2023年广西桂林市平乐县中考数学一模试卷

这是一份2023年广西桂林市平乐县中考数学一模试卷，共20页。

1．（3分）8的相反数是（ ）
A．B．8C．D．﹣8
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）一个数用科学记数法表示为2.16×105，则这个数是（ ）
A．216B．2160C．21600D．216000
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣2（a﹣b）＝﹣2a﹣bB．a6÷a3＝a2
C．a+2a2＝3a2D．（﹣a2）3＝﹣a6
5．（3分）已知点A（3，a）与点B（b，﹣4）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．1B．﹣7C．7D．﹣1
6．（3分）如图，一根直尺EF压在三角板30°的角∠BAC上，欲使CB∥EF，则应使∠FMB的度数为（ ）
A．120°B．100°C．110°D．130°
7．（3分）关于x的一元二次方程（2a﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
8．（3分）下列事件中为必然事件的是（ ）
A．随意翻到书的一页，页码是偶数
B．任掷一枚骰子，朝上的点数大于0
C．画一个三角形，它的内角和为360°
D．运动员射击1次，命中靶心
9．（3分）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，csB＝，则下列量中，不确定的量是（ ）
A．∠B的度数B．BC的长C．AC的长D．的长
11．（3分）某新冠疫苗研制中心工厂车间需加工一批疫苗试剂，甲组工人加工中因故停产抢修机器一次，然后以原来的工作效率的2倍继续加工，由于时间紧任务重，甲组工人加工1小时后，乙组工人也加入共同加工疫苗试剂，乙组工人加工若干小时后，加工速度变为200百盒/小时，设甲组加工时间t（时），甲组加工试剂的数量为y甲（百盒），乙组加工试剂的数量为y乙（百盒），其函数图象如图所示．下列结论可以判断错误的是（ ）
A．甲组停产休息了2小时
B．乙组提速前的加工速度为160百盒/小时
C．当x＝3时，y甲与y乙相等
D．乙组共加工了1300百盒
12．（3分）下列问题情境能列出反比例函数y＝的是（ ）
A．矩形的长为119，矩形的面积y与宽x的关系
B．一个“哪吒”玩偶119元，买x个这样的玩偶与总的钱数y元之间的关系
C．一个企业每个月产值都相同，若该企业x个月总的产值为119万元，则每个月的产值y万元与x个月的关系
D．小明原有119元零花钱，已经花费的钱数y（元）与剩余的钱数x（元）的关系
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）将化为最简二次根式的结果是 ．
14．（2分）当分式的值为0时，x的值为 ．
15．（2分）如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是 m．
16．（2分）甲、乙、丙、丁四位同学参加体育训练，近期10次跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，其方差如下表：
则这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是 同学．
17．（2分）若直线y＝3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，则b＝ ．
18．（2分）如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：3tan30°+（﹣1）2020﹣（）﹣1+|2﹣3|．
20．（6分）先化简，再求值：（2x+2）÷（x+1+），其中x＝﹣2．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝40°，∠B＝30°．
（1）在线段BC上找一点D，连接AD，使得AD＝CD；（尺规作图）
（2）在（1）的条件下，求∠BAD的度数．
22．（10分）如图，直线y1＝kx+b与双曲线y2＝相交于A、B两点，直线AB与x轴相交于点C，点B的坐标是（3m，m），OA＝5，E为x轴正半轴上一点，且cs∠AOE＝．
（1）双曲线y2的解析式是 ，直线y1的解析式是 ．
（2）求证：S△AOB＝3S△COB．
（3）当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
23．（10分）玉米是一种重要的粮食作物，也是全世界总产量最高的农作物．玉米的容重是指每升玉米的重量，可以反映出玉米的饱满度以及整齐度．超市采购员小李准备进购一批玉米，小李对甲、乙两个乡镇的玉米进行实地考察，各随机采摘了20根玉米进行容重检测，这些玉米的容重记为x（单位：g/L），对数据进行整理后，将所得的数据分为5个等级：五等玉米：600≤x＜630；四等玉米：630≤x＜660；三等玉米：660≤x＜690；二等玉米：690≤x＜720；一等玉米：x≥720．其中二等玉米和一等玉米，我们把它称为“优等玉米”．下面给出了小李整理、描述和分析数据的部分信息．
