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所属成套资源：2022-2023学年全国部分省，市，县，区，详细高二（下）期末数学试卷真题合集（含详细答案解析）
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2022-2023学年福建省宁德市高二（下）期末数学试卷v
展开这是一份2022-2023学年福建省宁德市高二（下）期末数学试卷v，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知随机变量X服从二项分布B(3,23)，则D(X)=( )
A. 29B. 13C. 49D. 23
2.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且P(X≥4)=0.16，则P(2
3.棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点D1到平面A1C1D距离为( )
A. 3B. 1C. 2D. 33
4.函数f(x)=(x−2)ex的单调递增区间是( )
A. (−∞,1)B. (0,2)C. (1,+∞)D. (2,+∞)
5.已知随机变量X满足P(X=k)=ka，k=1，2，3，其中a为常数，则P(1
6.已知a=ln1.2，b=0.2，c=e0.2−1，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>c>bB. c>a>bC. b>c>aD. c>b>a
7.抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子，记事件A：“甲骰子的点数大于4”，事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于8”，则P(B|A)的值等于( )
A. 118B. 19C. 16D. 13
8.已知函数f(x)=2x2,x≤0e2x,x>0，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则x1+x2的最大值为( )
A. ln22−1B. 2ln2−2C. −12D. −1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.以下运算正确的是( )
A. (2x)′=2xln2B. (ln2x)′=12x
C. (sin2x)′=2cs2xD. (e−x)′=−ex
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 已知a=(0,1,1)，b=(0,0,−1)，则a在b上的投影向量为(0,−12,−12)
B. 已知两个向量a=(1,m,3)，b=(5,−1,n)，且a//b，则mn=−3
C. 设{a,b,c}是空间中的一组基底，则{a+b,b,c}也是空间的一组基底
D. 若对空间中任意一点O，有OP=12OA+13OB+14OC，则P，A，B，C四点共面
11.已知定义在[−1,1]上的函数f(x)，其导函数为f′(x)且满足f(x)=sinx+2xf′(π3)，则下列判断正确的是( )
A. 函数f′(x)是奇函数
B. 函数f(x)在区间[−1,1]上单调递减
C. 在区间(0,1]上，函数f(x)的图象恒在x轴的下方
D. 不等式f′(2x−1)>f′(x−1)的解集为(0,23)
12.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的是( )
A. 当λ=1且μ=12时，有AB1⊥BP
B. 当μ=1时，三棱锥P−A1BC的体积为定值 312
C. 当λ+μ=1时，直线BB1和AP所成的角的取值为[π6,π2]
D. 当λ=1时，直线BP与平面ACC1A1所成角的正弦值范围是[ 64, 32]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知空间直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,1,0)，B(0,1,3)，C(2,5,1)则BC边上中线的长度为______.
14.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的40%，45%，15%，而第1，2，3台车床的次品率分别为1%，2%，3%.现从加工出来的零件中随机抽出一个零件，则取到的零件是次品的概率为______.
15.如图，60∘的二面角α−AB−β的棱上有A、B两点，射线AC、BD分别在两个半平面内，且都垂直于棱AB.若|AB|=1，|AC|=1，|BD|=2.则CD的长度为______.
16.设函数f(x)=xa+1ex+alnx，若x≥1，f(x)≥0恒成立，则a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=13x3+ax2+b在x=−2处有极值73.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[−3,3]上的最大值和最小值.
18.(本小题12分)
已知一个盒子中有除颜色外其余完全相同的5个球，其中2个红球，3个白球现从盒子中不放回地随机摸取3次，每次摸取1个球.
(1)求第二次摸出的球是红球的概率；
(2)求取得红球数X的分布列和期望.
19.(本小题12分)
银耳作为我国传统的食用菌，有“菌中之冠”的美称，历来深受广大人民所喜爱汉代《神农本草经》记载：银耳有“清肺热、济肾燥、强心神、益气血”之功效.宁德市山川秀美，气候宜人，非常适合银耳的种植栽培，其银耳产量占全球产量的90%以上.
(1)经查资料，得到近4年宁德市银耳产量(单位：万吨)如下表：
请利用所给数据求银耳产量y与年度代码x之间的回归直线方程y=b x+a ，并估计2023年银耳产量.
