2022-2023学年河北省保定市定州二中高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省保定市定州二中高一（下）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−2≤x≤2}，B={y|y=x+1,x∈A}，则A∩B=( )
A. [−2,3]B. [−1,2]C. [−3,1]D. [−3,2]
2.命题“所有的质数都是奇数”的否定是( )
A. 所有的质数都不是奇数B. 所有的质数都是偶数
C. 存在一个质数不是奇数D. 存在一个奇数不是质数
3.已知sinα=18,cs(α+β)=−18，则β的值可能为( )
A. πB. π2C. −π2D. 3π2
4.若a=2×2.10.1，b=sin2.1，c=lg1.92.1，则( )
A. b5.“tan(θ−π4)−1=0”是“θ=π2”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知幂函数f(x)的图象经过点(8,4)，则f(x)的大致图象是( )
A. B. C. D.
7.已知函数f(x)=22sin3x在[a,b]上的值域为[0,11 3]，则b−a=( )
A. π6B. π18C. π9D. π3
8.已知奇函数f(x)的定义域为[−3,3]，若对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1x12−x22恒成立，则满足不等式af(a)+(3−a)f(a−3)<6a−9的a的取值范围为( )
A. [0,32)B. [−3,32)C. (32,3]D. (32,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. −497°与2023°的终边相同
B. 若2α为第三象限角，则tanα>0
C. 若cs2α>0，则α为第一象限角
D. 若α+π4为第一象限角，则α不可能为第二象限角
10.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. f(x)=3sin(4x−π3)
B. f(x)=3sin(2x+π12)
C. 将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y=3sin(4x+π3)的图象
D. 将f(x)的图象上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍，得到函数y=3sin(8x−π3)的图象
11.设a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=1，则( )
A. ab+2bc+2ca≤1B. 当a> 66时，a=b=c可能成立
C. ab<12D. 1a2+1b2+14c2≥9
12.已知函数f(x)=14x+2+(2x−1)3，则( )
A. f(x)−f(1−x)=14
B. f(100)+f(99)+f(−98)+f(−99)=1
C. f(x)的图象关于点(12,14)对称
D. f(x)的图象与f(1−x)的图象关于直线x=12对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)= 1−4x2+ sinx的定义域为______．
14.贝雕是海的绮丽与传统文化的结晶，具有贝壳的自然美、雕塑的技法美和国画的格调美，自古以来记载着人与海的故事，传达着人们对美好明天的向往.如图是一个贝雕工艺品，形状呈扇形，已知该扇形的半径为30cm，面积为300πcm2，则该扇形的弧长为______cm．
15.写出一个满足f(x)+f(y)=f(x+y+xy)且f(x)不是常数函数的函数：f(x)= ______．
16.已知函数f(x)=6−acsx−5sin2x，a∈R.若f(x)在(π2,3π2)上有三个零点x1，x2，x3(x1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知csα−2sin(π−α)=0．
(1)若α为第一象限角，求sinα，cs2α；
(2)求1−sinαcsα6sin2α−cs2α的值．
18.(本小题12分)
已知1x+9y=2(xy>0)．
(1)证明：xy≥9；
(2)求−x−4y的最大值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称．
(1)求f(x−4)在[5,7]上的值域；
(2)判断函数g(x)=f(8−x)−lg3(x+8)的奇偶性，并说明理由．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=4cs(ωx−π6)(ω>0)满足f(x+2)=f(x−2)，且f(x)在(13,73)上单调递减．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)已知负数a满足 3f(a)−2cs(ωa+π3)≥3+2csωa恒成立，求a的最大值．
21.(本小题12分)
某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域(即△ABC区域)，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角∠ACB=π4，∠CBA为锐角，假设墙CA，CB的可利用长度(单位：米)足够长．
