期末押题培优01卷（考试范围：21.1-27.3）-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

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一、单选题(共30分)
1．(本题3分)中国剪纸传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值。在下列四幅剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
2．(本题3分)将抛物线沿直角坐标平面先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到的抛物线解析式为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象的平移法则是解题的关键 ．
3．(本题3分)用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把常数项移项，两边加上一次项系数一半的平方解题．
【详解】解：，
，
．
故选A．
【点睛】本题考查配方法解一元二方程，熟记解题方法是解题的关键．
4．(本题3分)已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P与⊙O的位置关系为（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定
【答案】C
【分析】先求出方程的根，再根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断位置关系即可．
【详解】方程的根为，
∵点P到圆心O的距离d为方程的一个根，
∴，
∵⊙O的半径是4，
，
∴点P在⊙O外，
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解一元二次方程，熟练掌握点到圆心的距离大于半径时，点在圆外是解题的关键．
5．(本题3分)下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．等腰三角形有两条边相等
B．三角形的三条边为3，4，5，则该三角形为直角三角形
C．任选一个实数x，使得有意义
D．在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球．
【答案】C
【分析】根据随机事件的概念求解即可，
【详解】解：A．是必然事件，不符合题意；
B．是必然事件，不符合题意；
C．是随机事件，符合题意；
D．是不可能事件，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了随机事件的概念，解题的关键是熟练掌握随机事件的概念．
6．(本题3分)在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为：聚会人数（聚会人数）总握手次数，把相关数值代入即可．
【详解】解：设参加这次聚会的同学共有x人，
由题意得：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
7．(本题3分)下列抛物线中，其顶点在反比例函数y＝的图象上的是（ ）
A．y＝（x﹣4）2+3B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x+2）2﹣1
【答案】A
【分析】根据y＝得k＝xy＝12，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于12，就在函数图象上．
【详解】解：∵y＝，
∴k＝xy＝12，
A、y＝（x﹣4）2+3的顶点为（4，3），4×3＝12，故y＝（x﹣4）2+3的顶点在反比例函数y＝的图象上，
B、y＝（x﹣4）2﹣3的顶点为（4，﹣3），4×（﹣3）＝﹣12≠12，故y＝（x﹣4）2﹣3的顶点不在反比例函数y＝的图象上，
C、y＝（x+2）2+1的顶点为（﹣2，1），﹣2×1＝﹣2≠12，故y＝（x+2）2+1的顶点不在反比例函数y＝的图象上，
D、y＝（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1），﹣2×（﹣1）＝2≠12，故y＝（x+2）2﹣1的顶点不在反比例函数y＝的图象上，
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是抛物线的顶点坐标以及反比例函数图象上点的坐标，根据抛物线的解析式确定抛物线的顶点坐标是解此题的关键．
8．(本题3分)下列说法不正确的是（ ）
A．所有矩形都是相似的
B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2
C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ cm
D．四条长度依次为lcm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段
【答案】A
【分析】根据相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割判断即可．
【详解】解：A.所有矩形对应边的比不一定相等，所以不一定都是相似的，A不正确，符合题意；
B.若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2，B正确，不符合题意；
C.若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ cm，C正确，不符合题意；
D. ∵1：2=2：4，∴四条长度依次为lcm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段，D正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割，掌握它们的概念和性质是解题的关键．
9．(本题3分)如图，
已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为
A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）
【答案】D
【详解】试题分析：已知抛物线的对称轴为x=2，知道A的坐标为（0，3），由函数的对称性知B点坐标．
解：由题意可知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，
∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，
可知A、B两点为对称点，
∴B点坐标为（4，3）
故选D．
考点：二次函数的性质．
10．(本题3分)如图，P是等边三角形ABC内一点，将绕点A顺时针旋转得到，若， ，，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，由题意得是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明，根据即可解决问题．
【详解】如图，连接，
绕点A顺时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，对应边相等，对应角相等．
二、填空题(共18分)
11．(本题3分)抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为______．
【答案】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点进行解答即可．
【详解】解：关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，
抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为：，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
12．(本题3分)已知袋中有若干个球，其中只有3个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中球的总个数是 _______．
【答案】12
【分析】根据概率公式结合取出红球的概率即可求出袋中小球的总个数．
【详解】解：袋中球的总个数是：（个）．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了概率公式，根据概率公式算出球的总个数是解题的关键．
13．(本题3分)小亮希望测量出电线杆的高度，他在电线杆旁的点D处立一标杆，标杆的影子与电线杆的影子部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得米，米， 米．则电线杆的高为___________米．
【答案】5
【分析】根据题意得出，利用相似三角形的对应边成比例即可解答．
【详解】解：∵ 米，米，
∴米，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
即电线杆的高为5米，
故答案为：5.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质.
