2023-2024学年江苏省盐城市盐都区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市盐都区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.在下列条件中，不能作为判断△ABC≌△DEF的条件是( )
A. AB=DE，AC=DF，∠A=∠D
B. ∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF
C. AB=DE，BC=EF，∠C=∠F
D. AB=DE，AC=DF，BC=EF
3.我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学家.圆周率π≈3.1415926，按照四舍五入法对π精确到千分位是( )
A. 3.1B. 3.14C. 3.142D. 3.1416
4.若点P(m,5)与点Q(3,n)关于原点成中心对称，则m+n的值是( )
A. −2B. 2C. −8D. 8
5.如图，在∠AOB=90°中，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，并作射线OC，则∠BOC的度数为( )
A. 60°
B. 30°
C. 45°
D. 36°
6.如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为( )
A. 1cm
B. 1.5cm
C. 2cm
D. 3cm
7.下列有关一次函数y=−5x+10的说法中，错误的是( )
A. 函数图象经过第一、二、四象限B. y的值随着x的增大而减小
C. 当x10D. 函数图象与y轴交点坐标为(2,0)
8.如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的格点处，AD与BC相交于点O，若小正方形的边长为1，则DO的长为( )
A. 3.2
B. 3
C. 2.8
D. 2.5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.5的平方根是______．
10.如图，直线y=mx与y=kx+b相交于点P(1,2)，则关于x的方程kx+b=mx的解是______．
11.等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为______．
12.已知直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，则斜边上的中线长为______cm．
13.如图，△ACD是等边三角形，若AB=DE，BC=EA，∠B=108°，则∠BAE= ______°.
14.2023年4月16日，盐城马拉松在盐南体育中心开跑，葛老师和包老师参加了其中的迷你健身跑项目，图中AB、OC分别表示葛老师和包老师前往终点所跑的路程S(km)随时间t(min)变化的函数图象，以下说法：①这是全长为5km的比赛；②葛老师比包老师迟10分钟到达终点；③葛老师出发5分钟时遇到包老师；④葛老师的平均速度为200米/分钟.其中正确的有______.(填序号)
15.观察下面几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
请你写出以上规律的第④组勾股数：______．
16.如图，在一次函数y=3x+9的图象上存在点P，使得点P关于直线x=t的对称点P′在△ABC的边上，其中A(1,0)，B(8,0)，C(8,4)，则t的取值范围是______.(注：直线x=t是指过(t,0)且垂直于x轴的直线)
三、解答题：本题共10小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
(1)计算：3−8+ 9；
(2)求x的值：(x−2)2=36．
18.(本小题5分)
已知，如图，∠BAC=∠CDB=90°，AC=DB.求证：AB=DC．
19.(本小题6分)
利用网格线画图：
(1)在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；
(2)在射线AP上找一点Q，使QB=QC．
20.(本小题6分)
已知y+4与x+2成正比例，且x=2时，y=8．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)将所得函数图象向上平移4个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积．
21.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，直线MN垂直平分AB，点E为线段MN上一动点，若BC=6，等腰△ABC面积为21，求△BDE周长的最小值．
22.(本小题6分)
《九章算术》是我国古代数学名著.书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐.引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思是：如图，墙AB高1丈(1丈=10尺)，一根木棒AC靠于墙上，木棒上端与墙头齐平.当木棒下端沿地面从C处向右滑1尺到D处时，木棒上端恰好沿墙壁从A处下滑到墙脚B处(∠ABC=90°,B、C、D在同一水平线上)，求木棒的长为多少尺．
