期末押题预测卷（1）-2022-2023学年八年级数学下册课后培优分级练（苏科版）

这是一份期末押题预测卷（1）-2022-2023学年八年级数学下册课后培优分级练（苏科版），文件包含期末押题预测卷1原卷版docx、期末押题预测卷1解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。

本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·江苏无锡·八年级统考期末）下列冬奥会会徽图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用轴对称图形的性质、中心对称图形的性质分别分析得出答案．
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形、轴对称对称图形的概念，解题的关键是正确掌握相关定义．
2．（2023秋·陕西咸阳·八年级统考期末）下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式满足的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐项判断即可．
【详解】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
3．（2022·山东济宁·七年级统考期末）在“12•4中国国家宪法日”来临之际，金乡某社区为了解该社区居民的法律意识，随机调查测试了该社区1000人，其中有980人的法律意识测试结果为合格及以上．关于以上数据的收集与整理过程，下列说法正确的是（ ）
A．调查的方式是抽样调查 B．1000人的法律意识测试结果是总体
C．该社区只有20人的法律意识不合格 D．样本是980人
【答案】A
【分析】根据调查的方式，总体、样本等知识逐项分析即可．
【详解】解：A．调查的方式是抽样调查，故选项A正确；
B．1000人的法律意识测试结果是样本，故选项B错误；
C．抽取的样本中只有20人的法律意识不合格，但并不是该社区只有20人的法律意识不合格，故选项C错误；D．样本是1000人的法律意识测试结果，故选项D错误；故选：A．
【点睛】本题考查全面调查与抽样调查、总体、样本，解答本题的关键是明确题意，利用统计的知识解答．
4．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义即可判断．
【详解】解：A.是正比例函数，故A不符合题意；B.是二次函数，故B不符合题意；
C. ，y是x的反比例函数，故C符合题意；D.不是x的反比例函数，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数．
4．（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图是某班级一次数学考试成绩的频数分布直方图（每组包含最大值，不包含最小值）．下列说法不正确的是（ ）
A．得分在70～80分的人数最多B．组距为10
C．人数最少的得分段的频率为5%D．得分及格（＞60）的有12人
【答案】D
【分析】根据直方图分析判断即可．
【详解】解：由直方图可知，得分在70～80分的人数最多，组距为60-50=10，人数最少的得分段的频率为，得分及格（＞60）的有12+14+8+2=36人，∴A、B、C选项正确，D选项错误；故选：D．
【点睛】此题考查了直方图，正确理解直方图得到相关的信息是解题的关键．
5．（2022秋·福建福州·八年级校考期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，是AB的中点，连接，若cm，则的长为（ ）
A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可得点O为AC的中点，从而得到OE是△ABD的中位线，即可求解．
【详解】解：在平行四边形中，对角线，相交于点，∴点O为AC的中点，
∵是AB的中点，cm，∴AD=2OE=6cm．故选：B
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，三角形的中位线定理是解题的关键．
6．（2022春·广东·八年级统考期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．比较两个队的施工速度是（ ）
A．甲比乙快B．乙比甲快C．甲乙一样快D．无法比较
【答案】B
【分析】由“甲队单独施工1个月完成了总工程的三分之一”知甲的工作效率为，设乙的工作效率为，根据甲的工作效率+乙的工作效率，由此可列方程．
【详解】解：设乙队如果单独施工x个月能完成总工程．
依题意列方程：．解方程得：．
经检验：是原分式方程的解．
答：乙队单独施工1个月可以完成总工程，所以乙队的施工进度快．故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，以下结论：
①存在且仅有一个四边形EFGH是菱形；②存在无数个四边形EFGH是平行四边形；
③存在无数个四边形EFGH是矩形；④除非矩形ABCD为正方形，否则不存在四边形EFGH是正方形．
其中正确的是（ ）
A．③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】C
【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线EG和HF，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H，
则四边形EFGH是平行四边形，故存在无数个四边形EFGH是平行四边形；故②正确；
当EG=HF时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形；故③正确；
当EG⊥HF时，存在无数个四边形EFGH是菱形；故①错误；
当四边形EFGH是正方形时，EH=HG，∠EHG=90°，
∠AHE+∠AEH=∠AHE+∠DHG=90°，∴∠AEH=∠DHG，
∴Rt△AEH≌Rt△DHG，∴AE=HD，AH=GD，
∵OD=OB，∠ODG=∠OBE，∠DOG=∠BOE，∴△ODG≌△OBE，
∵GD=BE=AH，∴AE+BE=HD+AH，即AB=AD，∴四边形ABCD是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形，故④正确；综上，②③④正确；故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