(1)在△ABC中，若BC边上的高等于14BC，求sin∠CAB；
(2)当AB的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．
22.(本小题12分)
已知函数f(lnx)=2x2−ax+14a2−3．
(1)设a=4．
①判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定义证明；
②判断f(x)在(−1,0)，(0,1)上是否存在零点．
(2)当a>0时，讨论f(x)零点的个数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为A={x|−2≤x≤2}，B={y|y=x+1,x∈A}={y|−1≤y≤3}，
所以A∩B=[−1,2]．
故选：B．
根据给定条件，求出集合B，再利用交集的定义求解作答．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：命题“所有的质数都是奇数”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“所有的质数都是奇数”的否定是“存在一个质数不是奇数”．
故选：C．
根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接求解作答．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由sinα=18,cs(α+β)=−18，得csα=±3 78,sin(α+β)=±3 78，
而sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα，
从而sinβ=1或sinβ=−3132，
当sinβ=1时，只有B符合；当sinβ=−3132时，四个选项均不符合．
故答案为：B．
利用角的变换β=(α+β)−α，结合两角差的正弦公式求得sinβ，检验各选项即可．
本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为a=2×2.10.1>2×2.10=2=>c=lg1.92.1>>b=sin2.1，
所以b故选：A．
根据对数函数和指数函数的单调性确定a>2，1本题主要考查了三个数比较大小，考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由tan(θ−π4)−1=0，可得θ−π4=π4+kπ,k∈Z，即θ=π2+kπ,k∈Z．
所以“tan(θ−π4)−1=0”是“θ=π2”的必要不充分条件．
故选：A．
根据tan(θ−π4)−1=0得到θ=π2+kπ,k∈Z，即可得到答案．
本题考查了正切函数的图象与性质应用问题，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：设f(x)=xα，因为f(x)的图象经过点(8,4)，
所以8α=4，即23α=22，解得α=23，则f(x)=x23=3x2，
因为f(−x)=3(−x)2=3x2=f(x)，所以f(x)为偶函数，排除B、D，
因为f(x)的定义域为R，排除A．
因为f(x)=x23在[0,+∞)内单调递增，结合偶函数可得f(x)在(−∞,0]内单调递减，故C满足．
故选：C．
先求出函数的解析式，再求出函数的定义域和奇偶性判断即可．
本题主要考查幂函数的图象，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为x∈[a,b]，所以3x∈[3a,3b]，
又因为f(x)的值域为[0,11 3]，
由正弦函数的图象可知，3b−3a=π3，则b−a=π9．
故选：C．
根据函数函数f(x)=22sin3x在[a,b]上的值域为[0,11 3]，可以分析出3b−3a=π3．
本题主要考查了正弦函数的单调性，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：令函数g(x)=xf(x)−x2．
因为f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，g(−x)=−xf(−x)−(−x)2=xf(x)−x2=g(x)，所以g(x)为偶函数．
因为对任意的x1，x2∈[0,3]，且x1x12−x22恒成立，
即x1f(x1)−x12>x2f(x2)−x22恒成立，所以g(x)在[0,3]上单调递减，所以g(x)在[−3,0]上单调递增．
又因为af(a)+(3−a)f(a−3)<6a−9，所以af(a)−a2<(a−3)f(a−3)−(a−3)2，即g(a)所以−3≤a≤3−3≤a−3≤3|a|>|a−3|，解得32故选：C．
构造函数g(x)=xf(x)−x2，由f(x)为奇函数得g(x)偶为函数，根据题意可得g(x)在[0,3]上单调递减，在[−3,0]上单调递增，又af(a)+(3−a)f(a−3)<6a−9可化为g(a)本题主要考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：因为2023°=−497°+360°×7，所以−497°与2023°的终边相同，故A正确；