23.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”.如点P(−2,5)和点Q(−5,−1)就是等距点．
(1)下列各点中，是(−8,6)的等距点的有______；(填序号)
①(8,−7)
②(2,−8)
③(7,1)
(2)已知点A的坐标是(−6,5)，点B的坐标是(m+1,m)，若点A与点B是“等距点”，求点B的坐标．
24.(本小题8分)
某商店出售普通练习本和精装练习本，15本普通练习本和10本精装练习本销售总额为145元；20本普通练习本和5本精装练习本销售总额为110元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少元？
(2)该商店计划再次购进200本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为每本2元，精装练习本的进价为每本7元，设购买普通练习本x本，获得的利润为W元；
①求W关于x的函数关系式(并写出自变量的取值范围)；
②该商店应如何进货，才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
25.(本小题8分)
学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质.尝试用你积累的经验和方法，研究函数y=−|x|+1的图象和性质，并解决问题．
(1)从数的角度，①当x=0时，y=−|x|+1=1；②当x>0时，y=−|x|+1=−x+1；③当xy2时，x的取值范围是______．
26.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，一次函数y=kx−3的图象与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B．
(1)如图1，若点B(−4,0)，点B关于y轴的对称点为点B′，求直线AB′的函数表达式；
(2)在(1)的条件下，点C是线段BB′上不与点B、B′重合的一个动点．
①如图1，CM⊥AB，CN⊥AB′，垂足分别为点M、N，试探究CM+CN的值是否变化，若不变求出CM+CN的值；若变化，说明理由；
②点D是线段AB′上的一点，且满足∠ACD=∠ABB′.直接写出当△ACD为等腰三角形时点C的坐标；
(3)如图3，若∠OAB=60°，动点C在线段BO上，将线段AC绕点A顺时针旋转60°，得到线段AD，连接CD、OD，请直接写出线段OD长度的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
解：选项A、B、C的图形找不到一条直线使图形沿直线对折后，直线两旁的部分能够重合，故不是轴对称图形；
选项D的图形能够找到一条直线使图形沿直线对折后，直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形．
故选：D．
根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，进行判断即可．
本题考查轴对称图形的识别，掌握概念是解题的关键．
2.【答案】C
解：A中可用SAS定理可判定△ABC≌△DEF；
B中可根据AAS定理判定△ABC≌△DEF；
C中AB=DE，BC=EF，∠C=∠F，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D中可根据SSS定理判定△ABC≌△DEF．
故选C．
根据全等三角形的判定定理(SAS、ASA、AAS、SSS、直角三角形还有HL)判断即可．
本题考查了对全等三角形的判定定理的理解，熟练地运用全等三角形的判定定理进行说理是解此题的关键，注意对应相等．
3.【答案】C
解：3.1415926≈3.142，
故选：C．
根据题意将圆周率精确到小数部分的第三位，再根据小数部分的第四位是5，运用四舍五入法即可求出结果．
本题考查了圆和近似数的问题，解题的关键是根据四舍五入法来求近似数．
4.【答案】C
解：由题可知，P(m,5)，Q(3,n)；
∵P与Q关于原点成中心对称；
∴m+3=0，n+5=0；
∴m=−3，n=−5；
∴m+n=−8；
故选：C．
如果两个点关于原点成中心对称，那么这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，直接计算即可求解．
本题主要考查中心对称坐标的变化规律，正确记忆相关规律是解题关键．
5.【答案】B
解：∵用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，
∴OA=OB，
∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，
∴OA=AC，