(2)宁德市某银耳开发研究公司积极响应国家倡导的科技创新，研发了一款提高银产量的辅料——“多保灵”.该公司科研小组为了研究这款产品是否有利于提高银耳产量，从同一其他条件下种植的2000筒银耳中随机抽取了100袋，对是否使用“多保灵”和银耳每筒的产量进行统计，得到如下数据：
①完善填写上面的列联表.
②问：是否有99%的把握认为银耳每筒产量与是否有按规定比例量使用“多保灵”有关？
参考公式：(ⅰ)b =i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，(ⅱ)a =y−−b x−.
(ⅲ)χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
参考数据：i=14yi=146.8，i=14xiyi=372.9，
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，AB=AC= 22AD.
(1)证明：平面PAC⊥平面PAB；
(2)已知PA= 3AB，在线段PB上是否存在一点Q，使得二面角Q−AC−B的平面角为π3？若存在，求出PQQB的值，若不存在，请说明理由.
21.(本小题12分)
在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.系统就能正常工作.设三台设备的可靠度均为r(0
(2)当r=0.7时，求能使系统正常工作的设备数X的分布列；
(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；
方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”.
请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax−lnxx+a−2，a∈R.
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)讨论函数f(x)的零点个数.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由随机变量X服从二项分布B(3,23)，
可得D(X)=3×23×(1−23)=23.
故选：D.
根据二项分布的方差的计算公式，即可求解．
本题考查二项分布相关知识，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且P(X≥4)=0.16，
所以P(2
根据给定条件，利用正态分布的对称性计算作答．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，
所以A1C1=C1D=A1D= 32+32=3 2，△A1C1D是正三角形，
设点D1到平面A1C1D距离为d，
因为VD1−A1C1D=VD−A1C1D1，即13S△A1C1D⋅d=13S△A1C1D1⋅DD1，
所以13×12×3 2×3 2×sin60∘⋅d=13×12×3×3×3，解得d= 3，
即点D1到平面A1C1D距离为 3.
故选：A.
由VD1−A1C1D=VD−A1C1D1，用等体积法即可求解．
本题考查利用等体积法求解点到平面的距离相关知识，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=(x−2)ex，
∴f′(x)=ex+(x−2)ex=ex(x−1)，
由f′(x)=ex(x−1)>0，得x>1.
∴函数f(x)=(x−2)ex的单调递增区间是(1,+∞)，
故选：C.
求出原函数的导函数，直接由导函数大于0求得原函数的单调期间．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导函数的符号与原函数单调性间的关系，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由随机变量X满足P(X=k)=ka，k=1，2，3，
∴1a+2a+3a=1，解得a=6，
∴随机变量X满足P(X=k)=k6，
∴P(1
根据分布列的性质，求得a=6，结合P(1
6.【答案】D
【解析】解：设f(x)=lnx−(x−1)，则f′(x)=1x−1，当x≥1时，f′(x)≤0，
所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，所以f(x)max=f(1)=0，
故当x∈(1,+∞)时，f(x)<0，即lnx
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以g(0.2)>g(0)=0，
即e0.2−(0.2+1)=e0.2−1−0，2>0⇒e0.2−1>0.2⇒c>b，
综上可得，c>b>a.
故选：D.
构造函数利用导数可证明lnx
本题主要考查对数值的大小比较，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意知事件AB为甲骰子的点数大于4，且甲、乙两骰子的点数之和等于8，
则事件AB包含的基本事件为(5,3)，(6,2)，
而抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子共有36种情况，
所以P(AB)=236=118，
因为甲骰子的点数大于4的有5，6两种情况，所以P(A)=26=13，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=11813=16.
故选：C.
先利用古典概型的概率公式求出P(AB)，P(A)，再利用条件概率公式可求得结果．
本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由函数f(x)=2x2,x≤0e2x,x>0，
作出y=f(x)的图象，如图所示：
设f(x)=m(m>1)的两根分别为x1，x2，其中x1<0
则x1+x2=− 2m2+lnm2=− 2 m2+ln m，
设g(x)=− 2x2+lnx，可得g′(x)=− 22+1x，
令g′(x)=0，解得x= 2，
当x∈(1, 2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈( 2,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以 当x= 2时，g(x)max=g( 2)=−1+12ln2，
即x1+x2的最大值为−1+12ln2.
故选：A.