若2α为第三象限角，则π+2kπ<2α<3π2+2kπ,k∈Z，得π2+kπ<α<3π4+kπ,k∈Z，所以tanα<0，故B错误；
若cs2α>0，则−π2+2kπ<2α<π2+2kπ,k∈Z，得−π4+kπ<α<π4+kπ,k∈Z，所以α不一定是第一象限角，故C错误；
若α+π4为第一象限角，则2kπ<α+π4<π2+2kπ,k∈Z，得−π4+2kπ<α<π4+2kπ,k∈Z，所以α不可能为第二象限角，故D正确．
故选：AD．
由终边相同角的表示可判断A；根据正切函数值在各象限的符号可判断B；由cs2α>0求得α的范围可判断C；由α+π4为第一象限角求得α的范围可判断D．
本题主要考查了角的基本概念的应用，属于中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：由图可知A=3，34T=34⋅2πω=5π24−(−π6)=3π8，解得ω=4，
将点(5π24,3)的坐标代入f(x)=Asin(ωx+φ)中，可得3=3sin(4×5π24+φ)，
则5π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，因为|φ|<π2，所以φ=−π3，得f(x)=3sin(4x−π3)，故A正确，B错误；
将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到y=3sin[4(x+π6)−π3]=3sin(4x+π3)的图象，故C正确；
将f(x)的图象上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍，得到函数y=3sin(2x−π3)的图象，故D错误．
故选：AC．
由图可知A=3，由34T=3π8得ω=4，将点(5π24,3)的坐标代入f(x)，结合|φ|<π2求得φ=−π3，从而得f(x)=3sin(4x−π3)，即可判断A、B；根据三角函数图象的变换规律求得变换后的函数解析式可判断C、D．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A：因为a2+b2≥2ab，b2+4c2≥4bc，4c2+a2≥4ca，
所以2(a2+b2+4c2)≥2(ab+2bc+2ca)，
当且仅当a=b=2c= 33时，等号成立，
又a2+b2+4c2=1，所以ab+2bc+2ca≤1，A正确；
对于B：若a=b=c，则6a2=1，
因为a为正数，所以b=c=a= 66，B错误；
对于C：由a2+b2+4c2=1，且c为正数，
得a2+b2<1，则2ab<1，即ab<12，C正确；
对于D：1a2+1b2+14c2=(1a2+1b2+14c2)(a2+b2+4c2)=3+b2a2+a2b2+4c2a2+a24c2+4c2b2+b24c2≥3+2+2+2=9，
当且仅当a=b=2c= 33时，等号成立，所以1a2+1b2+14c2≥9，D正确．
故选：ACD．
利用基本不等式相关公式逐项分析即可求解．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：因为f(0)−f(1−0)=−23−76=−116≠14，可知A错误；
因为f(x)+f(1−x)=14x+2+(2x−1)3+141−x+2+(1−2x)3=14x+2+141−x+2=14x+2+4x2(2+4x)=4x+22(2+4x)=12，
所以f(x)的图象关于点(12,14)对称，故C正确；
由C中结论可知f(x)+f(1−x)=12，又−99=1−100，−98=1−99，
则f(100)+f(−99)=f(99)+f(−98)=12，
所以f(100)+f(99)+f(−98)+f(−99)=2×12=1，故B正确；
f(x)的图象与f(1−x)的图象关于直线x=12对称，故D正确；
故选：BCD．
由特值法可判断A；计算验证f(x)+f(1−x)=12可判断C；利用C中结论可判断B；由函数图象对称性的规律可判断D．
本题主要考查函数的对称性，函数的求值，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】[0,12]
【解析】解：∵函数f(x)= 1−4x2+ sinx，
∴1−4x2≥0sinx≥0，得−12≤x≤122kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z，解得0≤x≤12，
∴函数的定义域为[0,12]．
故答案为：[0,12]．
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了函数定义域的定义及求法，是基础题．
14.【答案】20π
【解析】解：设扇形的弧长为lcm，
依题意得12×l×30=300π，解得l=20π，
所以该扇形的弧长为20πcm．
故答案为：20π．
根据题意，利用扇形的面积公式直接计算作答即可．
本题考查了扇形的面积公式应用问题，是基础题．
15.【答案】lg2(x+1)(答案不唯一)
【解析】解：若f(x)=lg2(x+1)，
则f(x)+f(y)=lg2(x+1)+lg2(y+1)=lg2(xy+x+y+1)=f(xy+x+y)，
故符合题意的函数可以为f(x)=lg2(x+1)．
故答案为：lg2(x+1)(答案不唯一，符合lga(x+1)即可，其中a>0且a≠1，其他满足条件的函数亦可)．