∴OA=OB=OC=AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOC=90°−∠AOC=30°，
故选：B．
根据题意得出△ABC为等边三角形，从而得出∠AOC的度数，再利用角度和差即可求解．
此题考查了等边三角形的判定及等腰直角三角形，解题的关键是掌握等边三角形的性质及其应用．
6.【答案】A
解：在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= 42+32=5cm，
根据折叠的性质可知：AE=AB=5cm，
∵AC=4cm，
∴CE=AE−AC=1cm，
即CE的长为1cm，
故选：A．
根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB，已知AC的长，可将CE的长求出．
本题考查图形的折叠与勾股定理，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口．
7.【答案】D
解：∵一次函数解析式为y=−5x+10，k=−50，
∴y函数图象经过第一、二、四象限，的值随着x的增大而减小，函数图象与y轴交点坐标为(0,10)，
∴当x10，
∴四个选项中，只有D选项说法错误，
故选：D．
根据一次函数图象的性质以及与y轴的交点进行判断即可．
本题主要考查了一次函数图象的性质，熟知一次函数图象的性质是解题的关键．
8.【答案】B
解：∵AB/​/CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴AOOD=ABCD=23，
∵AD= 32+42=5，
∴OD=35AD=35×5=3，
故选：B．
利用AB/​/CD，可知△AOB∽△DOC，可得AOOD=ABCD=23，再利用勾股定理可以求出AD的长，最后利用比例求出OD的长．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用勾股定理求出AD的长和利用相似三角形的性质得出线段的比．
9.【答案】± 5
解：∵(± 5)2=5，
∴5的平方根是± 5，
故答案为：± 5．
运用平方根和平方运算间的互逆关系进行求解．
此题考查了运用平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
10.【答案】x=1
解：∵直线y=mx与y=kx+b相交于点P(1,2)，
∴关于x的方程kx+b=mx的解是x=1．
故答案为：x=1．
根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b=mx的解可得答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握直线y=mx与y=kx+b的交点横坐标就是关于x的方程kx+b=mx的解．
11.【答案】15
解：当3是腰长时，三角形的三边长分别为3，3，6，
∵3+3=6，
∴不能构成三角形；
当6是腰长时，三角形的三边长分别为3，6，6，
∵3+6=9>6，
∴能构成三角形，
∴周长为：3+6+6=15，
综上所述，三角形的周长为：15，
故答案为：15．
分两种情况：当3是腰长时，当6是腰长时，利用三角形的三边关系判断能否构成三角形，再根据三角形的周长公式进行计算即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系及等腰三角形的性质，采用分类讨论的思想解题，是解本题的关键．
12.【答案】5
解：在△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm
∴AC2+BC2=AB2
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10cm
∵CD是AB边上的中线
∴CD=12AB=12×10=5cm．
首先根据勾股定理计算直角三角形的斜边，再根据直角三角形的性质进行计算．
考查了勾股定理以及直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13.【答案】132
解：∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
在△ABC与△DEA中，
AB=DEBC=EAAC=AD，
∴△ABC≌△DEA(SSS)，
∴∠BAC=∠ADE，∠B=∠E=108°，
∴∠BAC+∠DAE=∠ADE+∠DAE=180°−108°=72°，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=72°+60°=132°．
故答案为：132．
根据是SSS证明△ABC与△DEA全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明两个三角形全等．
14.【答案】①③
解：由图象可知，比赛的全长为5km，葛老师比包老师早到达终点，
∴①正确，②不正确；
葛老师的平均速度为(5−2.5)÷(20−15)=0.5(千米/分钟)，
0.5千米/分钟=500米/分钟，
∴④不正确；
2.5÷0.5=5(分钟)，
∴葛老师跑2.5千米用时5分钟，此时与包老师相遇，