根据题意，得到x1+x2=− 2 m2+ln m，设g(x)=− 2x2+lnx，g′(x)=− 22+1x，利用导数求得函数g(x)单调区间和最大值，即可求解．
本题考查了转化思想、数形结合思想及导数的综合运用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A：(2x)′=2xln2，故A正确；
对于B：(ln2x)′=22x=1x，故B错误；
对于C：(sin2x)′=2cs2x，故C正确；
对于D：(e−x)′=−e−x，故D错误．
故选：AC.
根据简单复合函数的求导法则及基本初等函数函数的导数公式判断即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，∵a=(0,1,1)，b=(0,0,−1)，
∴a⋅b=−1,|b|=1，
∴a在b上的投影向量为a⋅b|b|2⋅b=−b=(0,0,1)，故A错误；
对于B，∵a//b，∴a=λb(λ≠0)，
∵a=(1,m,3)，b=(5,−1,n)，
∴空间向量共线的性质得：1=5λm=−λ3=λn，
解得λ=15m=−15n=15，∴mn=−3，故B正确；
对于C，设{a,b,c}是空间中的一组基底，则a,b,c不共面，
假设a+b,b,c共面，则a+b=xb+yc，由向量相等的性质得此方程无解，
∴a+b,b,c不共面，
∴由空间向量的基底的性质得：{a+b,b,c}是空间的一组基底，
即{a,b,c}是空间中的一组基底，则{a+b,b,c}也是空间的一组基底，故C正确；
对于D，对空间中任意一点O，
∵OP=12OA+13OB+14OC，且12+13+14=1312≠1，
∴P，A，B，C四点不共面，故D错误．
故选：BC.
根据投影向量计算公式判断A；根据空间向量共线的知识判断B；根据空间向量共面的知识判断C和D.
本题考查向量数量积公式、投影向量、空间向量共线、空间向量共面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：将函数f(x)=sinx+2xf′(π3)两边求导，得：f′(x)=csx+2f′(π3)，
令x=π3，f′(π3)=csπ3+2f′(π3)，f′(π3)=−12，故f(x)=sinx−x，f′(x)=csx−1，
由此可以判断函数f′(x)是偶函数，选项A错误；
x∈[−1,1]，f′(x)=csx−1≤0，函数f(x)在区间[−1,1]上单调递减，选项B正确；
函数f(x)在区间x∈(0,1]上单调递减，f(0)=0，所以函数f(x)的图象恒在x轴的下方，选项C正确；
f′(x)=csx−1，且函数f′(x)是偶函数，
由余弦函数图像性质可知，f′(x)在[−1,0)上单调递增，在(0,1]上单调递减，
因为f′(2x−1)>f′(x−1)，则有|2x−1|<|x−1|−1<2x−1<1−1
对函数两边求导赋值，解得f′(π3)=−12，然后结合函数和导数，逐项判断即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：选项A，当λ=1且μ=12时，P为CC1的中点，取BC中点O，B1C1中点O1，
连AO，OO1，因为三棱柱ABC−A1B1C1为正三棱柱，所以AO⊥BC，
建立如图1所示的空间直角坐标系，则B(0,12,0)，A( 32,0,0)，P(0,−12,12)，B1(0,12,1)，
所以BP=(0,−1,12)，AB1=(− 32,12,1)，又BP⋅AB1=−12+12=0，所以BP⊥AB1，
所以AB1⊥BP，所以选项A正确；
选项B，当μ=1时，P为B1C1上的动点，因为VP−A1BC=V_A1，
又易知S△PBC=12×1×1=12，A1到平面BCC1B1的距离为 32，
所以VP−A1BC=V_A1，所以选项B正确；
选项C，当λ+μ=1时，P为线段B1C上的动点，设CP=tCB1(0≤t≤1)，
又B(0,12,0)，A( 32,0,0)，C(0,−12,0)，B1(0,12,1)，
所以AP=AC+CP=(− 32,t−12,t)，
又BB1=(0,0,1)，由|cs⟨AP,BB1⟩|=t 2t2−t+1，又因为t∈[0,1]，
当t=0时，|cs⟨AP,BB1⟩|=0
当t≠0时，|cs⟨AP,BB1⟩|=t 2t2−t+1=1 2−1t+1t2∈(0, 22],
所以|cs⟨AP,BB1⟩|∈[0, 22]，
所以直线B1B与AP所成角的范围为[π4,π2]，所以选项C错误；
选项D，当λ=1时，则P为CC1上的动点，如图2，取AC中点M点，BM⊥AC，
又三棱柱ABC−A1B1C1为正三棱柱，所以BM⊥平面ACC1A1，
则∠BPM为BP与平面ACC1A1所成的角，
在Rt△BMP中，BM= 32为定值，又sin∠BPM=BMBP，
所以BP与平面ACC1A1所成的最大角为∠BCM，此时sin∠BCM=BMBC= 32，
最小角为∠BC1M，此时sin∠BC1M=BMBC1= 64.所以选项D正确．
故选：ABD.
