江苏省2024届高考数学重难点模拟卷（一）

这是一份江苏省2024届高考数学重难点模拟卷（一），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数，则（ ）
A．B．C．1D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知向量，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知数列满足，，则（ ）
A．3B．2或C．3或D．2
5．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．20D．30
6．设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，，，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为（ ）
A．15B．16C．22D．23
二、多选题
9．下列选项中的两个集合相等的有（ ）.
A．
B．
C．
D．
10．如图，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离是关于运动时间的函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的最小正周期是
C．
D．
11．定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（ ）
A．函数在上满足阶李普希兹条件
B．若函数在上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为
C．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解
D．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则对任意函数，，恒有
三、填空题
12．已知复数，则z在复平面内对应的点所在的象限为 象限.
13．已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为 ．
14．地球仪是地理教学中的常用教具.如图1所示，地球仪的赤道面(与转轴垂直)与黄道面(与水平面平行)存在一个夹角，即黄赤交角，大小约为23.5°.为锻炼动手能力，某同学制作了一个半径为4cm的地球仪(不含支架)，并将其放入竖直放置的正三棱柱中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图2所示.此时平面恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱的外接球体积为 .(参考数据：)
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的最大值．
16．设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)令，为数列的前项积，证明：.
17．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为．
(1)证明：；
(2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．
18．已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
①若，求异面直线和所成角的余弦值；
②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19．已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.
(1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论）
(2)已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：.
参考答案：
1．A
【分析】根据复数的除法运算，结合共轭的定义即可求解.
【详解】，
故，
故选：A
2．C
【分析】根据特称命题的否定是全称命题判断.
【详解】命题“”的否定是“，”.
故选：C.
3．D
【分析】结合向量的加减运算及数量积运算进行判断.
【详解】解：因为，，
所以，
则，
得.
故选：D
4．C
【分析】根据递推公式计算即可.
【详解】因为，，
所以，
所以，
，
，
，
所以或，
故选：C.
5．A
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式进行计算即可.
【详解】，
其展开式的通项公式为，
令，则，
而的展开式的通项公式为：
，
令，则的展开式中的系数为:
,
故选：A.
6．B
【分析】求出直线的方程，利用抛物线的性质，求出中的纵坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解即可得到抛物线方程．
【详解】由于以为直径的圆与抛物线的准线相切，以为直径的圆过点，
可知的中点的纵坐标为：2，
直线的方程为：，
则，可得，则中的纵坐标为：，解得，
该抛物线的方程为：．
故选：B．
7．B
【分析】根据题意确定点在线段上靠近点的三等分处，然后根据三角函数比例关系以及二倍角公式化简得到，，最后化简可得.
【详解】因为,
所以，
所以点在线段上靠近点的三等分处，
如图所示，过点作交于点，过点作交于点，

则，
所以，，
所以，，
所以.
故选：B.
8．D
【分析】由得，构造函数，利用导数求得的单调性，求得的取值范围，结合不等式的知识求得的最大值.
【详解】因为，，所以，
设，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，，，
所以，
，又，，
要使得成立，只需，即，
所以正整数的最大值为23.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法.解题的关键是由变换得，构造函数，由的单调性得，结合不等式的知识求得的最大值.
9．AC
【分析】分析各对集合元素的特征，即可判断.
【详解】解：对于A：集合表示偶数集，集合也表示偶数集，所以，故A正确；
对于B：，
，所以，故B错误；
对于C：，又，
所以，即，所以，故C正确；
对于D：集合为数集，集合为点集，所以，故D错误；
故选：AC
10．AD
【分析】根据质点运动规则可得角度，利用三角函数定义可求得该质点到轴的距离，再结合周期公式可得结论.
【详解】由题可知，该质点的角速度为，
由于起始位置为点，沿逆时针方向运动，
设经过时间s之后所成的角为，则，
根据三角函数定义可知点的纵坐标为，
所以该质点到轴的距离，可得D正确，C错误；
由解析式可知其最小正周期为，即A正确，B错误；
故选：AD
11．ACD
【分析】根据李普希兹条件的概念直接可以判断AB选项，再利用反证法判断C选项，通过分类讨论可判断D选项.
【详解】A选项：不妨设，，即，故，对，均有，A选项正确；
B选项：不妨设，在单调递增，，，即，即对，恒成立，即在上单调递减，对恒成立，所以对恒成立，即，即的最小值为，B选项错误；
C选项：假设方程在区间上有两个解，，则，这与矛盾，故只有唯一解，C选项正确；
D选项：不妨设，当时，，当时，
，故对，，故D选项正确；
故选：ACD
12．第二
【分析】根据题意，分别判断复数实部和虚部的正负号，即可求解.
【详解】由，可知，，
故z在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.
故答案为：第二.
13．/0.5
【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.
【详解】，
假设两曲线在同一点处相切，
则，可得，即，
因为函数单调递增，且时，
所以，则，此时两曲线在处相切，
根据曲线的变化趋势，若，则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，