8．（2022秋·贵州黔南·九年级统考期末）某校九年级学生，在学习“用频率估计概率”时，五个班级的同学做抛掷一枚硬币的试验，并将所得的试验数据整理如下表：
下面有四个推断：①当抛掷次数是10000时，“正面向上”的次数是4979，所以“正面向上”的概率是0.4979；
②当抛掷次数是12000时，“正面向上”的次数是6019，所以“正面向上”的概率是0.5016；
③随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5005附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5005；④若再次做此试验，则当抛掷次数为30000时，“正面向上”的频率一定是0.5005．
其中合理的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断．
【详解】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的次数是4979，“正面向上”的频率是0.4979，但“正面向上”的概率不一定是0.4979，故本小题推断不合理；
②当抛掷次数是1200时，“正面向上”的次数是6019，“正面向上”的频率是0.5016，但“正面向上”的概率不一定是0.5016，故本小题推断不合理；
③随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5005附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5005，故本小题推断合理；④若再次做此试验，则当抛掷次数为30000时，“正面向上”的频率不一定是0.5005，故本小题推断不合理；故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
9．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出AD所在直线的函数表达式，再求出点C的坐标；根据菱形的性质可得AO=CO，结合勾股定理即可表示出AE，最后根据菱形的面积求出m即可．
【详解】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，∴，
∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点，∴DF=，即点D的纵坐标为，
∵反比例函数的图象经过点和点，∴D（2m，），
设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b，
将A（m，n），D（2m，）代入得：，解得：，
∴AD所在的直线函数表达式为：，
当y=0时，解得x=3m，∴C（3m，0），∴OA=OC=3m，
在Rt△OAE中，AE=，
∵菱形的面积为，∴OC×AE=，解得：m=，
∴AE=，∴A（，2），故选：A
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及反比例函数的图象和性质，熟练地掌握相关性质内容，结合图形表示出点C的坐标是解题的关键．
10．（2022·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）如图，已知在正方形中，对角线与相交于点，，分别是与的角平分线，的延长线与相交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①证明∠DAE=∠CDF，进而得∠DAF+∠ADG=90°，便可判断①的正误；②证明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF，得ED=EF，得∠EFD=∠EDF=∠CDF，得EF∥CD，便可判断②的正误；③由△AGF≌△AGD得AF=AD，便可判断③的正误；④证明EF=ED= OE，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系，进而判断④的正误．
【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAD=∠BDC=45°，
∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，∴∠DAE=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=90°，∴∠DAF+∠ADG=90°，
∴∠AGD=90°，即AG⊥DF，故①结论正确，符合题意；
②在△AGF和△AGD中，
∴△AGF≌△AGD（ASA），∴GF=GD，
∵AG⊥DF，∴EF=ED，∴∠EFD=∠EDF=∠CDF，
∴EF∥CD∥AB，故②正确，符合题意；
③∵△AGF≌△AGD（ASA），∴AD=AF=AB，故③正确，符合题意；
④∵EF∥CD，∴∠OEF=∠ODC=45°，∵∠COD=90°，∴EF=ED=OE，
∴，∴AB=CD=
故④错误，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质与判定，涉及的知识点多，关系复杂，增加了解题的难度，关键是灵活运用这些知识解题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·黑龙江·哈尔滨市八年级期末）已知2＜a＜3，化简：__________．
【答案】3
【分析】根据，则有，然后利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，∴，
∴原式=，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键．
12．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）当x_______时，分式有意义；当x=_______时，分式的值是0．
【答案】 ≠1 -1
【分析】分别根据分式有意义的条件及分式值为0的条件列出关于x的不等式，求出x的取值即可．
【详解】解：∵分式有意义，∴x-1≠0，解得x≠1；
∵分式的值为0，∴=0，且x-1≠0，解得x=-1．故答案为：≠1；-1．