∴③正确；
综上，①③正确，②④不正确，
故答案为：①③．
①②直接根据图象判断即可；
④根据速度=路程÷时间计算即可；
③根据葛老师的平均速度，计算出他跑2.5千米时所用的时间即可．
本题考查一次函数的应用，从函数图象获得有用的数学信息是本题的关键．
15.【答案】9，40，41
解：∵①3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1；
②5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1；
③7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1；
④9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1；
故答案为：9，40，41．
先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．
本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．
16.【答案】−1≤t≤196
解：∵点P在一次函数y=3x+9的图象上，
∴设点P的坐标为(m,3m+9)，
∵点P和点P′关于直线x=t对称，
∴点P和点P′的纵坐标相同，
∴可设点P′的坐标为(n,3m+9)，
∴12(m+n)=t，
∴n=2t−m，
∴点P′的坐标为(2t−m,3m+9)，
∵A(1,0)，B(8,0)，C(8,4)，
点P′在△ABC的边上，
∴0≤3m+9≤41≤2t−m≤8，
由0≤3m+9≤4，得：−3≤m≤−53，
由1≤2t−m≤8，得：m+12≤t≤m+82，
∴−1≤t≤196．
设点P(m,3m+9)，根据点P和点P′关于直线x=t对称得点P′(2t−m,3m+9)，再根据点P′在△ABC的边上得0≤3m+9≤41≤2t−m≤8，由0≤3m+9≤4得−3≤m≤−53，由1≤2t−m≤8得m+12≤t≤m+82，由此可得t的取值范围．
此题主要考查了一次函数图象上的点，不等式的应用，理解一次函数图象上的点满足一次函数的表达式，熟练掌握解不等式是解决问题的关键
17.【答案】解：(1)3−8+ 9
=−2+3
=1；
(2)(x−2)2=36，
x−2=±6，
x−2=6或x−2=−6，
x=8或x=−4．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用平方根的意义，进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
BC=CBAC=DB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)，
∴AB=DC．
【解析】由BC=CB，AC=DB，根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，则AB=DC．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边并且适当选择全等三角形的判定定理证明Rt△ABC≌Rt△DCB是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，点P即为所求．
(2)如图，点Q即为所求．

【解析】(1)作∠CAB的角平分线AT交BC于点P，点P即为所求．
(2)作线段BC的垂直平分线交AT于点Q，点Q即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质．
20.【答案】解：(1)设y+4=k(x+2)，
把x=2，y=8代入得：8+4=4k，即k=3，
则y与x函数关系式为y+4=3(x+2)，即y=3x+2；
(2)将直线y=3x+2向上平移4个单位后得到的直线是：y=3x+6；
∵当y=0时，x=−2．
当x=0时，y=6，
∴平移后的图象与x轴交点的坐标是(−2,0)，与y轴的交点坐标是(0,6)，
则平移后的图象与两坐标轴围成的三角形面积是：12×2×6=6．
【解析】(1)由y+4与x+2成正比例，设出关系式，把x与y的值代入k的值，即可确定出解析式；
(2)该函数的图象向上平43个单位，求出它的解析式，然后求得该函数图象与坐标轴的交点，则根据三角形的面积公式进行解答即可．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
21.【答案】解：连接AD、AE，
∵AB=AC，点D为BC的中点，BC=6，
∴AD⊥BC，BD=CD=12BC=3，
∵S△ABC=12BC⋅AD，且S△ABC=21，
∴12×6AD=21，
解得AD=7，
∵直线MN垂直平分AB，
∴点A与点B关于直线MN对称，
∴点E在线段MN上，
∴BE=AE，
∴BE+DE=AE+DE，
∵AE+DE≥AD，
∴BE+DE≥7，
∴BE+DE+BD≥7+3，
∴BE+DE+BD≥10，
∴BE+DE+BD的最小值为10，
∴△BDE周长的最小值为10．