所以的最大值为.
故答案为：.
14．
【分析】由题设可知平面与面的夹角为，设正三棱柱的底面边长为，利用二面角可求出三棱柱的高，再利用内切球的性质可求出，即可求出三棱柱的底面边长及高，再利用三棱柱外接球的求法可得解.
【详解】由题设可知平面与面的夹角为，取中点M，中点N，连接MN
由二面角的定义可知为平面与面的夹角，即
设正三棱柱的底面边长为，高为h，则
所以，则
又地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，即地球仪的最大圆与底面正三角形内切，
所以内切圆的半径，解得
所以三棱柱的高，底面边长为
设三棱柱上、下底面中心，连线的中点O为球心，
在直角，，
所以三棱柱外接球的半径
所以体积
故答案为：
【点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．
15．(1)在上为增函数；在上为减函数；
(2)
【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间．
（2）求导根据函数的单调性即可求解最值．
【详解】（1）的定义域为，
当时，，，
当，解得：，
当，解得：．
在上为增函数；在上为减函数；
（2）的定义域为，
，
当时，令，得，令时，得，
的递增区间为，递减区间为．
.
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由等差数列定义可得，由与的关系即可得；
（2）由与可得，即可得，由，可得，借助等比数列求和公式计算即可得证.
【详解】（1）由是首项为、公差为的等差数列，
故，
即，
当时，，
故
，
当时，，符合上式，
故；
（2）由，，
故，
则
，
由，
故，
则.
17．(1)证明见解析；
(2)应该投资，理由见解析
【分析】（1）由题意，，，列出分布列，列出，乘公比错位相减法求和，分析可证明；
（2）由（1）可得，分析即得解
【详解】（1）由题意，
故
分布列如下：
所以的数学期望，
记，
，
作差可得，，
则；
（2）由（1）可知，则试验成本的期望小于元，
试验成功则获利元，且，则该公司应该投资该产品
18．（1）；（2）①；②存在；．
【分析】（1）由的周长可求出的值，从而由离心率的值可求得，进而由椭圆中的关系求出的值，即可得椭圆的标准方程.
（2）①直线l的方程为，与椭圆方程联立求出点的坐标，再建立空间直角坐标系，求出点的坐标，从而可得，再利用空间向量的夹角公式即可求解.
②由8，可得，设折叠前，直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式化简整理即可求出的值，从而可得直线l的斜率，进而可得tan的值.
【详解】解：（1）由椭圆的定义知： ，
所以的周长，所以，
又椭圆离心率为，所以，所以，，
由题意，椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的标准方程为；
（2）①由直线：与，
联立求得，（因为点在轴上方）以及，
再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则
，，，，
，．
记异面直线和所成角为，则；
②设折叠前，，折叠后，在新图形中对应点记为，，，，
由，，故，
将直线方程与椭圆方程联立，得，
，，
在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）；
，，
所以，（i）
又，
所以，（ii）
由（i）（ii）可得，
因为，
所以，
即，
所以，解得，
因为，所以．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据折叠前、后三角形周长的变化，得到，进而根据两点间的距离公式及韦达定理进行求解.
19．(1)函数具有性质；不具有性质.
(2)，
(3)证明见解析
【分析】（1）利用定义判断即可；
（2）假设函数具有性质，可求出，进而可得，从而可得，再根据定义进行验证，即可得到答案；
（3）由函数具有性质及（2）可知，，进而可得在的值域为，且，由在区间上有且只有一个零点可证明当时不符合题意，再求解当时与是以为周期的周期函数矛盾，从而可得，即可证明.
【详解】（1）因为，则，又，
所以，故函数具有性质；
因为，则，又，
，故不具有性质.
（2）若函数具有性质，则，即，
因为，所以，所以；
若，不妨设，由，
得（*），
只要充分大时，将大于1，而的值域为，
故等式（*）不可能成立，所以必有成立，
即，因为，所以，
所以，则，此时，
则，
而，即有成立，
所以存在，使函数具有性质.
（3）证明：由函数具有性质及（2）可知，，
由可知函数是以为周期的周期函数，则，
即，所以，；
由，以及题设可知，
函数在的值域为，所以且；
当，及时，均有，
这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或；
当时，，函数在的值域为，
此时函数的值域为，
而，于是函数在的值域为，
此时函数的值域为，
函数在当时和时的取值范围不同，
与函数是以为周期的周期函数矛盾，
故，即，命题得证.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可.
1
2
3
4
5
6
7
8