根据题意结合对数的按性质即可得解．
本题主要考查抽象函数及其应用，属于基础题．
16.【答案】−6 4 65
【解析】解：f(x)=6−acsx−5(1−cs2x)=5cs2x−acsx+1．
令t=csx(x∈(π2,3π2))，则t∈[−1,0)，y=5t2−at+1．
因为f(x)在(π2,3π2)上有三个零点x1，x2，x3，
所以5t2−at+1=0在[−1,0)上有两个不同的根，其中t1=−1，−1因为5+a+1=0，所以a=−6，方程5t2+6t+1=0有两解−1,−15．
由t1=−1，得x2=π，sinx2=0．
由t2=csx=−15，得csx1=csx3=−15．
不妨设x1∈(π2,π),x3∈(π,3π2)，
则sinx1=2 65,sinx3=−2 65,sinx1+sinx2−sinx3=4 65．
故答案为：−6；4 65．
将函数f(x)化简之后进行换元转化为t∈[−1,0)，y=5t2−at+1，进而转化为5t2−at+1=0在[−1,0)上有两个不同的根．
本题主要考查了三角函数性质在函数零点求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：因为csα−2sin(π−α)=csα−2sinα=0，
所以csα=2sinα，则sin2α+cs2α=5sin2α=1，
因为α为第一象限角，
所以sinα= 55，cs2α=1−2sin2α=35；
(2)由(1)知csα−2sinα=0，
所以tanα=12，
所以1−sinαcsα6sin2α−cs2α=sin2α+cs2α−sinαcsα6sin2α−cs2α=tan2α+1−tanα6tan2α−1=14+1−126×14−1=32．
【解析】(1)利用诱导公式及平方关系求出sinα，再利用二倍角公式求解．
(2)由(1)求出tanα，再利用齐次式法计算即可．
本题主要考查三角函数的恒等变换，考查转化思想，属于基础题．
18.【答案】(1)证明：因为1x+9y=2，且xy>0，所以x>0，y>0，
则1x+9y≥2 9xy=6 xy，即6 xy≤2，得xy≥9．
当且仅当1x=9y，即x=1，y=9时，等号成立，故不等式xy≥9成立．
(2)解：由题意得−x−4y=−12(x+4y)(1x+9y)=−12(1+36+4yx+9xy)，
因为4yx+9xy≥2 4yx⋅9xy=12，
所以−x−4y=−12(1+36+4yx+9xy)≤−12(37+12)=−492，
当且仅当4yx=9xy，即x=72,y=214时，等号成立，即−x−4y的最大值为−492．
【解析】(1)根据已知等式，利用基本不等式推导出6 xy≤2，进而证出xy≥9；
(2)由1x+9y=2，利用“1的代换”与基本不等式进行求解，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的性质、运用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由y=3x，可得x=lg3y，则f(x)=lg3x，
因为f(x−4)=lg3(x−4)在定义域内单调递增，
所以f(x−4)min=f(5−4)=lg31=0，f(x−4)max=f(7−4)=lg33=1，
故f(x−4)在[5,7]上的值域为[0,1]．
(2)g(x)为奇函数．理由如下：
由(1)可得，g(x)=lg3(8−x)−lg3(x+8)=lg38−xx+8，
因为g(x)的定义域为(−8,8)，关于原点对称，
且g(−x)=lg38+x−x+8=−lg38−xx+8=−g(x)，所以g(x)为奇函数．
【解析】(1)根据函数f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，求出f(x)解析式，利用单调性求出其在[5,7]上的值域；
(2)根据函数奇偶性定义判断其奇偶性．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了函数的单调性在函数最值求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意可得，4为f(x)的一个周期，
因为f(x)在(13,73)上单调递减，所以f(x)的最小正周期T≥2×(73−13)=4，
所以f(x)的最小正周期为4，由T=2π|ω|=4，解得ω=π2，
令−π+2kπ≤π2x−π6≤2kπ,k∈Z，得−53+4k≤x≤13+4k,k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[−53+4k,13+4k],k∈Z；
(2)由(1)知ω=π2，因为 3f(a)−2cs(ωa+π3)≥3+2csωa恒成立，
所以4 3cs(π2a−π6)−2cs(π2a+π3)−2csπ2a=3csπ2a+3 3sinπ2a=6cs({∖ frac{π}{2}a−∖ frac{π}{3}})≥3恒成立，即cs({∖ frac{π}{2}a−∖ frac{π}{3}})≥∖ frac{1}{2}恒成立．
所以−∖ frac{π}{3}+2kπ≤∖ frac{π}{2}a−∖ frac{π}{3}≤∖ frac{π}{3}+2kπ，k∈{Z}，解得4k≤a≤∖ frac{4}{3}+4k，k∈{Z}.
