辽宁省 鞍山市 2023-2024学年 九年级上学期期末数学训练卷

这是一份辽宁省 鞍山市 2023-2024学年 九年级上学期期末数学训练卷，共14页。
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1B．2x（x﹣1）＝2x2+3
C．x2﹣2＝0D．3x+1x=4
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．三角形的内心是到三角形三边距离相等的点
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧就是长度相等的弧
4．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x﹣7上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2
5．（3分）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角等于（ ）
A．160°B．150°C．120°D．60°
6．（3分）某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（ ）元．
A．10B．15C．20D．25
7．（3分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点都在格点上．若△A'B'C'是由△ABC绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是（ ）
A．（0，0）B．（0，﹣1）C．（1，﹣1）D．（1，﹣2）
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝23，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．3
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）已知y＝（m﹣3）x2﹣2x+5是二次函数，则常数m的取值范围是 ．
10．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝ ．
11．（3分）将抛物线y＝x2沿x轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的对应的函数表达式为 ．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以A为圆心，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，则此圆半径R的取值范围是 ．
13．（3分）上课时，孙老师出示了一道课堂小考题，如下：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CD为AB边上的中线，正方形DEFG绕点D旋转；DE，DG分别与边AC，BC交于M，N两点，请补全下列结论：（每小题20分，共100分）
①∠DMN＝_____°；
②AM＝_____；
③S四边形DMCN＝_____；
④AM+BN＝_____；
⑤△DMC≌_____；
同学小华的答案为：
①60；②CM；③9；④6；⑤△DNB．
若你批卷，同学小华能得 分．
14．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，且DF=CD，BE＝2，CD＝8，CF交AB于点G，则弦CF的长为 ，AF的长为 ．
15．（3分）圆锥的底面半径为11cm，母线长为36cm，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为 ．
16．（3分）将二次函数y＝x2﹣x﹣12在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．若直线y＝x+m与这个新图象有3个公共点，则m的值为 ．
三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+5x＝0；
（2）2x（3x+1）﹣6（3x+1）＝0．
18．（8分）在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2+（b﹣2）x+b﹣3＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
四．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
19．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A2B2C2，请画出．
（2）画出△A2B2C2，关于点O的中心对称图形△A1B1C1；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A1B1C1，请直接写出旋转中心的坐标．
（4）求出△ABC的面积．
20．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．设每件衬衫降价x元．
（1）降价后，每件衬衫的利润为 元，销量为 件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．但需要平均每天盈利1200元，求每件衬衫应降价多少元？
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．
（1）连接AD，求∠OAD；
（2）点F在BC上，∠CDF＝45°，DF交AB于点N．若DE=3，求FN的长．
22．（10分）用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为x cm，面积为y cm2．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出取值范围．
（2）当y＝24时，求x的值．
（3）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
23．（10分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．
