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2024湖北省新高考联考协作体高二下学期2月开学收心考试数学含解析
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这是一份2024湖北省新高考联考协作体高二下学期2月开学收心考试数学含解析，共11页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
命题学校：汉川一中命题教师：谢敏
考试时间：2024年2月20日下午15:00—17:00试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知直线与直线则是的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．在数列中，若，，则（ ）
A．2B．C．D．1
3．从2至6的5个整数中随机取两个不同的数，则这两个数的和是质数的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．1B．4C．9D．6
7．正方体中，为的中点，则直线与所成的角的正切值为（ ）
A．B．C．D．1
8．已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．一个袋子中有红、黄、蓝、紫四种颜色的球各一个，除颜色外无其他差异，从中任意摸出一个球，设事件“摸出红色球或蓝色球”，事件“摸出紫色球或蓝色球”，事件“摸出黄色球或蓝色球”，则下面结论正确的是：（ ）
A．B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
10．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下面结论正确的是：（ ）
A．直线与曲线一定有交点
B．曲线围成的图形的周长是
C．曲线围成的图形的面积是
D．曲线上的任意两点间的距离不超过2
11．已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，交准线于点，则下面结论正确的是：（ ）
A．以为直径的圆与轴相切B．
C．D．的最小值为
12．棱长为1的正方体中，点满足，，，则下面结论正确的是：（ ）
A．当时，
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，直线与平面所成的角不可能为
D．当时，的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，其中，，若，则的最小值为______．
14．经过点的直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的范围是______．
15．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前项积，则取最大值时，的值为______．
16．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为______．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为，求：
（1）顶点的坐标；
（2）直线的方程．
18．甲、乙两同学组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求甲在4轮活动中，恰有3轮连续猜对成语的概率；
（2）求“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率．
19．已知圆的圆心在第一象限且在直线上，与轴相切，被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）设是圆上任意一点，，，求的最大值．
20．设各项均为正数的数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，设，求数列的前项和．
21．如图，三棱柱中，，是的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值．
22．已知椭圆的焦距为4，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线，过右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆交于，两点，过点作，垂足为．设点为坐标原点，求面积的最大值．
2024年新高考联考协作体高二2月收心考试
高二数学试卷答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14．15．5或616．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）设，由中点在上可得
，即，
又，联立，解得．即顶点的坐标为．
（2）设关于直线的对称点为，
则有，解得，即，
所以边所在的方程为：，即直线的方程为：．
18．【解析】（1）设“甲第轮猜对成语”，
“甲在4轮活动中，恰有3轮连续猜对成语”，
则，且与是互斥事件，
因为之间相互独立，所以与之间也相互独立，
因此，甲在4轮活动中，恰有3轮连续猜对成语的概率是．
（2）设“甲两轮猜对个成语”，“乙两轮猜对个成语”
由题意可知，．
，．
设“两轮活动中“星队”至少猜对3个成语”，
则，且、、是互斥事件，由题意可得
，
因此，“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率是．
19．【解析】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，，半径为，
到直线得距离为，
所以，解得，所以圆的方程为．
（2）
表示与点距离的平方，
因为是圆上任意一点，
所以
所以的最大值为．
20．【解析】（1）因为，令得，解得，
则，，
两式相减得，
即，
因为各项均为正数的数列，故，
因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以．
（2）因为，由（1）可得，
，
，
所以
．
21．【解析】（1）因为，是的中点，所以，
因为，，平面，
所以平面，
又平面，所以，因为，是的中点，
所以，，平面，所以平面．
（2）法一：取的中点，连接，可得四边形是平行四边形，
因为，，，平面，
所以，平面，又平面，
所以平面平面，
过点作于点，平面，
平面平面，则平面，
所以点到平面的距离即为，
因为，所以，又，
所以，故点到平面的距离为．
法二：由（1）知平面，，所以，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，又，，所以，
，，所以，
所以，，，，，
，，设平面的一个法向量为，
则，即，令，
则为平面的一个法向量，
又，所以点到平面的距离，
故点到平面的距离为．
（3）由（2）法二得，，设平面的一个法向量为，
则得，令，则，，
所以为平面的一个法向量，
又平面，所以是平面的一个法向量，
，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
22．【解析】（1）由椭圆的焦距为得：，故，
因为点在椭圆上，所以，
联立，解得，，所以椭圆的方程为．
（2）由题得，设直线，，，，
联立方程得，
，
所以有，且，
因为，所以直线的方程为
令，得
将代入上式，则
故直线过定点，
又
所以
令，则在上单调递减，
故当，时，．1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
C
A
C
B
C
D
9