令k=−1，得−4≤a≤−∖ frac{8}{3}，则a的最大值为−∖frac{8}{3} ．
【解析】(1)由题意可得，4为f(x)的一个周期，根据f(x)在(13,73)上单调递减，可确定f(x)的最小正周期，从而可求ω，再利用余弦函数的单调性确定f(x)的单调递增区间；
(2)由 3f(a)−2cs(ωa+π3)≥3+2csωa恒成立，通过三角恒等变换转化为cs(π2a−π3)≥12恒成立，再根据余弦函数的图象确定π2a−π3的取值范围，进而可求a的最大值．
本题主要考查函数恒成立问题，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)过点A作AD⊥BC交BC于D，

设AD=x米，x>0，
则CD=x米，BD=34BC=34×4x=3x米，
在△ABD中，sin∠CBA=x x2+9x2= 1010,cs∠CBA=3x x2+9x2=3 1010，
故sin∠CAB=sin(∠CBA+∠ACB)= 22(sin∠CBA+cs∠CBA)= 22×( 1010+3 1010)=2 55；
(2)设∠CBA=θ(0<θ<π2)，
则BD=6csθ米，CD=AD=6sinθ米，
S△ABC=12×6sinθ×(6csθ+6sinθ)=9(2sinθcsθ+2sin2θ)=9(sin2θ+1−cs2θ)=9+9 2sin(2θ−π4)，
因为θ∈(0,π2)，
所以2θ−π4∈(−π4,3π4)，
所以当2θ−π4=π2,θ=3π8时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为9+9 2平方米．
【解析】(1)过点A作AD⊥BC交BC于D.设AD=x，则CD=x，BD=34BC=3x，
在△ABD中，求得sin∠CBA，cs∠CBA，由sin∠CAB=sin(∠CBA+∠ACB)计算即可得解；
(2)设∠CBA=θ(0<θ<π2)，则BD=6csθ，CD=AD=6sinθ，从而得出S△ABC=12×6sinθ×(6csθ+6sinθ)，利用三角恒等变换、辅助角公式及三角函数的性质即可得到答案．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)若a=4，则f(lnx)=2x2−4x+1．
令m=lnx，则x=em，得f(m)=2e2m−4em+1，
所以f(x)=2e2x−4ex+1．
①f(x)在(0,+∞)上单调递增．
证明如下：设0则f(x1)−f(x2)=2e2x1−4ex1+1−(2e2x2−4ex2+1)=2(ex1−ex2)(ex1+ex2−2)．
因为10，则f(x1)−f(x2)<0，
即f(x1)②根据①同理可得f(x)在(−∞,0)上单调递减．
因为f(−1)=2e−2−4e−1+1=2−4e+e2e2<2−(1+e)e+e2e2<0，
f(0)=2e0−4e0+1=−1<0，f(1)=2e2−4e1+1>0
故f(−1)f(0)>0，f(0)f(1)<0，
则f(x)在(−1,0)上不存在零点，在(0,1)上存在零点．
(2)令t=ex，则t∈(0,+∞)，
故f(x)的零点个数即函数g(t)=2t2−at+14a2−3在(0,+∞)上的零点个数．
当a>0时，
当Δ=a2−8(14a2−3)<0，即a>2 6时，g(t)在(0,+∞)上没有零点．
当Δ=a2−8(14a2−3)=0，即a=2 6时，g(t)在(0,+∞)上有1个零点．
当Δ=a2−8(14a2−3)>0，即0得t1=a− 24−a24,t2=a+ 24−a24，
若a− 24−a24≤0，即00，则g(t)在(0,+∞)上有1个零点；
若a− 24−a24>0，即2 30,t2>0，则g(t)在(0,+∞)上有2个零点．
综上所述：
当0当2 3当a>2 6时，f(x)没有零点．
【解析】(1)设m=lnx得到f(x)=2e2x−4ex+1，设00，f(0)f(1)<0，得到是否存在零点．
(2)令t=ex，则t∈(0,+∞)，题目转化为求g(t)=2t2−at+14a2−3的零点，考虑Δ>0，Δ=0和Δ<0三种情况，分别计算零点得到答案．
本题考查了函数的单调性和零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，属于难题．