24．（10分）某商店经销一种销售成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克26元销售，一天能售出500千克；销售单价每涨1元，日销售量就减少20千克，设销售单价为每千克x元（x＞25，且x是整数），日销售利润为y元，请解答以下问题：
（1）直接写出y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）若销售单价不得高于每千克35元，那么日销售利润能够达到3960元吗？如果能，销售单价应定为多少？如果不能，说明理由；
（3）商店要想日销售利润最大，销售单价应定为多少元？最大日销售利润是多少元？
七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
25．（12分）如图所示，四边形ABCD为菱形，AD＝5，sinB=2425，点E为边AB上一动点（不与端点重合），△DEF与△DEA关于DE对称．
（1）试求菱形ABCD的面积；
（2）若点D、B、F共线，求AE的长；
（3）点G为边CD上一点，且CG＝1，连接GF、BF，试求BF+2GF的最小值．
八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
26．（14分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求b，c，m的值；
（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．C．2．D．3．B．4．B．5．B．6．D．7．D．8．D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．m≠3．10．﹣1．11．y＝（x+2）2﹣3．12．3＜R＜5．13．60．14．485，455．15．110°．
16．﹣13或﹣4．
三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
17．解：（1）x1＝0，x2＝﹣5．（2）x1=-13，x2=3．
18．解：∵方程x2+（b﹣2）x+b﹣3＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（b﹣2）2﹣4（b﹣3）＝0，解得b1＝b2＝4，
①当a为底，b为腰时，能构成三角形，周长为4+4+5＝13，
②当b为底，a为腰时，也能构成三角形，周长为＝4+5+5＝14，
∴△ABC的周长是13或14．
四．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
19．解：（1）如图，△A2B2C2即为所求；
（2）如图，△A1B1C1即为所求；
（3）旋转中心Q的坐标（﹣3，0）；
（4）△ABC的面积＝3×4-12×1×4-12×1×3-12×2×3＝5.5．
20．解：（1）∵每件衬衫降价x元，
∴每件衬衫的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件．
故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．
（2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x＝20．
答：每件衬衫应降价20元．
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
21．解：（1）如图1，连接OD，
∵AB是⊙的直径，CD⊥AB于点M，
∴AB垂直平分CD，
∵M是OA的中点，
∴OM=12OA=12OD，
∴cs∠DOM=OMOD=12，
∴∠DOM＝60°，
∵AO＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°；
（2）如图2，连接CF，CN，
∵OA⊥CD于点M，
∴点M是CD的中点，
∴AB垂直平分CD，
∴NC＝ND，
∵∠CDF＝45°，
∴∠NCD＝∠NDC＝45°，
∴∠CND＝90°，
∴∠CNF＝90°，
由（1）可知，∠AOD＝60°，
∴∠ACD＝30°，
又∵DE⊥CA交CA的延长线于点E，
∴∠E＝90°，
∵∠ACD＝30°，DE=3．
∴CD＝2DE＝23，
∴CN＝CD•sin45°＝23×22=6，
由（1）可知，∠CAD＝2∠OAD＝120°，
∴∠F＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△CFN中，FN=CNtan60°=63=2．
22．解：（1）由题意得，y=x(202-x)=-x2+10x(0＜x＜10)
（2）当y＝24时，﹣x2+10x＝24，即x2﹣10x+24＝0，
解得x＝4或x＝6；
（3）∵y＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，﹣1＜0，
∴当x＝5时，y最大，最大为25，
∴当边长x为5cm时，矩形的面积最大，最大面积是25cm2．
六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
23．（1）证明：如图，连结OA，
∵∠AEC＝30°，
∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴直线AD是⊙O的切线．
（2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M，
∴AM＝EM，
∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，
∴∠OAM＝30°，
∴OM=12OA=12×10＝5，
∴AM=OA2-OM2=102-52=53，
∴AE＝2AM＝2×53=103．
24．解：（1）由题意得：
y＝（x﹣20）[500﹣20（x﹣26）]
＝﹣20x2+1420x﹣20400，
∵500﹣20（x﹣26）≥0，x＞25，且x为整数，
∴25＜x≤51．
∴y＝﹣20x2+1420x﹣20400（25＜x≤51，且x为整数）；
（2）当y＝3960时，3960＝﹣20x2+1420x﹣20400，
解得：x＝29或x＝42，
∵x≤35，
∴x＝42不符合题意，
∴x＝29．