a．甲乡镇被抽取的20根玉米的容重分别为（单位：g/L）：
整理数据：
b．乙乡镇被抽取的玉米容重频数分布直方图
乙乡镇被抽取的玉米容重在660≤x＜690这一组的数据是：
660 670 685 680 685 685 685
c．分析数据：样本数据的平均数、众数、中位数、“优等玉米”所占的百分比如下表：
根据以上信息：解答下列问题：
（1）上述表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若小李只选择一个产地采购玉米，根据以上数据，你认为小李选择哪个乡镇采购玉米比较好？（写出一条理由即可）
（3）小李最终决定在甲乡镇采购400根玉米，在乙乡镇采购600根玉米，估计本次小李采购的玉米中“优等玉米”的数量是多少？
24．（10分）某校组织初二年级380名学生到广东南路革命化州纪念馆研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金．
25．（10分）在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三角形按如图1方式放置，使△DEF的顶点D与△ABC的顶点C重合，△DEF在绕点C的旋转过程中，边DE、DF始终与△ABC的边AB分别交于M、N两点．
（1）老师提了一个问题：试证明AM2+BN2＝MN2．
小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到CA＝CB且∠ACB＝90°，可将△BCN绕点C顺时针旋转90°至△ACN'位置，连结MN'，若能证明BN、MN分别等于Rt△AMN'的另两边则可以解决问题．
请帮小丽继续完成证明过程．
证明：将△BCN绕点C顺时针旋转90°至△ACN'位置，连结MN'；
（2）如图2，小昆另取一块与△ABC相同的三角板，放在△ABG位置，边CE与边AG相交于点H，连NH、NG．
①小昆猜想：∠CNH＝90°，请帮他给出证明；
②图2中始终与CN相等的线段有 ；
③请探索AN、BN、AH之间的数量关系，并直接写出结论： ．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+x+4与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x＝1．
（1）直接写出抛物线的解析式： ；
（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；
（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1． 解：由相反数的定义可得，
8的相反数是﹣8，
故选：D．
2． 解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3． 解：2.16×105＝216000，
故选：D．
4． 解：A．﹣2（a﹣b）＝﹣2a+2b，故此选项不合题意；
B．a6÷a3＝a3，故此选项不合题意；
C．a+2a2，无法合并，故此选项不合题意；
D．（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项符合题意．
故选：D．
5． 解：∵点A（3，a）与点B（b，﹣4）关于原点对称，
∴a＝4，b＝﹣3，
∴a+b＝4﹣3＝1．
故选：A．
6． 解：由题意得：∠B＝60°，
当∠B+∠FMB＝180°时，CB∥EF，
∴∠FMB＝120°．
故选：A．
7． 解：根据题意得2a﹣1≠0且Δ＝22﹣4（2a﹣1）×3＞0，
解得a＜且a≠．
故选：D．
8． 解：A、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件，不符合题意；
B、任掷一枚骰子，朝上的点数大于0是必然事件，符合题意；
C、画一个三角形，它的内角和为360°，是不可能事件，不符合题意；
D、运动员射击1次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
9． 解：根据题意得：，
即，
故选：A．
10． 解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，OC，
∵csB＝，
∴∠B的度数是确定的；
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠B＝∠D，
∴csD＝，
∴CD＝AD•csD＝10×＝，
在Rt△ADC中，AD＝10，CD＝，
∴AC的长是确定的；
∵∠AOC＝2∠B，
∴∠AOC是确定的，