【点睛】本题考查的分式有意义的条件及分式值为0的条件，即分子等于零且分母不等于零．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
13．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形中，，，则_________°．
【答案】50
【分析】利用，求得，再利用平行线的性质即可解答本题．
【详解】解：如图，
∵，∴，∵，∴，
∵四边形是正方形，∴，∴．故答案为：50．
【点睛】本题考查正方形的性质及平行线的性质，熟练掌握正方形的性质是解答关键．
14．（2022·山东菏泽·统考一模）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围_______．
【答案】a＜1且a≠−1．
【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数得出关于a的不等式，求出a的取值范围，然后再根据有增根的情况进一步求解即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，解得：，
∵关于x的方程的解为正数，∴x＞0，即，解得：a＜1，
当x−1＝0时，x＝1是增根，∴，即a≠−1，∴a＜1且a≠−1，故答案为：a＜1且a≠−1．
【点睛】本题主要考查了解分式方程及解不等式，注意不要忘记有增根的情况．
15．（2022春·四川成都·八年级统考期末）已知直线与直线，若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，．位于直线右侧的一点P是关于的“60°顺合点”，，连接PC，PD．点B在上，连接BP，若且，则______．
【答案】 /
【分析】根据题目描述将y轴绕某个点顺时针旋转得到x轴，判断符合要求的点即可；由可知B点旋转后落在点C处，作出A点旋转后落在点处，得到、都为等边三角形，得到，进而得到结论．
【详解】：根据定义，绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”，
将y轴绕点顺时针旋转90°得到x轴，故y轴关于x轴的“90°顺合点”为点．
，点B绕点P旋转后落在点C上，则BP=PC，
又，，点P在CD的垂直平分线上，
又点A在上，则点A的对应点在上，
、都为等边三角形，，
∵，，，∴，
设，则，，，，
，．故答案为：；．
【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的应用、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，理解题目描述的“顺合点”是解题关键．
17．（2022春·四川成都·九年级成都市第二十中学校校考阶段练习）如图，为双曲线上的一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于点、两点．若直线与轴交于点，与轴交于点，则的值为______ ．
【答案】/
【分析】作轴于，轴于，根据直线解析式求得，，得出等腰直角三角形，设的坐标为，则，，，得出，即可求解．
【详解】，作轴于，轴于，如图，
对于，令，则；令，，解得，
，，等腰直角三角形，和都是等腰直角三角形，
设的坐标为，则，，，
，，．故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，反比例函数的几何意义，得出等腰直角三角形是解题的关键．
18．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，点是边长为8的正方形的对角线上的一个动点（不与点、重合），连接，以为边向左侧作正方形，点为的中点，连接、，与的延长线交于点，在点运动过程中，线段的最小值是______．
【答案】
【分析】先证明△GAD≌△EAB，求出∠PDG=45°，进而得出点G在线段DH上，当PG⊥DH时，PG最短，此时△PDG为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出PG的长度，即可得出答案．
【详解】解：四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形，
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，∠ABD=45°，
∴，即∠GAD=∠EAB，
在△GAD和△EAB中，，∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴∠PDG=∠ABD=45°，∴点G在线段DH上，∴当PG⊥DH时，PG最短，
∵正方形ABCD的边长为8，点P为AD的中点，∴DP=4，
∵PG⊥DH，∠PDG=45°，∴△PDG为等腰直角三角形，
∴ 故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）计算：(1) (2)．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
20．（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】首先将括号里面的分式进行通分合并，然后将除法改成乘法进行约分化简，最后将x的值带入化简后的式子进行计算．
【详解】原式==，
当时，=．
【点睛】本题考查分式的化简求值、二次根式的分母有理化．掌握分式的运算法则以及二次根式分母有理化的方法是解题的关键．
21．（2022秋·浙江·九年级专题练习）小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，他在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下：
(1)随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值．
(2)请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积．
【答案】(1)k=(2)3π
【分析】（1）根据m与n的值直接可求比值得到k的值；
（2）根据表格中的数据计算出落在圆内的概率与落在阴影部分概率的比值，即可解答．
【详解】（1）解： 随着投掷次数的增加，m与n的比值在的左右波动，∴k=；
（2）解：石子落在圆内和石子落在阴影内的次数关系，随着试验次数的增多，逐渐趋向于为1：2，
