2023-2024学年上海市青浦实验中学九年级（上）第一次段考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年上海市青浦实验中学九年级（上）第一次段考数学试卷（10月份），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝x﹣3B．y＝ax2+bx+c
C．y＝x（x﹣1）﹣1D．y＝x2﹣（x+1）2
3．（4分）已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（ ）
A．B．5sinαC．D．5csα
4．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，连接AE并延长交BC的延长线于点F，若AD＝3CF，那么下列结论中正确的是（ ）
A．FC：FB＝1：3B．CE：CD＝1：3
C．CE：AB＝1：4D．AE：AF＝1：2．
5．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（ ）
A．3：2B．2：3C．D．．
6．（4分）将抛物线y1＝x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y2＝ax2+bx+c重合，现有一直线y3＝2x+3与抛物线y2＝ax2+bx+c相交，当y2≤y3时，利用图象写出此时x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣1B．x≥3C．﹣1≤x≤3D．x≥0
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段a＝4，b＝1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c＝ ．
8．（4分）在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是3厘米，那么甲乙两地的实际距离是 千米．
9．（4分）如果抛物线y＝（a+2）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是 ．
10．（4分）已知一个斜坡的坡度i＝1：，那么该斜坡的坡角的度数是 度．
11．（4分）如果△ABC∽△DEF，且对应面积之比为1：4，那么它们对应周长之比为 ．
12．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cs∠A＝，那么ct∠A＝ ．
13．（4分）如图，a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，C，E和B，D．F．若AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF的长为 ．
14．（4分）已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为 ．
15．（4分）已知抛物线开口向上，对称轴是直线x＝5，抛物线上两点坐标为（2，y1），（4，y2），那么y1 y2．（填“＞”或“＜”）
16．（4分）把抛物线y＝x2向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，3），那么平移后的抛物线的表达式是 ．
17．（4分）我们定义：关于x的函数y＝ax2+bx与y＝bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y＝3x2+4x与y＝4x2+3x是互为交换函数．如果函数y＝2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b＝ ．
18．（4分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在边CD、BC上，联结EF．如果△CEF沿直线EF翻折，点C与点A恰好重合，那么的值是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：2cs230°+﹣sin60°．
20．（10分）用配方法把二次函数y＝﹣2x2+6x+4化为y＝a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
21．（10分）如图，在△ABC中，AC＝4，D为BC上一点，CD＝2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3；
（1）求证：△ADC∽△BAC；
（2）当AB＝8时，求sinB．
22．（10分）如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离
（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，sin36°≈0.588，cs36°≈0.809，tan36°≈0.727，ct36°≈1.376）
23．（12分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且＝．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如果AD2＝DG•DE，求证：＝．
24．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象经过A（2，3），B（3，6）、C（﹣1，6）三点．
（1）求该二次函数解析式；
（2）将该二次函数y＝ax2+bx+c图象平移使其经过点D（5，0），且对称轴为直线x＝4，求平移后的二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若平移后的二次函数图象与x轴的另一个交点为E，求∠DAE的正切值．
25．（14分）如图，△ABC中，AB＝5，BC＝11，，点P是BC边上的一个动点，连接AP，取AP的中点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PN，连接AN、NC．
（1）当点N恰好落在BC边上时，求NC的长；
（2）若点N在△ABC内部（不含边界），设BP＝x，CN＝y，求y关于x的函数关系式，并求出函数的定义域；
（3）若△ANC是以AN为腰的等腰三角形，求BP的长．
2023-2024学年上海市青浦实验中学九年级（上）第一次段考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．【分析】根据比例设a＝k，b＝3k，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵＝，
∴设a＝k，b＝3k（k≠0），
则＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
2．【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【解答】解：A．y＝x﹣3是一次函数，故不符合题意；
B．y＝ax2+bx+c当a＝0，b≠0时是一次函数，故不符合题意；
