浙江省台州市路桥区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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满分150分，考试时间120分钟
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据定义进行分析即可．
【详解】解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
2. 已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是（ ）
A. ﹣1B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】将x＝1代入已知方程求出c即可．
【详解】解：把x＝1代入x2﹣3x+c＝0得：1﹣3+c＝0，
解得：c＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
3. 下列事件属于随机事件的是（ ）
A. 打开电视，正在播放《新闻联播》
B. 任意画一个凸四边形，它的内角和为
C. 用长度分别为的线段围成一个三角形
D. 在一只装有5个红球的不透明袋子中摸出1个白球
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的概念，熟记相关定义是解题的关键．根据事件发生的可能性大小进行判断即可．
【详解】解：A、打开电视，正在播放《新闻联播》，是随机事件，符合题意；
B、任意画一个凸四边形，它的内角和为，是必然事件，不符合题意；
C、用长度分别为的线段围成一个三角形，是不可能事件，不符合题意；
D、在一只装有5个红球的不透明袋子中摸出1个白球，是不可能事件，不符合题意；
故选：A．
4. 由抛物线平移得到抛物线则下列平移方式可行的是（ ）
A. 向左平移4个单位长度B. 向右平移4个单位长度
C. 向下平移4个单位长度D. 向上平移4个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，根据抛物线的平移规律逐一分析各选项即可得到答案.
【详解】解：抛物线向左平移4个单位长度可得： 故A符合题意；
抛物线向右平移4个单位长度可得：故B不符合题意；
抛物线向下平移4个单位长度可得： 故C不符合题意；
抛物线向上平移4个单位长度可得： 故D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是抛物线图象的平移，掌握“抛物线的平移规律”是解本题的关键.
5. 如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确利用抛物线的对称性分析是解题关键．直接利用抛物线的对称性进而得出另一个交点坐标．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是，
∴抛物线与x轴的另一个交点是：．
故选：D．
6. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A. 72°B. 70°C. 60°D. 45°
【答案】A
【解析】
【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B，的度数即可解决问题．
【详解】解：在正五边形ABCDE中，
∠B=∠BCD=×（5-2）×180=108°，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=（180°-108°）=36°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=108°-36°=72°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．
7. 南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，
整理得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
8. 如图，一块直角三角板的角的顶点P落在上，两边分别交于A，B两点，若的直径为4，则弦的长为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，根据圆周角定理得出，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：连接．
．
，
．
故选：C．
9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴的正半轴上，，点A的坐标为，将绕点O逆时针旋转得到，且点B的对应点落在边上，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查含角的直角三角形性质、等边三角形的判定和性质以及旋转的性质，连接，过点作轴于点D，由题意得，可得，由旋转得，得到点是中点，判定是等边三角形，可求得，即可求得和．
【详解】连接，过点作轴于点D，如图，
点A的坐标为，
，
，
．
由旋转得，，
∴点是中点，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
点的坐标为．
故选：A．
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交点的横坐标分别为和1，直线为与双曲线交点的横坐标分别为和1，若，则自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
根据图象，找出双曲线落在直线上方，且直线落在直线上方的部分对应的自变量x的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，当或时，双曲线落在直线上方，且直线落在直线上方，即，
∴若，则自变量x的取值范围是或．
故选：D．
二填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 请写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线解析式_____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意，抛物线是形式，值为负即可．
【详解】解：根据题意，抛物线是形式，值为负即可，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟记二次函数的性质，准确写出解析式．
12. 抛掷一枚均匀的硬币，前3次都正面朝上，第4次正面朝上的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的计算方法求解即可.
【详解】∵第4次抛掷一枚均匀的硬币时，正面和反面朝上的概率相等，
∴第4次正面朝上的概率为.
故答案为.
【点睛】此题考查了概率公式的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴，垂足为点A，若，则k的值为__________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：设点P的坐标为，
∵点P在第二象限，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了解利用直接开平方法一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程得到，结合其中一个解进行计算即可．
【详解】解：根据题意得，
∵其中一个一元一次方程是，
∴，
则．
故答案为：4．
15. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点落在上，已知，，则______度．
【答案】70
【解析】
【分析】旋转后的图形和旋转前的图形全等，再根据平行线的性质即可解．
【详解】由旋转得来
，，
且
故答案：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、图形旋转等，解题的关键在于旋转后的图形与旋转前的图形全等．
16. 如图，将一个半圆形量角器放置在矩形上，刻度线的两端点，分别在边，上滑动，，点在半圆上，且在（或）刻度处．
（1）若点在靠近点处，连接，则_________；
（2）当点与点的距离最大时，_________．
【答案】 ①. ##10度 ②. 或
【解析】
【分析】（1）由直径所对圆周角是直角，和，确定点在半圆量角器的半圆所在的圆上，由点在靠近点处，确定的度数，根据同弧所对圆周角，是其圆心角的一半，即可求解，
（2）根据两边之和大于第三边，得到为的直径，分两种情况进行讨论，即可求解，
本题主要考查了，直径所对圆周角是直角，圆周角定理以及推论，等边对等角的性质，解题的关键是：得出点在半圆形量角器所在的圆上．
【详解】（1）解：在矩形中，，