14．(本题3分)圆锥的底面半径为，母线为，则圆锥的侧面积为___________（结果保留）．
【答案】
【分析】首先求得圆锥的底面半径，即展开扇形的弧长，根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵圆锥的底面周长是，
∴圆锥的侧面积是，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥的基本性质及求面积公式，掌握相关求解公式是解题的关键．
15．(本题3分)某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了_______米．
【答案】45
【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
【详解】解：，
，
时，s取得最大值45，
汽车刹车后到停下来前进了45米，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了二次函数求最值的问题，根据已知利用配方法得出顶点式是解题关键．
16．(本题3分)如图，已知：是的直径，弦，分别过，作的垂线，垂足为，．得到如下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若为的中点，则为中点；⑤若半径，则扇形的面积为；所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②④
【分析】①②正确，证明即可；③错误，可证；④正确，由题意可证△OBN是等边三角形，可得结论；⑤错误，∠BON的大小不确定，故面积不确定．
【详解】连接AM，BN，OM，根据平行线间的距离相等，可得MC=ND，
∴(HL)，
∴∠MOC=∠NOD，OC=OD，
∴，AC=BD，所以①②正确
若四边形是正方形，则MC=2OC，，
则，所以③错误．
当M是的中点时，可得∠AOM=∠MON=∠BON=60°，
∴△BON是等边三角形，
又∵ ，
∴D为OB中点．所以④正确
若半径，扇形的圆心角大小不确定，所以面积不一定为，所以⑤错误．
故正确答案为：①②④
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定等，根据圆心角、弧、弦之间的关系正确分析题意，作出辅助线是解题的关键．
三、解答题(共82分)
17．(本题6分)解方程
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）观察方程可知，采用因式分解的方法即可求解；
（2）观察方程可知，采用因式分解的方法即可求解．
【详解】（1）解：
或
，
（2）解：
或
，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，属于基础计算题考查，难度不大．解题的关键是观察方程结构采用合适的方法求解和计算的准确性．
18．(本题6分)如图，在中，，，，点D在边上．
(1)判断与是否相似？请说明理由．
(2)当时，求的长．
【答案】(1)相似，理由见解析；
(2)AB的长为3．
【分析】（1）由两个三角形相似的判定定理即可得出结论；
（2）根据三角形相似，对应边成比例可求出的长．
【详解】（1）相似，理由如下：
∵，，，
∴，
又∵为公共角，
．
（2），
，
，
．
即的长为3．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定定理和性质，要求学生熟练掌握和运用三角形相似的判定定理及性质，找出三角形相似的条件是解题的关键．
19．(本题8分)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出将绕原点O顺时针方向旋转得到的；
(2)求（1）中线段扫过的图形面积．
【答案】(1)如下图所示；
(2)．
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出顺时针旋转后的图形即可；
（2）首先明确线段扫过的图形是半径为，圆心角为的一个扇形，再利用扇形面积公式即可得出结论．
（1）
解：如图，即为所求．
（2）
解：由（1）知：线段扫过的图形是半径为，圆心角为的一个扇形，
，圆心角，
线段扫过的图形的面积
=
=．
故线段扫过的图形的面积为．
【点睛】此题考查图形的旋转变换与作图，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
20．(本题8分)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球．把它们分别标记为1，2，3，4．
(1)随机摸取一个小球的标号是偶数，该事件的概率为______；
(2)小雨和小佳玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜．小雨先从口袋中摸出一个小球，不放回，小佳再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，分别求出小雨和小佳获胜的概率．
【答案】(1)
(2)小雨获胜的概率为；小佳获胜的概率为
【分析】（1）直接由概率公式求即可；
（2）利用列表法分析出共有12种等可能的结果，小雨获胜的结果有6种，小佳获胜的结果也有6种，然后由概率公式计算即可．
【详解】（1）解：，
∴随机摸取一个小球的标号是偶数的概率为；
故答案为：
（2）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，小雨获胜的结果有6种，小佳获胜的结果也有6种
小雨获胜的概率为
小佳获胜的概率为
答：小雨获胜的概率为，小佳获胜的概率为．
【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率，概率公式，熟练掌握概率公式：，用列表法或画树状图法分析等可能的结果总数与所求事件的结果数是解题的关键．
21．(本题10分)如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)结合图形，求y＞0时自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可；
（2）根据解析式令，求得点的坐标，进而根据抛物线与轴的交点结合函数图象即可求得y＞0时自变量x的取值范围．
(1)
解：将点代入抛物线y＝x2+bx+c，得
解得
则抛物线的解析式为：
(2)
由抛物线的解析式，令
即
解得
，，且抛物线开口向上，
y＞0时自变量x的取值范围为或
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据函数图象求自变量的范围，数形结合是解题的关键．
22．(本题10分)如图，的直径为，弦为的平分线交于点．
（1）求的长；
（2）试探究之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）连接为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）．
【分析】(1)根据直径所对的角是90°，判断△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交O于D，判断△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出值；