C．y＝x（x﹣1）﹣1＝x2﹣x﹣1是二次函数，故符合题意；
D．y＝x2﹣（x+1）2＝﹣2x﹣1是一次函数，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．
3．【分析】已知直角三角形的一个锐角和锐角所对的直角边，求斜边，运用三角函数定义解答．
【解答】解：如图：BC为飞机离地面的高度，
所以在Rt△ABC中，∠BAC＝α，BC＝5，
则AB＝＝，
故选：A．
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
4．【分析】由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，证△ECF∽△ADE，进而判断即可．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴△ECF∽△EDA，
∵AD＝3CF，
A、FC：FB＝1：4，错误；
B、CE：CD＝1：4，错误；
C、CE：AB＝1：4，正确；
D、AE：AF＝3：4．错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
5．【分析】只要证明△ACD∽△CBD，可得＝＝＝，由此即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝＝＝
∴＝，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．【分析】先利用配方法得到抛物线y1＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），再利用抛物线的变换规律得到平移后的抛物线解析式为y＝x2，然后解方程组得或，然后利用函数图象写出一次函数图象在抛物线y＝x2上方（含交点）所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则它的顶点坐标为（1，﹣4），
所以抛物线y1＝x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后的解析式为y＝x2，
解方程组得或，
所以当﹣1≤x≤3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数图象与几何变换．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
则c2＝4×1，c＝±2，（线段是正数，负值舍去），故c＝2；
故答案为2．
【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
8．【分析】设甲乙两地的实际距离是x厘米，然后根据比例尺的定义列方程求解，最后同一单位即可解答．
【解答】解：设甲乙两地的实际距离是x厘米，
由题意可得：1：15000000＝3：x，
解得x＝45000000，
45000000厘米＝450千米．
故答案为：450．
【点评】本题考查了比例线段、一元一次方程的应用等知识点，根据比例尺的定义列方程是解题的关键．
9．【分析】根据抛物线y＝（a+2）x2+x﹣1的开口向下，可得a+2＜0，从而可以得到a的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝（a+2）x2+x﹣1的开口向下，
∴a+2＜0，
得a＜﹣2，
故答案为：a＜﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质和定义，解题的关键是明确二次函数的开口向下，则二次项系数就小于0．
10．【分析】坡度＝坡角的正切值，据此直接解答．
【解答】解：∵tanα＝1：＝，
∴坡角＝30°．
【点评】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．
11．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且对应面积之比为1：4，
∴△ABC与△DEF的相似比是1：2，
∴它们对应周长之比为1：2．
故答案为：1：2．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
12．【分析】设AC＝2x，则AB＝3x，由勾股定理求得BC的长度，继而由三角函数的定义求得ct∠A的值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cs∠A＝＝，
∴设AC＝2x，则AB＝3x，
∴由勾股定理得到：BC＝＝＝x，
∴ct∠A＝＝＝；
故答案为：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．
13．【分析】根据平行线分线段定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，
∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，
∴＝，
解得：DF＝4.5，
∴BF＝BD+DF＝3+4.5＝7.5，
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．
14．【分析】根据三角函数的定义解答．
【解答】解：如图作PA⊥x轴，垂足为A，
OP＝
cs∠POA＝，
故答案为
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，利用坐标系求出三角形的边长是关键步骤．
15．【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线x＝5可得x＜5时，y随x增大而减小，进而求解．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝5，
∴x＜5时，y随x增大而减小，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质．
16．【分析】可设所求的函数解析式为y＝x2+k，把A坐标代入可得平移后的抛物线．
【解答】解：设所求的函数解析式为y＝x2+k，
∵点A（2，3）在抛物线上，
∴3＝22+k
解得：k＝﹣1，
∴平移后的抛物线的表达式是 y＝x2﹣1．
故答案为：y＝x2﹣1．
【点评】考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移不改变二次项系数及顶点的横坐标，只改变顶点的纵坐标，上加下减．
17．【分析】根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x轴对称，从而得到关于b的方程，可以解答本题．
【解答】解：∵由题意函数y＝2x2+bx的交换函数为y＝bx2+2x，
∵函数y＝2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，两个函数的对称轴相同，
∴﹣＝﹣，
解得b＝﹣2或2，
∵互为交换函数a≠b，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．
