88，贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县东朗中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份88，贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县东朗中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共20页。试卷主要包含了填空题∶每小题4分，共16分．等内容，欢迎下载使用。
(时间∶120分钟 满分∶150分)
一、选择题∶以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分．
1. 在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义分别判断即可．解题的关键是掌握一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
【详解】解：A、是二次函数，故此选项符合题意；
B、不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、，当时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：．
2. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标．
【详解】解：，
把代入得：．
则顶点的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标的求解方法，可以利用配方法求解，也可以利用公式法求解．您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份3. 如表是二次函数的几组对应值：
根据表中数据判断，方程的一个解x的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格中数据的变化情况进行估计即可．
【详解】解：由表可以看出，当x取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
∴的一个解x的取值范围为．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，正确估计一元二次方程的根的取值范围是解题的关键．
4. 将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ）
A. y＝x2﹣8x＋22B. y＝x2﹣8x＋14C. y＝x2＋4x＋10D. y＝x2＋4x＋2
【答案】D
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1＋3）2＋2，即y＝（x＋2）2＋2；
再向下平移4个单位为：y＝（x＋2）2＋2﹣4，即y＝（x＋2）2﹣2＝x2＋4x＋2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5. 已知抛物线经过A（-2，），B（-1，），C（1，）三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为，求得三点到对称轴的距离，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：抛物线，则开口向上，对称轴为，
由二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越大，
A（-2，），B（-1，），C（1，）到对称轴的距离分别为，
所以，
故选A
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．
6. 对于二次函数y＝x24x1的图象，下列叙述正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴为直线x＝2
C. 顶点坐标为（2，5）D. 当x≥2时，y随x增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目中的抛物线的解析式以及二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：∵，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为（2，-5），
∴当时，y随x的增大而增大，
故选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7. 一个小球以的初速度向上竖直弹出，它在空中的高度与时间满足关系式，当小球的高度为时，t为（ ）
A. 1sB. 2sC. 1s或2sD. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据已知高度与时间的关系式，把代入，可得；再对上述式子进行整理，可得，运用因式分解法变为，即可得出t的值．
【详解】解：把代入，得：
，
整理，得：，
因式分解，得：，
解得或．
故当秒或2秒时，小球能达到10米的高度．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，正确把函数值代入解析式得到关于自变量的一元二次方程是解题关键．
8. 二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数（是常数，），决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点，
∴且，
∴且．
故选：D．
9. 函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象综合．利用过，过，可知两图象交于，据此排除A、C，然后根据a的正负和函数图象的关系进而求解即可．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：已知与，
∴过，过，
∴A、C选项不符合题意；
当时，抛物线开口向上，直线图象上升，D选项不符合题意；
当时，抛物线开口向下，直线图象下降，B选项符合题意．
故选：B．
10. 某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（ ）
A. 21元B. 22元C. 23元D. 24元
【答案】B
【解析】
【分析】设每天的销售利润为 元，每件的定价为 元，则每件的利润为元，平均每天售出件， 根据每天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，即可求解．
【详解】解：设每天的销售利润为 元，每件的定价为 元，则每件的利润为元，平均每天售出件， 根据题意得：
，
∵
∴当 时， 最大，
即每件的定价为22元时，每天的销售利润最大．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
11. 如图，在中，，，，点在边上，从点向点移动，点在边上，从点向点移动，若点，均以的速度同时出发，且当一点移动终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（ ）．
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设运动时间为t，根据题意可得0＜t≤2，则AP=CQ=t，PC=AC-AP=6-t，根据勾股定理，得PQ2=PC2+CQ2=(6-t)2+t2=2t2-12t+36=2(t-3)2+18，根据二次函数性质求出最小值即可.
【详解】设运动时间为t，根据题意可得0＜t≤2，
则AP=CQ=t，
所以PC=AC-AP=6-t，
根据勾股定理，得PQ2=PC2+CQ2=(6-t)2+t2=2t2-12t+36=2(t-3)2+18，
因为2＞0，
所以当t=2时，PQ2有最小值20，
所以PQ的最小值为
故选:C.
【点睛】考查二次函数的最值，勾股定理，正确理解题意是解题的关键.
12. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】C
【解析】
【分析】由图象可知，对称轴为直线，与x轴的一个交点为，然后可得，则有，进而可判断（1）（2）（3），最后根据函数的性质可进行判断（4）（5）．
【详解】解：由图象及题意得：，对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴，
∴，即，
∴，故（1）（3）正确；
由图象可知当x=-2时，则有，即，故（2）错误；
∵点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，
∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，
∴，故（4）错误；
由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值，
∴当x=m时，（m为常数），则有，
∴，即为，故（5）正确；
综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
二、填空题∶每小题4分，共16分．
13. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为____________________．

【答案】，
【解析】
【分析】由图知，抛物线对称轴，与轴交于点，设另一个交点为，根据对称性，可求，得解为或；
【详解】解：由图知，抛物线对称轴，与轴交于点，设另一个交点为，则，解得
∴的解为或；
故答案为：，
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的联系；理解函数与方程的联系是解题的关键．
14. 如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______．
【答案】32
【解析】
【分析】设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，列出围栏面积S关于x的二次函数解析式，化为顶点式，即可求解．
【详解】解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，
∴围栏的面积，
∴当时，S取最大值，最大值为32，
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键．
15. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s．
【答案】2
【解析】
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
16. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意画出函数图像，要使的值最小，需运用对称相关知识求出点E的坐标，然后求的面积即可．
【详解】解：根据题意可求出，
抛物线的对称轴为：，
根据函数对称关系，点B关于的对称点为点A，
连接AD与交于点E，
此时的值最小，
过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点C作的垂线，垂足为H，
所以四边形ACHE的面积等于与梯形ACHG的面积和，
即，
则S四边形ACHE-，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查二次函数的交点坐标、对称轴、相似三角形、对称等知识点，根据题意画出图形，可以根据对称求出点E的坐标是解决本题的关键．
三、解答题∶本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）x取何值时，；x取何值时，；x取何值时，．
【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线
（2）
（3）当或时，；当时，；当或时，
【解析】
【分析】（1）根据配方法的步骤要求，将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标和对称轴；
（2）由对称轴，抛物线开口向下，结合图象，可确定函数的增减性；
（3）判断函数值的符号，可以令，解一元二次方程求x，再根据抛物线的开口方向，确定函数值的符号与x的取值范围的对应关系．
【小问1详解】
∵，
∴顶点坐标为，对称轴为直线；
【小问2详解】
∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；
【小问3详解】
令，即，解得或3，抛物线开口向下，
∴当或时，；
当时，；
当或时，．
【点睛】本题考查了抛物线和x轴交点的问题，对于抛物线顶点坐标，与x轴的交点坐标的求法及其运用，必须熟练掌握
18. 如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案；
（2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则 从而可得平移方式及平移后的解析式．
【详解】解：（1）．
∵图象的对称轴为直线，
∴，
∴．
（2）∵，
∴二次函数的表达式为，
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）根据△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m的取值范围即可；
（2）根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次函数的解，故将x=1代入方程中求出m值，再代入一元二次方程中解方程即可求解．
【详解】解：（1）由题知，
∴．
（2）由图知的一个根为1，
∴，∴，
即一元二次方程为，
解得，，
∴一元二次方程的解为，．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键．
20. 有一个截面的边缘为抛物线的拱桥桥洞，桥洞壁离水面AB的最大高度是2米，水面宽度AB为4米．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式．
（2）若水面下降1米，求水面宽度增加了多少米？
【答案】（1） （2）（2﹣4）米
【解析】
【分析】（1）设抛物线所对应的函数表达式为y=ax 2，将点A的坐标（2，-2）代入求得a的值即可；
（2）求出y=-3时x的值，即可得出水面的宽度，从而得出增加的水面宽度．
【详解】解：（1）设抛物线所对应的函数表达式为y＝ax2，
由题意，得点A的坐标为（2，﹣2）．
∴4a＝﹣2．
解得：a＝﹣．
∴抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2．
（2）当y＝﹣3时，﹣ x2＝﹣3．
∴x＝±．
∴水面宽度为﹣（﹣）＝2，
∴水面宽度将增加（2﹣4）米．
【点睛】本题考查抛物线的综合运用，能够读懂题意并且列出方程是解题关键.
21. 某农户生产销售一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价 x(元)有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式，并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】（1），该产品销售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（2）该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用；列出二次函数解析式是关键；
（1）根据总利润等于单个的利润与销售数量的积，列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解；
（2）由（1）中的函数式及利润可得一元二次方程，解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得，
配方得：，
∴当时，．
即该产品销售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【小问2详解】
解：令，
解得．
∵这种产品的销售价不高于每千克28元，
∴．
答∶该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
22. 如图所示，已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点A在点B的左侧，连接．
（1）若抛物线过点，求实数a值；
（2）在(1)的条件下，求出的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式．
（1）将点，代入解析式，求出的值即可；
（2）根据解析式，求出的坐标，利用面积公式进行计算即可．
【小问1详解】
解∶将代入抛物线解析式，得，
解得．经检验是原方程的解．
【小问2详解】
由(1)，知抛物线解析式为，
当时，得，
解得．
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
当时，得，
∴点C的坐标为．
∴．
23. 已知函数（b，c为常数）的图象经过点，．
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值；
（3）当时，若y的最大值与最小值之和为2，请直接写出m的值．
【答案】（1）
（2）y有最大值为6 （3）m＝﹣2或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可得到答案；
（2）由题意得到，且，即可得到答案；
（3）根据m的取值范围分情况讨论即可得到m的值．
【小问1详解】
解：把，代入得，
，
解得，
即．
【小问2详解】
∵，
又∵，
∴当时，y有最大值为6．
【小问3详解】
①当时，
当时，y有最小值为，
当时，y有最大值为，
∴，
∴或（舍去）．
∴；
②当时，
当时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为，
∴，
∴或（舍去）．
综上所述，或．
【点睛】此题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
24. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】（1）
（2）2或6m
【解析】
【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；
（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
【小问2详解】
由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
25. 如图所示，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值．
【答案】（1）抛物线的解析式为，直线l的解析式为；
（2）的面积的最大值为，点P的坐标为
【解析】
【分析】此题考查了二次函数和一次函数综合题，用到了待定系数法、二次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题的关键．
（1）根据题意设函数解析式为，代入点求出即可得到抛物线的解析式，设一次函数解析式为代入点，求出k、b的值即可得到直线l的解析式；
（2）过点P作轴交于点K．设，则，得到，即当的值最大时，的面积最大．求出长度的二次函数表达式，根据二次函数的性质进行求解即可．
【小问1详解】
解∶∵抛物线与x轴交于两点，
∴设抛物线的解析式为．
∵点在抛物线上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为．
∵直线l经过，
设直线l的解析式为，
则，
解得，
∴直线l的解析式为．
【小问2详解】
如图所示，过点P作轴交于点K．
设，则．
∵，
∴当的值最大时，的面积最大．
，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为．
则此时．
当时，，
∴的面积的最大值为，点P的坐标为)．x