∴的长＝，
∴的长是确定的，
∵∠BAC的度数不确定，
∴BC的长不确定，
故选：B．
11． 解：甲原来的工作效率：300÷2＝150（百盒/小时），
甲后来的工作效率：150×2＝300（百盒/小时），
甲后来的工作时间：（1500﹣300）÷300＝4（小时），
∴甲组停产休息了：8﹣4﹣2＝2（小时），A正确；
乙组提速前的加工速度为：400÷（﹣1）＝160（百盒/小时），B正确；
x＝3时，y乙＝160×（3﹣1）＝320（百盒），y甲＝300百盒，C错误；
若8小时完成任务，则乙共加工400+200×（8﹣）＝1300，故D正确．
故选：C．
12． 解：A、矩形面积y与宽x之间关系为：y＝119x，为正比例函数，不符合题意；
B、总的钱数y与数量x之间关系为：y＝119x，为正比例函数，不符合题意；
C、每个月的产值y与月数x之间关系为：y＝，为反比例函数，符合题意；
D、已经花费钱数y与剩余钱数x之间关系为：y＝119﹣x，为一次函数，不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13． 解：＝＝，
故答案为：．
14． 解：由题意可得2x＝0且2﹣x≠0，
解得：x＝0，
故答案为：0．
15． 解：如图，过A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝150m，
∴CD＝AD•tan30°＝150×＝50（m），
∴AH＝CD＝50m．
在Rt△ABH中，
∵∠BAH＝30°，AH＝50m，
∴BH＝AH•tan30°＝50×＝50（m），
∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m），
答：这栋楼的高度为100m．
故答案为：100．
16． 解：∵0.018＜0.020＜0.021＜0.023，
∴这四个人发挥最稳定的是乙．
故答案为：乙．
17． 解：∵直线y＝3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，
∴b≠0．
①当b＞0时，y＝3x+b的图象如图1．
当x＝0时，y＝3×0+b＝b，则B（0，b），此时OB＝b．
当y＝0时，3x+b＝0，故x＝，则A（，0），此时OA＝．
∴＝6．
∴b＝6或b＝﹣6（不合题意，故舍去）．
②当b＜0时，y＝3x+b的图象如图2．
当x＝0时，y＝3×0+b＝b，则B（0，b），此时OB＝﹣b．
当y＝0时，3x+b＝0，故x＝，则A（，0），此时OA＝﹣．
∴＝6．
∴b＝6（不合题意，故舍去）或b＝﹣6．
综上：b＝±6．
故答案为：±6．
18． 解：如图，连OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连AT，ET．
∵OA＝OB＝8，OC＝CB＝CT＝OH＝HT＝4，
∴AH＝AO+OH＝12，
∴AT＝＝＝4，
∴∠OCT＝∠ECD＝90°，
∴∠OCD＝∠RCE，
在△OCD和△TCE中，
，
∴△OCD≌△TCE（SAS），
∴ET＝OD＝8，
∴AE≥AT﹣ET＝4﹣8，
∴AE的最小值为 4﹣8．
故答案为：4﹣8．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19． 解：3×+1﹣2+1
＝+1﹣2+1
＝．
20． 解：原式＝2（x+1）÷（+）
＝2（x+1）÷
＝2（x+1）•
＝
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝
＝
＝6．
21． 解：（1）如图，点D为所作；
（2）∵∠C＝40°，∠B＝30°．
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝110°﹣40°＝70°．
22． 解：过点A作AD⊥x轴于点D，
∵cs∠AOE＝＝，
∴OD＝3，
∴AD＝＝4，
∴A（3，4），
将点A的坐标代入反比例函数y2＝得，a＝12，
∴双曲线y2的解析式为y＝，
∵点B（3m，m）在反比例函数y＝图象上，
∴m＝，解得m＝±2，
∴B（﹣6，﹣2），
把A（3，4），B（﹣6，﹣2）代入y1＝kx+b得，
解得，
∴直线y1的解析式是y＝x+2；
故答案为y＝，y＝x+2；
（2）∵A（3，4），B（﹣6，﹣2），
∴△AOC的面积＝×OC×4＝2OC，△BOC的面积＝×OC×2＝OC，
∴△AOB的面积＝3OC，
∴S△AOB＝3S△BOC；
（3）当y1＞y2时，x的取值范围为﹣6＜x＜0或x＞3，
故答案为﹣6＜x＜0或x＞3．
23． 解：（1）将表格中的数据进行频数统计可得a＝8，b＝4；
将乙乡镇的玉米容重从小到大排列处在中间位置的两个数都是685，因此中位数是685，即c＝685；
甲乡镇玉米容重在“优等玉米”的有6个，占比为6÷20＝30%，因此d＝30；
故答案为：8，4，685，30；