答：日销售利润能够达到3960元，销售单价应定为每千克29元．
（3）∵y＝﹣20x2+1420x﹣20400
＝﹣20(x-712)2+4805，
∵a＝﹣20＜0，
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线x=712，
∵25＜x≤51，且x为整数，
∴当x＝35或36时，y有最大值4800．
答：销售单价定为每千克35元或36元时，日销售最大利润为4800元．
七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
25．解：（1）过点A作AH⊥CD于H，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠B＝∠ADH，
∴sin∠B＝sin∠ADH=AHAD=2425，
∴AH=2425AD=2425×5=245，
∴S菱形ABCD＝CD•AH＝5×245=24；
（2）连接AC交BD于O，如图2所示：
在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH=AD2-AH2=52-(245)2=75，
∴CH＝CD﹣DH＝5-75=185，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC=AH2+CH2=(245)2+(185)2=6，
∵S菱形ABCD=12AC•BD＝24，
∴BD=2412AC=2412×6=8，
∵△DEF与△DEA关于DE对称，
∴∠ADE＝∠FDE，
∴DE平分∠ADB，
∴点E到AD、BD的距离相等，
设点E到AD、BD的距离为h，
∵S△ADES△BDE=12AD⋅h12BD⋅h=12AE⋅AH12BE⋅AH，
∴ADBD=AEBE，
∴AEBE=58，
∴AE=513AB=513×5=2513；

（3）连接BD，如图3所示：
∵DA＝DF＝5，
∴点F在以D为圆心，5为半径的圆弧上移动，即在AC上移动，
∵CG＝1，
∴DG＝CD﹣CG＝5﹣1＝4，
作以D为圆心，4为半径的PG，交BD于O，交DF于N，
在BD上截取DM=52，连接CN、MN、MC，
∴DN＝DO＝DG＝4，DA＝DC＝DF＝5，
∵BD＝8，
∴DNBD=DMDF=12，
∵∠MDN＝∠FDB，
∴△MDN∽△FDB，
∴MNBF=MDDF=12，
∴MN=12BF，
在△DNC和△DGF中，
DN=DG∠NDC=∠GDFDC=DF，
∴△DNC≌△DGF（SAS），
∴NC＝GF，
∴BF+2GF＝2（12BF+GF）＝2（MN+NC）≥2MC，
∴当且仅当M、N、C三点共线时，MN+NC取得最小值，
过点M作MQ⊥DC于Q，
由（2）得：sin∠CDO=12×24512×8=35，cs∠CDO=(12×8)2-(12×245)212×8=45，
∴MQDM=35，DQDM=45，
∴MQ=35DM=35×52=32，DQ=45DM=45×52=2，
∴CQ＝DC﹣DQ＝5﹣2＝3，
在Rt△CMQ中，由勾股定理得：CM=MQ2+CQ2=(32)2+32=352，
∴BF+2GF的最小值为：2×352=35．
八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
26．解：（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，
得-1-b+c=0c=5，
解得b=4c=5．
∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0），
∴m＝5；
（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，
设D（x，﹣x2+4x+5），
∵DE∥x轴，
∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，
∴四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，
∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；
（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，
∴∠NKC＝∠MHC＝90°，
由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，
∵B（5，0），C（0，5）．
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵CH⊥对称轴于H，
∴CH∥x轴，
∴∠BCH＝45°，
∴∠BCH＝∠OCB，
∴∠NCK＝∠MCH，
∴△MCH≌△NCK（AAS），
∴NK＝MH，CK＝CH，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，M（2，9），
∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，
∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，
∴N（﹣4，3），
设直线BN的解析式为y＝mx+n，
∴-4m+n=35m+n=0，解得m=-13n=53，
∴直线BN的解析式为y=-13x+53，
∴Q（0，53），
设P（2，p），
∴PQ2＝22+（p-53）2＝p2-103p+619，
BP2＝（5﹣2）2+p2＝9+p2，
BQ2＝52+（53）2＝25+259，
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，
∴9+p2＝p2-103p+619+25+259，解得p=233，
∴点P的坐标为（2，233）；
②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，
∴p2-103p+619=9+p2+25+259，解得p＝﹣9，
∴点P′的坐标为（2，﹣9）．
综上，所有符合条件的点P的坐标为（2，233），（2，﹣9）．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/26 13:59:54；用户：韩晓洁；邮箱：dl101zx29@xyh.cm；学号：2529531