨论，但要注意结合，由此即可判断；对于D，由即可判断.
【详解】对于A，命题：使得，则：，，故A不正确，符合题意；
对于B，若奇函数，时，无意义，故B不正确，符合题意；
对于C，已知函数 在 上是增函数，
首先当时，单调递增，则，
其次当时，（对称轴为）单调递增，则，即，
但若要保证函数 在 上是增函数，还需满足，即，
所以实数的取值范围是 ，故C描述不正确，符合题意；
对于D，若的定义域为，则的定义域满足，解得，故D描述正确，不符合题意.
故选：ABC
10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A.
B. 函数的图象关于对称
C. 函数在的值域为
D. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由图象信息求出表达式，从而即可判断A；注意到是的对称中心当且仅当，由此即可判断B；直接由换元法结合函数单调性求值域对比即可判断C；直接按题述方式平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断.
【详解】如图所示：

由图可知，又，
所以，所以，
又函数图象最高点为，
所以，即，
所以，解得，
由题意，所以只能，故A选项正确；
由A选项分析可知，而是的对称中心当且仅当，
但，从而函数的图象不关于对称，故B选项错误；
当时，，，
而函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
所以函数在的值域为，故C选项正确；
若将函数的图象向左平移个单位，
则得到的新的函数解析式为，故D选项正确.
故选：ACD.
11. 下列式子中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于ABD，利用基本不等式运算求解；对于C，运用对数运算及二次函数的最值可判断．
【详解】对于选项A：，
当且仅当，即当且仅当时等号成立，
但不成立，所以的最小值不为4，故A错误；
对于选项B：因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故B正确；
对于选项C：
，
当时，取得最小值4，故C成立；
对于选项D：由题意，
则，
，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选：BCD．
12. 已知和都是定义在R上的函数，则（ ）
A. 若，则的图象关于点中心对称
B. 函数与的图象关于y轴对称
C. 若，则函数是周期函数，其中一个周期
D. 若方程有实数解，则不可能是
【答案】ACD
【解析】
【分析】A.构造函数，判断函数的奇偶性，即可判断A；
B. 利用函数与的图象关于轴对称，再结合函数图象的平移规律，
即可判断B；
C.结合周期的定义，计算，即可判断C；
D.根据零点的定义，再结合换元法，构造方程，即可判断D.
【详解】A.由，得，
设，则，
所以是奇函数，图象关于对称，
所以根据函数图象变换的知识可知的图象关于点中心对称，故A正确.
B.与的图象关于轴对称，
所以与的图象关于直线对称，故B错误；
C．，所以是周期函数，
其中一个周期，故C正确.
D选项，设是方程的一个解，则，
所以，所以，
令，则，即方程有解，
当时，方程无解，故D项正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数在区间上单调递增，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和单调性列出关系式求解即可.
【详解】因为幂函数在区间上单调递增，
所以，解得.
故答案为：
14. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用同角的基本关系式，可得，代入所求，结合辅助角公式，即可求解．
【详解】因为，，所以，
所以，故答案为
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础题
15. 对于函数，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称为“倒戈函数”，设函数是定义在上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义得到存在，使，转化为有解，建立不等式求解即可.
【详解】因为函数是定义在上“倒戈函数”，
所以存在，使，
即，
即，令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，当或时，，所以，
所以.
故答案为：
16. 对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数新定义及的单调性质，存在，使得，应用换元法，问题化为二次函数在上有两个零点，进而求参数范围.
【详解】由函数单调递增，且函数存在“倍值区间”，
存在，使得，
设,则，且，所以，
因此二次函数在上有两个零点，且，
则，解得，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （1）求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可；
（2）由已知条件可得，再利用诱导公式及同角的商数关系化简原不等式即可得答案．
【详解】（1）
（2）因为，
所以，
所以，
所以或，即或，
又，为第二象限角，所以，所以；
所以.
