2023湖北省新高考协作体高二下学期3月联考试题数学含解析

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一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1. 数列，，，，的通项公式为（ ）
A. B.
C D.
2. 已知抛物线上一点到其焦点F的距离等于4，则直线MF的倾斜角为（ ）
A B. C. D.
3. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极大值
4. 在等比数列中，是函数极值点，则a5＝（ ）
A. 或B. C. D.
5. 正方形的面积及周长都随着边长的变化而变化，则当正方形的边长为3cm时，面积关于周长的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
6. 正项数列的前n项和为，且，，若直线与圆相切，则（ ）
A. 90B. 70C. 120D. 100
7. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A. 2023B. 4046C. 2022D. 4044
8. 布达佩斯伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论错误的是（ ）
A. 点到直线CQ距离是
B.
C. 平面ECG与平面的夹角余弦值为
D. 异面直线CQ与BD所成角的正切值为
二、多选题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（ ）
A. C的实轴长为4
B. C的离心率为
C. C的焦点到渐近线的距离为
D. 过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条
11. 已知等差数列，其前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 当时最大
C. 使的n的最大值为16
D. 数列中的最小项为第9项
12. 已知函数的定义域为，导函数为，满足，（e为自然对数的底数），且，则（ ）
A. B.
C. 在处取得极小值D. 无最大值
三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13. 已知，，，，若四点共面，则＝_______．
14. 已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间是__________．
15. 已知双曲线右焦点为，点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称．若，且的面积为4，则双曲线的离心率___________．
16. 在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复n次，可得到如图2所示的优美图形（图有多个正三角形），这个过程称之为迭代，也叫递推．在边长为3的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后递推得到如图3所示的图形（图中共有n个正三角形），则图中至少__________个正三角形的面积之和超过．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，在正方体中，为的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知数列的前n项和为，且，___________．请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．.
19. 已知函数，且．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围．
20. 已知椭圆的离心率为，焦距为．
（1）求C的方程；
（2）若斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），O为坐标原点，记直线OP，OQ的斜率分别为，；线段PQ的长度为，已知，，依次成等比数列，求直线l的方程．
21. 已知正项数列的前项和为，且.
（1）证明：是等差数列.
（2）设数列的前项和为，若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围.
22. 已知函数
（1）若，求的极小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，恒成立，求的最大整数值．