对于选项A，建立空间直角坐标系，通过计算得到BP⋅AB1=0，从而得到AB1⊥BP，进而判断出选项A正确；对于选项B，利用条件确点P的位置，再利用等体法即可判断选项的正误；对于选项C，利用空间直角坐标系，将线线角转化成两向量所成角来求解，
设CP=tCB1(0≤t≤1)，从而得到|cs⟨AP,BB1⟩|=t 2t2−t+1，再利用t的取值范围即可求出结果，从而判断出选项的正误；对于选项D，根据条件，确定点P的运动轨迹，取AC中点M点，从而得到∠BPM为BP与平面ACC1A1所成的角，进而可求出sin∠BPM的最大值和最小值．
本题考查线线垂直的判断，三棱锥的体积问题，线线角的范围，线面角问题的求解，属难题．
13.【答案】2 2
【解析】解：设BC的中点为D，
因为B(0,1,3)，C(2,5,1)，
所以D(1,3,2)，则AD=(0,2,2)，
AD=|AD|= 02+22+22=2 2.
故答案为：2 2.
根据空间向量中点坐标以及两点间距离公式计算即可．
本题考查中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】0.0175
【解析】解：设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3)，
则Ω=A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥，
根据题意得：P(A1)=0.4，P(A2)=0.45，P(A3)=0.15，
P(B|A1)=0.01，P(B|A2)=0.02，P(B|A3)=0.03，
由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.4×0.01+0.45×0.02+0.15×0.03=0.0175.
故答案为：0.0175.
设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3)，利用全概率的公式求解．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴CA⋅AB=0，DB⋅AB=0，⟨BD⋅AC⟩=60∘，
∵CD=CA+AB+BD，|AB|=1，|AC|=1，|BD|=2，
∴CD2=CA2+AB2+BD2+2CA⋅AB+2CA⋅BD+2AB⋅BD
=12+12+22+2×1×2cs120∘=4，
∴CD=2.
故答案为：2.
由CD=CA+AB+BD，得CD2=CA2+AB2+BD2+2CA⋅AB+2CA⋅BD+2AB⋅BD，即可得出答案．
本题考查二面角，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题．
16.【答案】[−e,+∞)
【解析】解：当a≥0时，若x≥1，则xa+1ex>0，alnx>0，f(x)≥0恒成立，符合题意；
当a<0，xa+1ex≥−alnx，所以xex≥x−alnx−a，
构造函数g(x)=xex，g′(x)=ex(x+1)，x>0时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为a<0，所以−a>0，则x≥1时，lnx−a>0，
所以xex≥x−alnx−a⇒g(x)≥g(lnx−a)⇒x≥lnx−a⇒lnx≤−1ax，
−1a≥lnxx，令h(x)=lnxx⇒h′(x)=1−lnxx2，
所以h(x)在(1,e)上递增，(e,+∞)上递减，
所以h(x)max=h(e)=1e，
所以−1a≥1e，又a<0，所以−e≤a<0，
综上可得，a≥−e.
故答案为：[−e,+∞).
当a≥0时，符合题意；当a<0，构造函数g(x)=xex，可得−1a≥lnxx，再构造h(x)=lnxx，利用−1a≥h(x)max，可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)f′(x)=x2+2ax，
f′(−2)=0f(−2)=73，即 4−4a=0−83+4a+b=73，解得a=1b=1，
当a=1b=1时，f′(x)=x2+2x=x(x+2)，
当x>0或x<−2，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当−2
所以f(x)=13x3+x2+1.
(2)由f(x)=13x3+x2+1，得f′(x)=x2+2x，
令f′(x)=0，则x1=−2，x2=0，
由于x1和x2都在区间[−3,3]内，所以可列表如下：
所以f(x)在[−3,3]上的最大值为19，最小值为1.
