(新高考)高考数学一轮复习学案+巩固提升练习4.3《两角和与差的正弦、余弦和正切公》(2份打包，原卷版+教师版)

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1.会推导两角差的余弦公式.
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
知识梳理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α﹣β)：cs(α﹣β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cs(α＋β)＝cs αcs β﹣sin αsin β；
(3)公式S(α﹣β)：sin(α﹣β)＝sin αcs β﹣cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α﹣β)：tan(α﹣β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
2．辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin(α﹣β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1﹣eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)﹣1.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cs Acs B大小不确定．( )
(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1﹣tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
(4)eq \f(\r(3),2)sin α＋eq \f(1,2)cs α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))).( )
教材改编题
1．若cs α＝﹣eq \f(4,5)，α是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A．﹣eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),10) C．﹣eq \f(7\r(2),10) D.eq \f(7\r(2),10)
2．计算：sin 108°cs 42°﹣cs 72°sin 42°＝ .
3．若tan α＝eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝ .
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)已知cs α＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝1，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)
(2)化简：①sin x＋eq \r(3)cs x＝ .
②eq \f(\r(2),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋eq \f(\r(6),4)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝ .
教师备选
1．已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(2),2)
2．已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π﹣β)＝eq \f(1,2)，则tan(α﹣β)的值为( )
A．﹣eq \f(2,11) B.eq \f(2,11) C.eq \f(11,2) D．﹣eq \f(11,2)
思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1 (1)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的最小值为( )
A.eq \r(2) B．﹣2 C．﹣eq \r(2) D.eq \r(3)
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(3)cs α，tan β＝eq \f(\r(3),3)，则tan(α＋β)＝ .
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
例2 (1)(多选)已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α＋sin γ＝sin β，cs β＋cs γ＝cs α，则下列说法正确的是( )
A．cs(β﹣α)＝eq \f(1,2) B．cs(β﹣α)＝eq \f(1,3)
C．β﹣α＝﹣eq \f(π,3) D．β﹣α＝eq \f(π,3)
(2)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，则tan Atan B的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,3)
延伸探究 若将本例(2)的条件改为tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则C等于( )
A．45° B．135° C．150° D．30°
教师备选
1．若α＋β＝﹣eq \f(3π,4)，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
2．已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .
思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
跟踪训练2
(1)设a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin 56°﹣cs 56°)，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b
(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .
题型三 角的变换问题
例3 (1)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(5π,6)))＝eq \f(5,13)，则sin(α﹣β)的值为( )
A.eq \f(16,65) B.eq \f(33,65) C.eq \f(56,65) D.eq \f(63,65)
(2)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝﹣3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .
教师备选
已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝﹣eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α﹣β)的值．
思维升华 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α﹣β)；α＝(α＋β)﹣β＝(α﹣β)＋β；
β＝eq \f(α＋β,2)﹣eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)﹣(α＋β)；α﹣β＝(α﹣γ)＋(γ﹣β)；15°＝45°﹣30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
跟踪训练3 (1)已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α﹣β)＝﹣eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β＝ .
(2)已知0<α课时精练
1．tan 105°等于( )
A．2﹣eq \r(3) B．﹣2﹣eq \r(3) C.eq \r(3)﹣2 D．﹣eq \r(3)
2．已知点P(x，2eq \r(2))是角α终边上一点，且cs α＝﹣eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))等于( )
A．﹣eq \f(\r(3)＋2\r(2),6) B.eq \f(\r(3)＋2\r(2),6) C.eq \f(\r(3)－2\r(2),6) D.eq \f(2\r(2)－\r(3),6)
3.eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)等于( )
A．1 B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
4．已知锐角α，β满足sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，则α＋β等于( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4) C.eq \f(π,4) D．2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)
5．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )
A．cs(﹣15°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)
B．cs 15°cs 105°＋sin 15°sin 105°＝cs(15°﹣105°)＝0
C．cs(α﹣35°)cs(25°＋α)＋sin(α﹣35°)sin(25°＋α)＝cs[(α﹣35°)﹣(25°＋α)]＝cs(﹣60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)
D．sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°＝eq \f(1,2)
6．(多选)已知cs(α＋β)＝﹣eq \f(\r(5),5)，cs 2α＝﹣eq \f(5,13)，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( )
A．sin 2α＝eq \f(12,13) B．cs(α﹣β)＝eq \f(19\r(5),65)
C．cs αcs β＝eq \f(8\r(5),65) D．tan αtan β＝eq \f(11,8)
7．化简：sin(α＋β)cs(γ﹣β)﹣cs(β＋α)sin(β﹣γ)＝ .
8．已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝﹣eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(12,13)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ .
9．已知0＜β＜eq \f(π,2)＜α＜π，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝﹣eq \f(1,9)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(2,3)，求cs(α＋β)的值．
10．已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，tan(α﹣β)＝﹣eq \f(1,3).
(1)求sin(α﹣β)的值；
(2)求cs β的值．
11．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝2cs(π﹣α)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))等于( )
A．﹣3 B.eq \f(1,3) C．﹣eq \f(1,3) D．3
12．(多选)下列结论正确的是( )
A．sin(α﹣β)sin(β﹣γ)﹣cs(α﹣β)cs(γ﹣β)＝﹣cs(α﹣γ)
B．3eq \r(15)sin x＋3eq \r(5)cs x＝3eq \r(5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
C．f(x)＝sin eq \f(x,2)＋cs eq \f(x,2)的最大值为2
D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
13．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β＝ .
14．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcs β﹣cs αsin β＝1，则sin(2α﹣β)＋sin(α﹣2β)的取值范围为 ．
15．已知x，y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin(x＋y)＝2sin(x﹣y)，则x﹣y的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,8)
16.如图，在平面直角坐标系Oxy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝eq \f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10).
(1)求cs(α﹣β)的值；
(2)求2α﹣β的值．