10
11
12
BCD
AC
ACD
ABC
命题学校：汉川一中命题教师：谢敏
考试时间：2024年2月20日下午15:00—17:00试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知直线与直线则是的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．在数列中，若，，则（ ）
A．2B．C．D．1
3．从2至6的5个整数中随机取两个不同的数，则这两个数的和是质数的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．1B．4C．9D．6
7．正方体中，为的中点，则直线与所成的角的正切值为（ ）
A．B．C．D．1
8．已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．一个袋子中有红、黄、蓝、紫四种颜色的球各一个，除颜色外无其他差异，从中任意摸出一个球，设事件“摸出红色球或蓝色球”，事件“摸出紫色球或蓝色球”，事件“摸出黄色球或蓝色球”，则下面结论正确的是：（ ）
A．B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
10．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下面结论正确的是：（ ）
A．直线与曲线一定有交点
B．曲线围成的图形的周长是
C．曲线围成的图形的面积是
D．曲线上的任意两点间的距离不超过2
11．已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，交准线于点，则下面结论正确的是：（ ）
A．以为直径的圆与轴相切B．
C．D．的最小值为
12．棱长为1的正方体中，点满足，，，则下面结论正确的是：（ ）
A．当时，
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，直线与平面所成的角不可能为
D．当时，的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，其中，，若，则的最小值为______．
14．经过点的直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的范围是______．
15．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前项积，则取最大值时，的值为______．
16．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为______．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为，求：
（1）顶点的坐标；
（2）直线的方程．
18．甲、乙两同学组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求甲在4轮活动中，恰有3轮连续猜对成语的概率；
（2）求“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率．
19．已知圆的圆心在第一象限且在直线上，与轴相切，被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）设是圆上任意一点，，，求的最大值．
20．设各项均为正数的数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，设，求数列的前项和．
21．如图，三棱柱中，，是的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值．
22．已知椭圆的焦距为4，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线，过右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆交于，两点，过点作，垂足为．设点为坐标原点，求面积的最大值．
2024年新高考联考协作体高二2月收心考试
高二数学试卷答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14．15．5或616．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）设，由中点在上可得
，即，
又，联立，解得．即顶点的坐标为．
（2）设关于直线的对称点为，
则有，解得，即，
所以边所在的方程为：，即直线的方程为：．
18．【解析】（1）设“甲第轮猜对成语”，
“甲在4轮活动中，恰有3轮连续猜对成语”，
则，且与是互斥事件，
因为之间相互独立，所以与之间也相互独立，
因此，甲在4轮活动中，恰有3轮连续猜对成语的概率是．
（2）设“甲两轮猜对个成语”，“乙两轮猜对个成语”
由题意可知，．
，．
设“两轮活动中“星队”至少猜对3个成语”，
则，且、、是互斥事件，由题意可得
，
因此，“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率是．
19．【解析】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，，半径为，
到直线得距离为，
所以，解得，所以圆的方程为．
（2）
表示与点距离的平方，
因为是圆上任意一点，
所以
所以的最大值为．
20．【解析】（1）因为，令得，解得，
则，，
两式相减得，
即，
因为各项均为正数的数列，故，
因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以．
（2）因为，由（1）可得，
，
，
所以
．
21．【解析】（1）因为，是的中点，所以，
因为，，平面，
所以平面，
又平面，所以，因为，是的中点，
所以，，平面，所以平面．
（2）法一：取的中点，连接，可得四边形是平行四边形，
因为，，，平面，
所以，平面，又平面，
所以平面平面，
过点作于点，平面，
平面平面，则平面，
所以点到平面的距离即为，
因为，所以，又，
所以，故点到平面的距离为．
法二：由（1）知平面，，所以，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，又，，所以，
，，所以，
所以，，，，，
，，设平面的一个法向量为，
则，即，令，
则为平面的一个法向量，
又，所以点到平面的距离，
故点到平面的距离为．
（3）由（2）法二得，，设平面的一个法向量为，
则得，令，则，，
所以为平面的一个法向量，
又平面，所以是平面的一个法向量，
，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
22．【解析】（1）由椭圆的焦距为得：，故，
因为点在椭圆上，所以，
联立，解得，，所以椭圆的方程为．
（2）由题得，设直线，，，，
联立方程得，
，
所以有，且，
因为，所以直线的方程为
令，得
将代入上式，则
故直线过定点，
又
所以
令，则在上单调递减，
故当，时，．1
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B
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C
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C
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BCD
AC
ACD
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