∴圆的面积约占封闭图形ABC面积的，
∵S圆=π∴封闭图形ABC的面积约为3π
【点睛】本题主要考查了频率与概率，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键．
22．（2022秋·宁夏银川·七年级宁夏银川二十四中校考期末）某中学课题小组为了解该校名学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从“跳绳、篮球、乒乓球、足球及其他”等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人必选且只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解决以下问题：
（1）这次抽样调查中调查了 名学生；（2）扇形统计图中“篮球”部分所对应的圆心角度数是 ；
（3）补全条形统计图；（4）该校学生中喜欢“跳绳”的约有 人．
【答案】（1）80；（2）108°；（3）见解析；（4）600
【分析】（1）根据选择乒乓球的人数和所占的百分比，可以求得这次抽样调查中调查的学生总数；
（2）根据扇形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中“篮球”部分所对应的圆心角度数；（3）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择足球的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（4）根据统计图中的数据，由喜欢“跳绳”的人数所占百分比，可以计算出该校学生中喜欢“跳绳”的人数．
【详解】解：（1）8÷10%＝80（名），
即这次抽样调查中调查了80名学生，故答案为：80；
（2）扇形统计图中“篮球”部分所对应的圆心角度数是：360°×＝108°，故答案为：108°；
（3）选择足球的有：80×15%＝12（人），补全的条形统计图如右图所示；
（4）该校学生中喜欢“跳绳”的约有2400×＝600（人），故答案为：600．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）目前，全球新冠疫情仍然严峻复杂，接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径.针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂.为了应对疫情，已经回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，且每人每小时完成的工作量相同，这样恰好也能完成每天的生产任务.
(1)求该厂当前参加生产的工人有多少人？(2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每人每天的工作时间都按照新标准执行. 请通过计算说明，该厂能否在30天内按时完成上级分配的共580万剂的生产任务？
【答案】(1)40人(2)能完成，理由见解析
【分析】（1）设当前参加生产的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）求出每人每小时完成的数量为：16÷10÷40=0.04（万剂），再计算所有工人30天完成的工作量，然后比较即可．
（1）解：设当前参加生产的工人有x人，
由题意得：，解得：x=40，
经检验：x=40是原分式方程的解，且符合题意，
答：当前参加生产的工人有40人；
（2）该厂能在30天内按时完成上级分配的共580万剂的生产任务，理由如下：
每人每小时完成的数量为：16÷10÷40=0.04（万剂），
由题意得：4×16+（40+10）×10×0.04×30=664，
∵664＞580，∴该厂能在30天内按时完成上级分配的共580万剂的生产任务．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN．
问题探究：如图1，作DD′⊥MN，交AB于点D′，求证：MN ＝DD′；
问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D′恰好落在AB上，点C的对应点为点C′，若B D′＝6， CM＝2，求线段MN的长.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）过点N作NH⊥BC于H，利用ASA证明△ADD'≌△HNM，得DD'=MN；
（2）连接MD'，设正方形的边长为x，由勾股定理得，BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，解方程可得x的值，利用勾股定理求出DD'，再根据（1）知，DD'=MN，从而解决问题．
【详解】解：（1）证明：过点N作NH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABM=90°，
∵∠NHB=90°，∴四边形ABHN是矩形，∴AB=HN，
∵DD′⊥MN，∴∠DON=90°，∴∠OND+∠ODN=90°，
∵∠OND+∠MNH=90°，∴∠ODN=∠MNH，
∵∠DAD'=∠NHM，AD=NH，∴△ADD'≌△HNM（ASA），∴MN=DD'；
（2）连接MD'，DD'，
设正方形的边长为x，由勾股定理得，
BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，∴62+（x-2）2=x2+22，
解得x=9，∴AB=AD=9，∴AD'=3，由勾股定理得，DD'=，
∵MN是DD'的垂直平分线，由（1）知，DD'=MN，∴MN=．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键．
25．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，矩形的顶点分别在轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，动点在轴的上方，且满足. (1)若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标; (2)连接，求的最小值; (3)若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标.
