专题10 二次函数中面积问题-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）

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方法1 割补法求面积
1．如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B．
(1)求该抛物线的函数表达式：
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】（1）；（2）;当时，取得最大值．
【解析】
【分析】
（1）根据题意先求出点B的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可；
（2）由题意可求点A坐标，连接，由题意知，点的坐标为，则有，然后根据割补法求面积即可．
【详解】
解：（1）把代入得，
∴．
把代入，
得，∴．
∴抛物线的解析式为；
（2）令，则，解得或3，
∴抛物线与轴的交点横坐标分别为和3．
∵点在抛物线上，且在第一象限内，
∴．
将代入，得，解得，
∴．
如解图，连接，由题意知，点的坐标为，
则
，
∵，且，
∴当时，取得最大值．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
方法2 铅锤高水平宽求面积
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E,点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积；
解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴抛物线对称轴为x＝1，
∴E（3，0），
设直线AE的解析式为y＝kx+3，
∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，
如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴＝＝，
∴t＝时，△PAE的面积最大，最大值是．
方法3 △=0时求面积最大
3．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点（－1，0），点C(0，－2)．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标．
（1）将A（－1，0）、点C(0，－2)．代入
求得：
（2）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直线BC的解析式为：y=x-2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，
当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：
x+b=x2-x-2，即：x2-2x-2-b=0，且△=0；
∴4-4×（-2-b）=0，即b=-4；
∴直线l：y=x-4．
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：
，
解得：
即 M（2，-3）．
过M点作MN⊥x轴于N，
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB-S△OCB=×2×（2+3）+×2×3-×2×4=4．
∴点M（2，﹣3），△MBC面积最大值是4.
考点：二次函数综合题．
类型拓展1 求四边形面积
4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过B、C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D在直线BC下方的抛物线上，如图1，连接DC、DB，设四边形OCDB的面积为S，求S的最大值；
解：（1）对于y＝x﹣2，令y＝x﹣2＝0，
解得：x＝4；
令x＝0，则y＝﹣2，
故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2）；
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，
解得：，
故抛物线的表达式为①；
（2）连接OD，点D的坐标为（x，），
则S＝S△ODC＋S△ODB＝×OC×＋×BO×（﹣）
＝×2×x＋×4×（）
＝﹣x2＋4x＋4，
∵﹣1＜0，故S有最大值，
当x＝2时，S有最大值8；
5．如图，抛物线与轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，连接AC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点E为直线BC上方的抛物线上的一动点（点E不与点B，C重合），连接BE，CE，设四边形BECA的面积为S，求S的最大值；
(1)
解：（1）将，，代入，
，
解得：，
；
(2)
（2）过作轴于点，与交于点，
，，，
当时，，
，
，
设，则，
，
，
，
当时，的最大值为；
类型拓展2 抛物线上有且只有三个点
6．如图1，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S．
解：(1)∵抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．
∴
∴
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+6，
∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴顶点坐标为（2，8）
(2)∵点A（0，6），点B（6，0），
∴直线AB解析式y＝﹣x+6，
当x＝2时，y＝4，
∴点D（2，4）
如图1，设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点为P，
设直线PC解析式为y＝﹣x+b，
∴﹣x2+2x+6＝﹣x+b，且只有一个交点，