【解析】连接AD、AE，由AB=AC，BC=6，点D为BC的中点，得AD⊥BC，BD=CD=3，则S△ABC=12×6AD=21，求得AD=7，因为直线MN垂直平分AB，点E在线段MN上，所以BE=AE，则BE+DE=AE+DE，由AE+DE≥AD，得BE+DE≥7，则BE+DE+BD≥10，所以△BDE周长的最小值为10．
此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、三角形的面积公式、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：设木棒的长为x尺，则BC=(x−1)尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，
∴102+(x−1)2=x2，
解得：x=50.5，
答：木棒的长为50.5尺．
【解析】设木棒的长为x尺，则BC=(x−1)尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
23.【答案】①②
解：(1)由题意可得，
点(−8,6)到x轴的距离较大，这个距离为8，
点(8,−7)到x轴的距离较大，这个距离为8，故①符合题意；
点(2,−8)到y轴的距离较大，这个距离为8，故②符合题意；
点(7,1)到x轴的距离较大，这个距离为7，故③不符合题意；
故答案为：①②；
(2)由题意可得，
点A的坐标是(−6,5)，到x轴的距离较大，这个距离为6，
∵点B的坐标是(m+1,m)，点A与点B是“等距点”，
∴当m>0时，m+1=6，得m=5，此时点B的坐标为(6,5)；
当−1≤m≤0时，|m+1|≤1，|m|≤1，此时不符合题意；
当m1；
③函数y1=kx+b(k≠0)与y2=−|x|+1的图象相交于(−2,−1)，(4,−3)两点，由图象可知，当y1>y2时，x的取值范围是x4．
故答案为：x4．
(1)根据绝对值的定义进行计算即可；
(2)把x、y的值代入函数关系式进行计算即可；
(3)根据图象解答即可；
(4)利用函数的图象解答即可．
本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程的关系，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的关键．
26.【答案】解：(1)当x=0时，y=−3，
∴A(0,−3)，
∵点B(−4,0)，点B关于y轴的对称点为点B′，
∴B′(4,0)，
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
∴4k+b=0b=−3，
解得k=34b=−3，
∴直线AB′的解析式为y=34x−3；
(2)①CM+CN的值不变，理由如下：
连接CA，
∵S△ABB′=S△ABC+S△ACB′，
∴12×BB′×OA=12×AB×CM+12×AB′×CN，
即8×3=5(CM+CN)，
∴CM+CN=245；
②∵AB=AB′，
∴∠ABB′=∠AB′B，
∵∠ACD=∠ABB′，
∴∠ACD=∠AB′B，
当AC=CD时，∠CAD=∠CDA，
∴∠DAD=∠ACB′，
∴B′C=AB′=5，
∵OB′=4，
∴C(−1,0)；
当CD=AD时，∠ACD=∠CAD，
∴CAD=∠DB′A，
∴AC=B′C，
在Rt△OAC中，AC2=OC2+OA2，即(4−OC)2=O2C+9，
解得OC=78，
∴C(78,0)；
当AC=AD时，∠ACD=∠ADC，
∴∠OB′A=∠ACB′，
∴AB′=AC=5，此时C点与B′重合或与B重合，不符合题意；
综上所述：C点坐标为(−1,0)或(78,0)；
(3)取AB的中点E，连接CE，
∵∠OAB=60°，∠AOB=90°，
∴∠OBA=30°，
∴OA=12AB=AE，
∵∠CAD=60°，
∴∠BAC+∠CAO=∠CAO+∠OAD=60°，
∴∠CAE=∠OAD，
∵AC=AD，
∴△ACE≌△ADO(SAS)，
∴OD=CE，
当CE⊥x轴时，CE的长最小，即OD长最小，
∵OA⊥x轴，E时AB的中点，
∴CE=12OA=32，
∴线段OD长度的最小值为32．
【解析】(1)分别求A(0,−3)，B′(4,0)，再由待定系数法求直线AB′的解析式即可；
(2)①连接AC，利用等积法，S△ABB′=S△ABC+S△ACB′，可得BB′×OA=AB(CM+CN)，即可求CM+CN是定值；
②分三种情况讨论：当AC=CD时，B′C=AB′=5，可求C(−1,0)；当CD=AD时，AC=B′C，在Rt△OAC中，利用勾股定理(4−OC)2=O2C+9，
解得OC=78，可求C(78,0)；当AC=AD时，AB′=AC=5，此时C点与B′重合或与B重合，不符合题意；
(3)取AB的中点E，连接CE，证明△ACE≌△ADO(SAS)，则OD=CE，当CE⊥x轴时，CE的长最小，即OD长最小，求出CE的最小值即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的心脏，勾股定理是解题的关键．x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
−2
______
0
1
0
−1
______
…