18．【分析】过点D作DG⊥AC，垂足为G，先依据勾股定理求得AC的长，然后在△ADC中，利用面积法可求得DG的长，然后可得到AG的长，从而可得到GH的长，最后依据平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】解：如图所示：过点D作DG⊥AC，垂足为G．
在Rt△ABC中，依据勾股定理可知：AC＝＝4．
∵S△ADC＝AD•AB＝AC•DG，
∴×3×4＝×4DG．
∴DG＝．
∴AG＝2DG＝．
由翻折的性质可知AH＝HC＝2．
∴GH＝AH﹣AG＝2﹣＝．
∵DG∥EH，
∴DE：EC＝GH：HC＝：2＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、平行线分线段成比例定理，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘方，后算乘法，最后计算加减即可．
【解答】解：原式＝2×（）2+﹣，
＝+﹣，
＝3﹣．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．
20．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
【解答】解：y＝﹣2x2+6x+4
＝，
＝，
开口向下，对称轴为直线，顶点．
【点评】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．
21．【分析】（1）作AE⊥BC，根据△ADC与△ABD的面积比为1：3且CD＝2可得BD＝6，即BC＝8，从而得，结合∠C＝∠C，可证得△ADC∽△BAC；
（2）由△ADC∽△BAC得，求出AD的长，根据AE⊥BC得DE＝CD＝1，由勾股定理求得AE的长，最后根据正弦函数的定义可得．
【解答】解：（1）如图，作AE⊥BC于点E，
∵＝＝＝，
∴BD＝3CD＝6，
∴CB＝CD+BD＝8，
则＝，，
∴，
∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC；
（2）∵△ADC∽△BAC，
∴，即，
∴AD＝AC＝4，
∵AE⊥BC，
∴DE＝CD＝1，
∴AE＝＝，
∴sinB＝＝．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及勾股定理、等腰三角形的性质、三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点C作AB的垂线交AB于H，要先求出CH的值然后再求AH，BH的值，进而得出AB的长．
【解答】解：过点C作CH⊥AB，垂足为点H，
由题意，得∠ACH＝45°，∠BCH＝36°，BC＝200，
在Rt△BHC中，，
∴，
∵sin36°≈0.588，
∴BH≈117.6，
又，
∴．
∵cs36°≈0.809，
∴HC≈161.8，
在Rt△AHC中，，
∵∠ACH＝45°，
∴AH＝HC，
∴AH≈161.8，
又AB＝AH+BH，
∴AB≈279.4，
∴AB≈279（米），
答：A、B之间的距离为279米．
【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法．
23．【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到，根据等式的性质得到＝，等量代换即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴△ADG∽△CEG，
∴，
∵＝，
∴，
∴AB∥CD；
（2）∵AD∥BC，
∴△ADG∽△CEG，
∴，
∴＝，
∴＝，
∵AD2＝DG•DE，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据对称轴为直线x＝4，可得抛物线向右平移3个单位，设抛物线向下平移m个单位，则平移后的抛物线为y＝（x﹣4）2+2﹣m，将点D（5，0）代入，求得m的值，进而即可求解；
（3）过点A作AM⊥x轴于点M，得出△ADM是直角三角形，，过点E作EF⊥AD，勾股定理求得EF，进而得出AF，根据正切的定义，即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过A（2，3），B（3，6）、C（﹣1，6）三点，代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；
（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
对称轴为直线x＝1，
∵平移使其经过点D（5，0），且对称轴为直线x＝4，
∴抛物线向右平移3个单位，
设抛物线向下平移m个单位，则平移后的抛物线为y＝（x﹣4）2+2﹣m，
∵经过点D（5，0），
∴0＝（5﹣4）2+2﹣m，
解得：m＝3，
∴平移后的解析式为y＝（x﹣4）2﹣1＝x2﹣8x+15，即y＝x2﹣8x+15；
（3）如图所示，过点A作AM⊥x轴于点M，
当y＝0时，y＝x2﹣8x+15＝0，
即（x﹣5）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝3，x2＝5，
∴E（3，0），
∵A（2，3），D（5，0），
∴M（2，0），AM＝3，DM＝3，DE＝2，
∴△ADM是直角三角形，，
过点E作EF⊥AD，
∵ED＝2，
∴，
∴，
在Rt△AEF中，．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，求正确，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．【分析】（1）利用三角函数和勾股定理即可求解；
（2）过A、N作BC的垂线，垂足分别为H、G，证得：△APH∽△PGN，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分三种情况讨论，第一种情况：当PN＝NC时，PG＝CG，即9﹣x＝2；第二种情况：PN＝PC时，，PC＝11﹣x；第三种情况：当NC＝PC时：
，PC＝11﹣x，求解方程即可．
【解答】解：（1）如图1，
∵∠APN＝90°，
∴AP⊥BN，
∴，
∵AB＝5，
∴BP＝3，
∴，
∵，
∴PN＝2，
∴NC＝11﹣3﹣2＝6；
（2）如图2，过A、N作BC的垂线，垂足分别为H、G，
∵AB＝5，，
∴BH＝3，
∵BP＝x，
∴HP＝x﹣3，AH＝4，
∴△APH∽△PGN，
∴，
∴PG＝2，，CG＝11﹣x﹣2＝9﹣x，
在Rt△NCG中，，
函数的定义域为：3＜x＜6；
（3）第一种情况：如图3，当PN＝NC时，PG＝CG，即9﹣x＝2，
解得：x＝7，
第二种情况：如图4，PN＝PC时，，PC＝11﹣x，（x﹣3）2+16＝4（11﹣x）2，
整理得：3x2﹣82x+459＝0，
解得：（舍去），，
第三种情况：如图5，当NC＝PC时：
，PC＝11﹣x，
∴，即x2+10x﹣151＝0，
解得，（不合题意，舍去），，
综上所述BP＝7或或时，△PNC为等腰三角形．
【点评】此题考查了线段长度的求法，以及在几何问题中用方程思想求线段长度的转化方法，同时注意分类讨论的思想的应用．