浙江省台州市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题（Word版附解析）

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 直线的斜率等于（ ）
A. B. 1C. 2D.
2. 若双曲线的离心率为2，则实数（ ）
A. 2B. C. 4D. 16
3. 若空间向量，则与的夹角的余弦值为（ ）
A B.
C. D.
4. 已知等差数列的前项和为.若，则其公差为（ ）
A. B. C. 1D. 2
5. 如图，在平行六面体中，记，则（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列为正整数），若，则所有可能的取值的和为（ ）
A 16B. 18C. 20D. 41
7. 已知抛物线的焦点为,两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
8. 在空间四边形中，，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A. 是等比数列
B. 一定不是等差数列
C. 是等比数列
D. 一定不等比数列
10. 已知且，曲线，则下列结论中正确的是（ ）
A. 当时，曲线是椭圆
B. 当时，曲线是双曲线
C. 当时，曲线的焦点坐标为
D. 当时，曲线的焦点坐标为
11. 如图，在四面体中，分别是的中点，相交于点，则下列结论中正确的是（ ）

A. 平面
B.
C.
D. 若分别为的中点，则为的中点
12. 已知，，则下列结论中正确是（ ）
A. 当时，
B. 当时，有2个元素
C. 若有2个元素，则
D. 当时，有4个元素
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 点到直线的距离为______．
14. 已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于______.
15. 已知数列的前项和为.当时，的最小值是______.
16. 已知抛物线和.点在上（点与原点不重合），过点作的两条切线，切点分别为，直线交于两点，则的值为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知圆经过原点及点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过原点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程.
18. 已知数列是公比不为1的等比数列，其前项和为.已知成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19. 在长方体中，.从①②这两个条件中任选一个解答该题.
①直线与平面所成角的正弦值为；
②平面与平面的夹角的余弦值为.
（1）求的长度；
（2）是线段（不含端点）上的一点，若平面平面，求的值.
20. 如图，圆的半径为4，是圆内一个定点且是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，点在圆上运动.
（1）求点的轨迹；
（2）当时，证明：直线与点形成的轨迹相切.
21. 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
（1）如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
（2）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
22. 已知双曲线的实轴长为，直线交双曲线于两点，.
（1）求双曲线的标准方程；