（2）选择乙乡镇，理由：乙乡镇优等玉米的比例高；
（3）400×30%+600×35%＝330（根），
答：本次小李采购的玉米中“优等玉米”的数量是330根．
24． 解：（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，
依题意得：，
解得：．
答：每辆小客车能坐30名学生，每辆大客车能坐40名学生．
（2）①依题意得：30m+40n＝380，
∴n＝．
又∵m，n均为整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租小客车2辆，大客车8辆；
方案2：租小客车6辆，大客车5辆；
方案3：租小客车10辆，大客车2辆．
②方案1所需租金为200×2+300×8＝2800（元）；
方案2所需租金为200×6+300×5＝2700（元）；
方案3所需租金为200×10+300×2＝2600（元）．
∵2800＞2700＞2600，
∴最省钱的租车方案是方案3租小客车10辆，大客车2辆，最少租金为2600元．
25． 解：（1）由旋转可知：AN′＝BN，CN′＝CN，∠CAN'＝∠B，∠BCN＝∠ACN'，
∵∠ECF＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝45°，
∴∠ACM+∠ACN'＝45°，
即∠N′CM＝∠NCM，
又∵CM＝CM，
∴△CN′M≌△CNM（SAS），
∴MN′＝MN，
∵∠CAM＝∠B＝45°，
∴∠N′AM＝∠CAN'+∠CAM＝90°，
∴AM2+AN'2＝MN'2，
又∵AN′＝BN，MN′＝MN，
∴AM2+BN2＝MN2；
（2）①证明：∵∠GAB＝∠MCN＝45°，∠AMH＝∠CMN，
∴∠AHC＝∠ANC，
∴A，C，N，H四点共圆，
∴∠CAH+∠CNH＝180°，
∵∠CAH＝90°，
∴∠CNH＝90°；
②解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝BG，∠NBC＝∠NBG＝45°，
∵BN＝BN，
∴△NBC≌△NBG（SAS），
∴CN＝NG，
由①可知∠CNH＝90°，
又∵∠HCN＝45°，
∴∠HCN＝∠CHN＝45°，
∴CN＝NH．
故答案为：NH、NG；
③连接CG，
∵∠HCF＝∠BCG＝45°，
∴∠BCN＝∠GCH，
又∵∠CBN＝∠CGH＝45°，
∴△HGC∽△NBC，
∴，
∴GH＝BN，
∵AB＝AG＝（AH+GH）＝AH+GH，
∴AN+BN＝AH+2BN，
∴AN﹣BN＝AH．
故答案为：AN﹣BN＝AH．
26． 解：（1）把A（﹣2，0）代入抛物线的表达式为：4a﹣2+4＝0，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+x+4，
∴C（0，4），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，根据对称性得，C′（2，4），
∴A′（0，0）；
（3）存在．
设F（x，﹣x2+x+4）．
以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
①若AC为平行四边形的边，如图1所示，则EF∥AC且EF＝AC．
过点F1作F1D⊥x轴于点D，
∵EF∥AC，
∴∠DE1F1＝∠OAC，
∵EF＝AC，∠E1DF1＝∠AOC，
∴Rt△AOC≌Rt△E1DF1（AAS），
∴DE1＝OA＝2，DF1＝OC＝4．
∴﹣x2+x+4＝﹣4，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
∴F1（1+，﹣4），F2（1﹣，﹣4）；
∴E1（3+，0），E2（3﹣，0）．
②若AC为平行四边形的对角线，如图2所示．
∵点E3在x轴上，
∴CF3∥x轴，
∴点C为点F关于x＝1的对称点，
∵对称轴为直线x＝1．
∴F3（2，4），CF3＝2．
∴AE3＝2，
∴E3（﹣4，0），
综上所述，存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形；
点E、F的坐标为：E1（3，0），F1（1+，﹣4）；E2（3﹣，0），F2（1﹣，﹣4）；E3（﹣4，0），F3（2，4）．
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.023
0.018
0.020
0.021
610
620
635
650
655
635
670
675
680
675
680
680
685
690
710
705
710
660
720
730
容重等级
600≤x＜630
630≤x＜660
660≤x＜690
690≤x＜720
x≥720
甲乡镇
2
4
a
b
2
乡镇
平均数
众数
中位数
“优等玉米”所占的百分比
甲
673.75
680
677.5
d%
乙
673.75
685
c
35%