【解析】(1)求导，根据极值点以及极值即可联立方程求解a=1b=1，利用导数验证即可．
(2)列表得函数的单调性以及端点处和极值点处的函数值，即可求解最值．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)方法一：设A1表示第1次摸到红球，设A2表示第2次摸到红球，
则P(A1)=25，
P(A2)=P(A1A2)+P(A1−A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1−)P(A2|A1−)
=25×14+35×24=25
∴第二次摸出的球是红球的概率是25；
方法二：设事件A表示第二次摸出的球是红球，
则P(A)=A22+A21A31A52，即P(A)=25，
∴第二次摸出的球是红球的概率是25；
(2)从5个球中摸取3个球，用X表示抽到的红球数，
则随机变量X的可能取值为0，1，2，
∴P(X=0)=C20C33C53=110，P(X=1)=C21C32C53=35，P(X=2)=C22C31C53=310，
∴随机变量X的分布列：
∴E(X)=0×110+1×35+2×310=65.
【解析】(1)方法一：利用全概率公式即可求解；方法二：利用古典概型概率公式结合排列数，即可得出答案；
(2)由题意得随机变量X的可能取值为0，1，2，根据超几何分布的分布列，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由表中的数据可知，x−=1+2+3+44=2.5，
y−=34.9+36.2+37.2+38.54=36.7，
i=14xiyi=1×34.9+2×36.2+3×37.2+4×38.5=372.9，
i=14xi2=12+22+32+42=30，
所以b =372.9−4×2.5×36.730−4×2.52=1.18，
故a =y−−b x−=33.75，
则线性回归方程为y=1.18x+33.75，
当x−5时，y=1.18×5+33.75=39.65，故预测2023年银耳产量为39.65万吨．
(2)①2×2列联表如下：
②χ2=100×(25×10−45×20)270×30×45×55≈8.129，
又因为1−99%=1%，而且查表可得P(χ2≥0.01)=6.635，
由于8.129>6.635，所以有99%的把握认为银耳产量与是否有按规定比例使用“多宝灵”有关．
【解析】(1)先求出线性回归方程，再令x=5进行预测；
(2)先填写列联表，再计算判断．
本题考查独立性检验以及线性回归方程相关知识，属于中档题．
20.【答案】解：(1)底面ABCD是平行四边形，则AD=BC，
∵AB=AC= 22AD，∴AB2+AC2=AD2=BC2，∴AB⊥AC
∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，
又AC∩PA=A，∴AB⊥平面PAC，
∵AB⊂平面PAB，∴平面PAC⊥平面PAB
(2)以AB、AC、AP的方向分别为x，y，z轴的正方向，建系如图，设AB=1，BQ=λBP，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0, 3)，
则平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)，
所以AC=(0,1,0)，AQ=AB+BQ=(1,0,0)+λ(−1,0, 3)=(1−λ,0, 3λ)，
设平面ACQ的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AC=y=0n⋅AQ=(1−λ)x+ 3λz=0，取n=( 3λ,0,λ−1)，
∴cs⟨m,n⟩=m⋅n|m||n|=λ−1 4λ2−2λ+1，
∴|λ−1 4λ2−2λ+1|=12，∴λ=12，所以PQQB=1.
【解析】(1)根据勾股定理证明线线垂直，结合线面垂直得线线垂直，即可由线面垂直的判断定理证明线面垂直，进而可证面面垂直．
(2)建系，利用向量法，向量的夹角公式，即可求解．
本题考查面面垂直的证明，向量法求解二面角问题，方程思想，属中档题．
21.【答案】解：(1)要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为X，
则P(X≥1)=1−P(X<1)=1−P(X=0)=1−(1−r)3≥0.992，
解得r≥0.8，故r的最小值为0.8.
(2)设X为正常工作的设备数，由题意可知，X∼B(3,r)，
P(X=0)=C30×0.70×(1−0.7)3=0.027，
P(X=1)=C31×0.71×(1−0.7)2=0.189，
P(X=2)=C32×0.72×(1−0.7)1=0.441，
P(X=3)=C33×0.73×(1−0.7)0=0.343，
从而X的分布列为：
(3)设方案1、方案2的总损失分别为X1，X2，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，
可知计算机网络断掉的概率为：C30×0.80×(1−0.8)3=0.008，
故E(X1)=0.8+0.008×50=1.2万元．
采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”，
计算机网络断掉的概率为：C40×0.70×(1−0.7)4=0.0081，
故E(X2)=0.5+0.0081×50=0.905万元．
因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2.