18. 设函数．
（1）求函数的对称中心；
（2）若，且，求的值．
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（1）先化简的解析式，再由正弦函数的性质得出的对称中心.
（2）由条件可得，结合角的范围，求出的值，再由，结合正弦函数的差角公式可得答案.
【小问1详解】

由，得,
所以对称中心为
【小问2详解】
由得，即，
由，知
所以
.
19. 已知函数．
（1）判断在上的单调性，并用定义证明：
（2）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调递增，证明见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可证明；
（2）根据（1）的结果求函数的值域，讨论和两种情况求函数的值域，转化子集问题，即可求解.
【小问1详解】
设，
，
因为，所以，，
所以，即，
所以在单调递增；
【小问2详解】
由于对任意的，总存在，使得成立，
所以函数的值域是的值域的子集，
由（1）知在单调递增，，，
所以的值域为，
当时，在单调递增，，，
所以，由，解得：，
当时，在在单调递减，，，
所以，由，解得：，
综上所述，或
20. 某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE．如图所示，广告牌底部点E正好为DC的中点，电梯AC的坡度．某人在扶梯上点P处(异于点C)观察广告牌的视角．当人在A点时，观测到视角∠DAE的正切值为．
（1）求扶梯AC的长
（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）设，用分别表示出和，利用两角和的正切公式求出，再根据的范围求解出答案；
（2）作且交于点，设，用分别表示出和，利用两角差正切公式表示出，利用基本不等式求出的最大值，此时即取最大值，利用基本不等式取最值的条件求出，再求出即可.
【详解】（1）由题意，为的中点，,所以，
设，则，，
在中，，
在中，，
由两角和的正切公式，，
，所以，解得，或，
因为，所以，，
所以扶梯AC的长为米；
（2）作且交于点，如图所示，
设，则，，由（1）知，，
，，
当取最大值时，即取最大值，
，
当且仅当，即时等式成立，
所以此时.
【点睛】本题主要考查两角和差正切公式的应用，考查学生分析转化能力、方程思想和计算能力，属于中档题.
21. 设定义域为的奇函数，（其中为实数）．
（1）求的值；
（2）是否存在实数和，使不等式成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】21.
22. 存在；
【解析】
【分析】（1）由是定义在的奇函数，利用，即可求出的值，再利用定义验证.
（2）先证明函数单调性脱去不等式中的，转化为不等式恒成立问题，通过分离参数转化为函数最值问题求解.
【小问1详解】
由是定义在的奇函数，则有，得，把代入函数得，
而，所以符合题意.
【小问2详解】
，因为函数且在单调递增，
所以在上单调递减，从而在上单调递减.
因为在上单调递减. 所以
设函数，要想满足题意，只需大于在上的最小值或者小于在上的最大值即可，
由双勾函数的性质可知在递减，在递增，在上递减，
所以在上的最小值为，在上的最大值为.
所以存在.
22. 设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．
（1）若函数为“函数”，求实数的值；
（2）证明：函数为“函数”；
（3）若函数为“函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见详解； （3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义函数的性质，写出f(x)满足的等式进而求解出结果；
（2）令，得，设，，根据图象可知有解，得证；
（3）根据题意得，，进而整理得存在实数使得，再结合和讨论求解即可.
【小问1详解】
由为“函数”，
得，即，
解得，故实数的值为；
【小问2详解】
由，
则，，
令，得，
设，，
如图可知，两函数由一个交点，
即存在实数，使得成立，
所以函数为“函数”；
【小问3详解】
函数有意义，则，定义域为
因为函数为“函数”，
所以存在实数使得成立，
即存在实数使得，
所以存在实数使得成立，即，
所以当时，，满足题意；
当时，，即，
解得且，
所以实数a的取值范围是
【点睛】思路点睛：本题考查了函数的新定义，解题的关键是理解函数为“函数”的定义，每一问套用定义得到关于的方程，解方程或讨论方程有解.