∴△＝9﹣4××（b﹣6）＝0
∴b＝，
∴直线PC解析式为y＝﹣x+，
∴当x＝2，y＝，
∴点C坐标（2，），
∴CD＝，
∵﹣x2+2x+6＝﹣x+，
∴x＝3，
∴点P（3，）
∵在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，
∴另两个点所在直线与AB，PC都平行，且与AB的距离等于PC与AB的距离，
∴DE＝CD＝，
∴点E（2，﹣），
设P'E的解析式为y＝﹣x+m，
∴﹣＝﹣2+m，
∴m＝
∴P'E的解析式为y＝﹣x+，
∴﹣x2+2x+6＝﹣x+，
∴x＝3±3，
∴点P'（3+3，﹣﹣3），P''（3﹣3，﹣+3），
∴S＝×6×（﹣3）＝．
7．如图，直线与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 经过 B、C 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 E 是抛物线上的一动点（不与 B，C 两点重合），△BEC 面积记为 S，当 S 取何值时，对应的点 E 有且只有三个？
【答案】（1）；（2）3
【解析】
【分析】
（1）先利用一次函数解析式确定B（0，3），C（4，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）由于E点在直线BC的下方的抛物线上时，存在两个对应的E点满足△BEC面积为S，则当E点在直线BC的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E点满足△BEC面积为S，所以过E点的直线与抛物线只有一个公共点，设此时直线解析式为，利用方程组只有一组解求出b得到E点坐标，然后计算此时S△BEC．
【详解】
（1）当x=0时，y=-x+3=3，则B（0，3），
当y=0时，-x+3=0，解得x=4，则C（4，0），
把B（0，3），C（4，0）代入y=ax2+x+c得，
所以抛物线解析式为；
（2）当E点在直线BC的下方的抛物线上时，一定有两个对应的E点满足△BEC面积为S，
所以当E点在直线BC的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E点满足△BEC面积为S，
即此时过E点的直线与抛物线只有一个公共点，
设此时直线解析式为，
方程组只有一组解，
方程有两个相等的实数解，
则△=122-4×3×（-24+8b）=0，解得b=，解方程得x1=x2=2，
E点坐标为（2，3），
此时，
所以当S=1时，对应的点E有且只有三个．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
8．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点是抛物线上的一动点(不与，两点重合)，当时，求点的坐标；
（3）若点是抛物线上的一动点，当为什么取值范围时，对应的点有且只有两个？
【答案】（1）；（2），，，；（3）当时，对应的点有且只有两个．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）过点作轴的垂线交于点，设点，点，根据，，列出方程，即可求解；
（3）当点在直线的下方的抛物线上时，一定有两个对应的点满足面积为，当点在直线的上方的抛物线上时，无点满足面积为才符合题意，故只需要求出当点在直线的上方时，的最大值，即可得到结论 ．
【详解】
（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，，
将，代入，
可得，解得，
∴；
（2）如图，过点作轴的垂线交于点，
设点，则点，
∴，
∵，，
∴，解得：，，，，
将，，，代入抛物线解析式，可得：，，，，
∴，，，；
（3）当点F在直线BC上方的抛物线上时，设点，
由（2）同理可得：，
∴当时，的最大值为，
∴当＞时，在直线BC的上方的抛物线上无法找到点，
综上所述：当时，对应的点有且只有两个．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握待定系数法，函数图像上的点的坐标特征以及三角形的面积=铅垂高×水平宽，是解题的关键．
类型拓展3 综合运用
9．综合与实践
如图，二次函数的图象与轴交于点和，点的坐标是，与轴交于点，点在抛物线上运动．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，当点在第四象限的抛物线上运动时，连接，，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积；
(1)
解：点和点代入二次函数，
得：
解得．
∴抛物线的表达式是．
(2)
解：如图，连接，过点作轴，作轴．
设点的坐标是．
∴，．
∵，，
∴，．
∴
．
∵，
∴当时，的面积最大且为6．
当时，．
∴点的坐标是，的最大面积是6．
10．如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为，点是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的关系式；
(2)点为线段上一个动点，过点作轴于点，若，的面积为，求与的函数关系式，并求当取得最大值时，点的坐标；
(1)
解：将点B（3，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c，
得；解得，
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；
(2)
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点M（1，4），
设直线BM的解析式为y=kx+b，
将点B（3，0），M（1，4）代入，
得，
解得，
∴直线BM的解析式为y=-2x+6，
∵PD⊥x轴且OD=m，
∴P（m，-2m+6），
∴S=S△PCD=PD•OD=m（-2m+6）=-m2+3m，
即S=-m2+3m，
∵当点P与点B重合时，不存在以P、C、D为顶点的三角形，
∴1≤m