【答案】（1）点P的坐标为(6,2)；（2）；（3）Q (4−,5)，Q (4+,5)，Q (4−2,−1)，Q (4+2,−1)．
【分析】(1)首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为m(m>0)，根据，构建方程即可解决问题；(2)过点(0,2)，作直线l⊥y轴,由(1)知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O'，则OO'=4，连接AO'交直线l于点P，此时PO+PA的值最小；
(3)分两种情形分别求解即可解决问题；
【详解】(1)∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，∴点B的坐标为(4,3)，
∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上
∴k=12，∴y=，设点P的纵坐标为m(m>0)，
∵．∴⋅OA⋅m=OA⋅OC⋅，∴m=2，
当点，P在这个反比例函数图象上时，则2= ，∴x=6∴点P的坐标为(6,2)．
(2)过点(0,2)，作直线l⊥y轴．
由(1)知，点P的纵坐标为2，∴点P在直线l上
作点O关于直线l的对称点O'，则OO'=4，
连接AO'交直线l于点P，此时PO+PA的值最小，
则PO+PA的最小值=PO'+PA=O'A=．
(3)①如图2中，当四边形ABQP是菱形时，易知AB=AP=PQ=BQ=3，P (4−,2)，P (4,2)，
∴Q (4−,5)，Q (4+,5)．
②如图3中，当四边形ABPQ是菱形时，P (4−2,2)，P(4+2,2)，
∴Q (4−2,−1)，Q (4+2,−1)．
综上所述，点Q的坐标为Q (4−,5)，Q (4+,5)，Q (4−2,−1)，Q (4+2,−1)．
【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，菱形的性质，矩形的性质，解题关键在于作辅助线和分情况讨论.
26．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C．
(1)点A坐标是（ ， ）、点B坐标是（ ， ）；(2)求直线BC的函数表达式；
(3)点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，0； 0，-1 (2)(3)符合要求点 N 的坐标是（2， 2）、（ 1，2）、（3，2）．
【分析】（1）由，分别令，，即可求解；
（2）过A作交BC于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得F点的坐标，设直线BC的函数表达式为，利用待定系数法即可得到结论；（3）分当BC是对角线时；当BC是边，四边形BMNC为菱形时；当BC是边，四边形BCMN为菱形时三种情况，根据菱形的性质去分析求解即可求得答案．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x=0，得y=-1，令y=0，则，
∴，．故答案为：，0；0，-1；
（2）解：过A作交BC于F，过F作轴于E．
∵，∴是等腰直角三角形，∴．
∵，∴，
∴，∴，，
∴，∴ ．
设直线BC的函数表达式为，
∴，∴，∴直线BC的函数表达式为：；
（3）解：存在．如图，当BC是对角线时，四边形BMCN为菱形．

∴，．∵直线BM为，
∴设直线CN的函数表达式为．
∵直线BC的函数表达式为：，
∴，∴，解得，
∴直线CN的函数表达式为，
设．∵，，∴，
∴，解得，
∴点N的坐标为；
如图，当BC是边，四边形BMNC为菱形时．
∴，．∵直线BM为，
∴设直线CN的函数表达式为．
∵直线BC的函数表达式为：1，∴，∴，解得，
∴直线CN的函数表达式为，设．
∵，，∴，∴，
解得或（不合题意，舍去），∴点N的坐标为；
③如图，当BC是边，四边形BCMN为菱形时．
∴，设．∵，，∴，
∴，解得或0（不合题意，舍去），∴点M的坐标为．
∵，，∴点N的坐标为．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（2， 2）、（ 1，2）、（3，2）．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，菱形的性质以及勾股定理．解题的关键是注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
试验班级
抛掷次数n
“正面向上”的次数m
“正面向上”的频率
九年级（1）班
2048
1061
0.5181
九年级（2）班
4040
2048
0.5069
九年级（3）班
10000
4979
0.4979
九年级（4）班
12000
6019
0.5016
九年级（5）班
24000
12012
0.5005