点在半圆量角器的半圆所在的圆（记为）上，
若点在靠近点处，即点在刻度处，连接，，
，
，
（2）当点与点的距离最大时，为的直径，
，
若点在刻度处，
，
，
,
若点在刻度处，，
，
，
故答案：；或．
三、解答题（本题有8小题，共80分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用配方法进行计算即可得到答案；
（2）采用因式分解法解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
，
，
或，
解得，．
18. 已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为最小整数时，求这两个实数根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程及根的判别式，熟练求解一元二次方程是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式判断即可得解；
（2）由，且m为最小整数，得，此时，方程为，解方程即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴，
因为方程有两个实数根，
，
解得．
【小问2详解】
解： ，且m为最小整数，
，此时，方程为，
解得．
19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为．
（1）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（2）在（1）的条件下，求点旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
【答案】（1）图见解析，
（2）
【解析】
【分析】题目主要考查图形的旋转，弧长公式，熟练掌握图形旋转的作法是解题关键
（1）根据图形旋转的作法作图即可，然后读出点的坐标即可；
（2）先根据勾股定理得出，再由弧长公式计算即可．
【小问1详解】
解：如图所示：
点的坐标为．
【小问2详解】
由（1）的图象，可得点旋转到点所经过的路径为圆弧．
，
点旋转到点所经过的路径长为．
20. 已知某蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求出这个反比例函数的解析式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，求出用电器可变电阻应控制在什么范围．
【答案】（1）
（2）以上的范围内．
【解析】
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，将点，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
【小问1详解】
解：电流I与电阻R是反比例函数，设，
∵图象经过，
∴，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
即用电器可变电阻应控制在以上的范围内．
21. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．若这三种可能性大小相同，用列表或画树状图的方法求两辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
（1）两辆车全部继续直行；
（2）至少有一辆车向左转．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查考查画树状图法求概率，正确的画出树状图，是解题的关键．
（1）画出树状图，进行求解即可；
（2）结合（1）中的树状图进行求解即可．
【小问1详解】
解：画出树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中两辆车全部直行的情况只有1种，
∴P（两辆车全部继续直行）
小问2详解】
由图可知：共有9种等可能的情况，其中至少有一辆车向左转的情况有5种，
∴P（至少有一辆车向左转）．
22. 在矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．
（1）如图，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图，当点落在的延长线上时，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由旋转性质得．在中，利用勾股定理得，进而即可得解．
（2）如图，连接，．由旋转的性质得．进而利用等腰三角形的性质得，再利用矩形的性质即可得解．
【小问1详解】
解：由旋转，得．
在矩形中，，
∴在中，
．
【小问2详解】
解：如图，连接，．由旋转性质得．
，
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质以及旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键
23. 2022年卡塔尔世界杯期间，吉祥物“拉伊卜”得到广大球迷的喜爱．某公司负责销售毛绒玩具“拉伊卜”，已知每个玩具的成本是10元，规定销售单价不低于成本，又不高于24元．经过市场调查发现，该玩具的日销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）的函数关系如图所示．
（1）当时，写出y与x之间的函数解析式；
（2）求该玩具的日销售利润W的最大值；
（3）该公司积极响应精准扶贫的号召，决定每销售一个玩具提取a元用于捐资扶贫，根据市场情况，计划销售单价不低于15元且不高于17元．若公司要求日销售利润不低于8400元，求a的最大值．
【答案】（1）
（2）该玩具的日销售利润W的最大值为10800元
（3）的最大值是1
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当时，列W关于x的二次函数以及当时，关于x的一次函数，利用一次函数与二次函数的性质求解即可．
（3）由题意得，当时，捐资后的日销售利润为，该函数图象的对称轴为直线，进而得当时，日销售利润W应不低于8400元，列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：当时，设y与x之间的函数解析式为，
把；分别代入，
得，
解得，
∴当时，y与x之间的函数解析式为．
小问2详解】
解：当时，，
当时，W有最大值为10800元；
当时，，
∴当时，W有最大值为8400元．
综上，该玩具的日销售利润W的最大值为10800元．
【小问3详解】
解：由题意得，当时，捐资后的日销售利润为，
该函数图象的对称轴为直线，
∴当时，日销售利润W应不低于8400元，即，
解得，
的最大值是1．
【点睛】本题考查了解不等式，待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
24. 如图，内接于，，点是上的动点（不与点，，重合），连接，，．
（1）当点在上时（不与点，重合），求的度数；（用含的式子表示）
（2）如图，当点在上时，过点作于点．
①请探究线段，和之间的数量关系，并证明；
②若，则________；
（3）若，在点运动过程中，，过点作于点，求的长．
【答案】（1）
（2）①，见解析；②
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得．再根据圆内接四边形性质即可得解；
（2）①如图，在上截取，连接，证得，进而根据等腰三角形的性质可得，即可得解；②由，得．进而得．由，得．再根据即可得解．
（3）分点在上和点在两种情况，利用圆周角定理及全等三角形的判定及性质求解即可．
【小问1详解】
解：
．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
．
【小问2详解】
解：①．理由如下：
如图，在上截取，连接，
，，，
∴．
又
，
．
②，
．
由①得，
，
，
．
，
．
∴与同底等高，
．
【小问3详解】
解：如图，当点在上时，在上截取，连接，过点作于点．
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
由（）知，，
；
如图，当点在上时，延长至点，使得，连接，过点作延长线于点．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，，
∴，
，
，
．
，，
，
，
，
．
在中，，
，
．
综上，或．
【点睛】主要考查了圆内接四边形对角互补的性质、同孤所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，平行线的性质等，在求线段的和差关系时，通常会用“裁长补短”法作辅助线将不共线的线段转化到同一直线上：当已知条件中出现平行线及三角形的面积时，通常会用到相似三角形的性质或同底等高的三角形面积相等这一知识点解题；在求解第（）问时要注意对点的位置分情况讨论是解题的关键．