第12讲 四边形（压轴题组）-2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

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（1）请求出C、D两点的坐标．
（2）若点P在CD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线l：y＝x+上，求点P的坐标．
（3）若点M在y轴上，点N在直线l上，如果以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
2．（2021·广东南海·九年级期中）折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．
①求证：DFBE；
②求DF的长度．
（2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2，点G是直线AC上的一个动点，在坐标平面内存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，请直接写出点H坐标．
3．（2021·广东·深圳市龙岗区百合外国语学校九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝K，E是边BC上一个动点（不与B，C重合），连接AE，作EF⊥AE，EF交边CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若在动点E的运动过程中，一定存在点F，使得EF＝EA，求K的取值范围；
（3）若点G是边AB上一点且∠GEB＝∠FEC，求EG，EF，EA的数量关系．
4．（2021·四川都江堰·九年级期中）如图，已知在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点
（1）当时；
①根据条件，可判定，请直接写出全等的判定依据；
②连结，若，求的值；
（2）当时，延长交射线于点，延长交射线于点连结若，则当为何值时，是等腰三角形，请直接写出结果
5．（2021·山西孝义·九年级期中）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，将△ADE以点A为中心，顺时针旋转90°，得到△ABF，连接EF．过点A作AG⊥EF，垂足为G．试猜想FG与GE的数量关系，并证明．
（1）独立思考：请你解决老师所提出的问题；
（2）拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接DG，他们认为DG平分∠ADC．请你利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否正确？请说明理由；
（3）问题解决：在图2中，若AD＋DE＝28，则四边形AGED的面积为 ．（直接写出答案即可）
6．（2021·陕西碑林·九年级期中）问题探究：
（1）如图1，已知线段AB＝2，AC＝4，连接BC，则三角形ABC面积最大值是 ；
（2）如图2，矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，求矩形ABCD面积最大值；
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOB＝120°．若AC＋BD＝10，则四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
7．（2021·浙江·台州市书生中学九年级期中）小飞对浙教版九上配套作业本①第18页第7题温故后进行了推理、拓展与延伸．
（1）温故：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC
①画出将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到△CB，
②若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长（直接写出答案）
（2）推理：若PA＝a，PB＝b，PC＝c，∠APB＝135°，请猜想a，b，c之间的关系，并推理说明．
（3）拓展：如图2，点P，Q在正方形ABCD内，连结PA，PB，PC，PQ，DQ，AQ，CQ，若∠PAQ＝∠PCQ＝45°，试探究BP，PQ，QD之间的关系，并说明理由．
（4）延伸：如图3，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝∠PAQ＝∠PCQ＝60°，若BP＝6，DQ＝8，请直接写出PQ的长．
请帮助小飞解决“温故”、“推理”、“拓展”和“延伸”中的问题．
8．（2021·四川·成都实外九年级期中）如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明：四边形CEGF是正方形；
（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝9，GH＝3，求BC的长．
9．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．
（1）如图1，求证AE⊥BF；
（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN；
（3）在（2）的条件下，若tan∠AEB＝3，S△CHN＝，求AB的长
10．（2021·辽宁铁东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．