(2)延长CA到F，使AF=CB，可证△CDF为等腰直角三角形,从而得到CA、CB、CD 之间的等量关系；
(3)作辅助线，连接OM，PM,正确构造图形，确定M的运动轨迹是圆弧形，先求的长度，再得到点M经过路径的长．
【详解】解：是直径
是的平分线
在中，
，证明如下
延长到，使，连接
又
为等腰直角三角形
连接
点为的内心
所以点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）；
设所在圆的圆心
弧的长为=
点经过路径长为=
【点睛】本题综合考查了圆周角定理，全等三角形，等腰直角三角形，圆弧的长，勾股定理等知识，解答此题要抓住三个关键，
(1)判断出ABC和 △ABD是直角三角形，以便利用勾股定理；
(2)判断出线段△CDF和△ABD是等腰直角三角形，然后将各种线段转化到等腰直角三角形中利用勾股定理解答，
(3)通过作辅助线，正确构造图形，确定M的运动轨迹是圆弧形，再利用弧长公式解答．
23．(本题10分)某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
【答案】(1)x（90－x）元
(2)50度
【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解；
（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解．
【详解】（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
∵超过部分按每度元交电费，
∴超过部分应交的电费为x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x1＝30不合题意，舍去．
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
24．(本题12分)如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD，垂足为E，P为上的动点（不与端点重合），连接PD．
(1)求证：∠APD＝∠BPD；
(2)利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI＝180°；
(3)在（2）的条件下，连接IC、IE，若∠APB＝60°，试问：在P点的移动过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可证明；
（2）作∠BAP的平分线交BP于I，证明∠DAI=∠AID，进而命题可证；
（3）连接BI，AC，先计算得∠AIB=120°，从而确定I在以D为圆心，AD为半径的圆上运动，根据“射影定理”得AD2=DE•CD，进而证明△DI′E∽△DCI′，从而求得结果．
（1）
解：证明：∵直径CD⊥弦AB，
∴，
∴∠APD=∠BPD；
（2）
如图，
作∠BAP的平分线，交PD于I，
证：∵AI平分∠BAP，
∴∠PAI=∠BAI，
∴∠AID=∠APD+∠PAI=∠APD+BAI，
∵，
∴∠DAB=∠APD，
∴∠DAI=∠DAB+∠BAI=∠APD+∠BAI，
∴∠AID=∠DAI，
∵∠AIP+∠DAI=180°，
∴∠AIP+∠DAI=180°；
（3）
如图2，
连接BI，AC，OA，OB，
∵AI平分∠BAP，PD平分∠APB，
∴BI平分∠ABP，∠BAI=∠BAP，
∴∠ABI=∠ABP，
∵∠APB=60°，
∴∠PAB+∠PBA=120°，
∴∠BAI+∠ABI=（∠BAP+∠ABP）=60°，
∴∠AIB=120°，
∴点I的运动轨迹是，
∴DI=DA，
∵∠AOB=2∠APB=120°，
∵AD⊥AB，
∴，
∴∠AOB=∠BOD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=AO，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠CAD，
∵∠ADC=∠ADE，
∴△ADE∽△CDA，
∴，
∴AD2=DE•CD，
∵DI′=DI=AD，
∴DI2=DE•CD，
∵∠I′DE是公共角，
∴△DIE∽△DCI，
∴．
【点睛】本题考查了圆的有关定理及确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型．
25．(本题12分)已知关于x的一元二次方程﹣+ax+a+3＝0．
(1)求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)如图，若抛物线y＝﹣+ax+a+3与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，连结BC，BC与对称轴交于点D．
①求抛物线的解析式及点B的坐标；
②若点P是抛物线上的一点，且点P位于直线BC的上方，连接PC，PD，过点P作PN⊥x轴，交BC于点M，求△PCD的面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)①y=，点B（4，0）；②△PCD的面积的最大值为1，点P（2，4）．
【分析】（1）判断方程的判别式大于零即可；
（2）①把A（-2，0）代入解析式，确定a值即可求得抛物线的解析式，令y=0，求得对应一元二次方程的根即可确定点B的坐标；
②设点P的坐标为（x，），确定直线BC的解析式y=kx+b，确定M的坐标（x，kx+b），求得PM=-（kx+b），从而利用C，D的坐标表示构造新的二次函数，利用配方法计算最值即可．
（1）
∵，
∴△=
=＞0，
∴无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）
①把A（-2，0）代入解析式，
得，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为，
令y=0，得，
解得x=-2（A点的横坐标）或x=4，
∴点B（4，0）；
②设直线BC的解析式y=kx+b，
根据题意，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+4；
∵抛物线的解析式为，直线BC的解析式为y=-x+4；
∴设点P的坐标为（x，），则M（x，），点N（x，0），
∴PM=-（）=，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点D（1，3），
∵
=
=
=，
∴当x=2时，y有最大值1，此时=4，
∴△PCD的面积的最大值为1，此时点P（2，4）．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数，一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，分割法求图形的面积，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键．
小雨
小佳
1
2
3
4
1
2
3
4
月份
用电量/度
交电费总数/元
2月
80
25
3月
45
10