【解析】(1)先用r表示出P(X≥1)，结合题意即可求出r的最小值；
(2)由题意可知，满足二项分布，故易得能正常工作的设备数X的分布列；
(3)分别计算两种方案的损失期望值，即可做出决策．
本题主要考查离散型随机变量期望与分布列的求解，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵f(x)=2x−lnxx，
∴f′(x)=2−1−lnxx2，
∴k=f′(1)=1.
∵f(1)=2，
∴切点坐标为(1,2)，
∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−2=x−1，即y=x+1，
∴切线与坐标轴交点坐标分别为(0,1)，(−1,0)，
∴所求三角形面积为12.
(2)解法一：设函数h(x)=xf(x)=ax2+(a−2)x−lnx，h′(x)=(2x+1)(ax−1)x2，
当a≤0时，h′(x)<0，h(x)在(0,+∞)上单调递减，
而h(1)=2a−2<0，h(e2a−3)>2a−2−lne2a−3=1，
所以存在唯一x0∈(e2a−3,1)，使得h(x0)=0，即f(x)只有一个零点．
当a>0时，令h′(x)=0，解得x1=1a，x2=−12(舍)，
当0
h(1a)=1−1a−ln1a，设g(t)=1−t−lnt，g(t)在(0,+∞)单调递减，且g(1)=0，
当h(1a)>0，解得a>1，所以h(x)没有零点，即f(x)没有零点；
当h(1a)=0，解得a=1，所以h(x)只有一个零点，即f(x)只有一个零点；
当h(1a)<0，解得0
所以h(x)在(e2a−3,1a)只有一个零点，
因为y=x−lnx，y′=1−1x，
当x>1时，y′>0，y=x−lnx在(1,+∞)单调递增，
所以x−lnx>1>0，
所以h(3a)=3+3a−ln3a>3>0，
所以h(x)在(1a,3a)只有一个零点，
所以f(x)有两个零点．
综上：当a≤0或a=1时，f(x)只有一个零点；当0
解法二：由f(x)=ax−lnxx+a−2=0，得a=lnx+2xx2+x，
设g(x)=lnx+2xx2+x，g′(x)=(2x+1)(1−x−lnx)(x2+x)2，
设h(x)=1−x−lnx，h(x)在(0,+∞)单调递减，h(1)=0，
当g′(x)<0，解得x>1；当g′(x)>0，解得0
所以g(x)max=g(1)=1，
又因为当x趋向于0时，g(x)趋向于−∞，x趋向于+∞，g(x)趋向于0，
根据图象知：
当a≤0或a=1时，f(x)只有一个零点；当a>1，f(x)没有零点；当0
设函数h(x)与g(x)相切于点P(x0,y0)，
则y0=a(x0+1)−2,解得a=1，x0=1.
由g′(x)>0，可解得0
由g′(x)<0可解得x>e，
所以g(x)在(e,+∞)上单调递减．
如图所示，
当a≤0或a=1时，h(x)与g(x)只有一个交点，所以f(x)有一个零点；
当0
【解析】(1)用导数的几何意义先求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点坐标，进而可求三角形面积；
(2)解法一：设函数h(x)=xf(x)=ax2+(a−2)x−lnx，求出h(x)的单调性，用零点存在性定理判断每个单调区间上零点个数，进而可求解；
解法二：分参可得a=lnx+xx2+x，设g(x)=lnx+xx2+x，求出g(x)的单调性可画出其图象，数形结合可求解；
解法三：令h(x)=a(x+1)−2，g(x)=lnxx，数形结合求解．
本题考查导数的几何意义，考查函数的零点，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．年度
2019
2020
2021
2022
年度代码x
1
2
3
4
银耳产量y
34.90
36.20
37.20
38.5
是否使用“多保灵”
每筒产量≥350克
每筒产量<350克
总计
未使用
25
_____
45
有按规定比例量使用
_____
10
_____
总计
70
30
100
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
P(χ2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x
−3
(−3,−2)
−2
(−2,0)
0
(0,3)
3
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
1
递增
73
递减
1
递增
19
X
0
1
2
P
110
35
310
是否使用“多宝灵”
每筒产量≥350克
每筒产量<350克
总计
未使用
25
20
45
有按规定比例使用
45
10
55
总计
70
30
100
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
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