压轴小题06 探寻规律妙解数列综合问题-【突破压轴冲刺名校】备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）

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等差数列通项公式： 或
等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项
若，为等差数列，则，仍为等差数列
等差数列前n项和公式：或
等差数列的前项和中，，（为奇数）
等比数列通项公式：
等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项
若，为等比数列，则，仍为等比数列
等比数列前项和公式：
已知与的关系
分组求和
若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和
裂项相消求和

压轴训练
一、单选题
1．（2023·江苏·统考一模）已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏·高三专题练习）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（ ）
A．当时，数列单调递减B．当时，数列单调递增
C．当时，数列单调递减D．当时，数列单调递增
4．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知一个等比数列的前项和､前项和､前项和分别为､､，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·江苏扬州·校考二模）已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列为等比数列
C．D．
二、多选题
6．（2023·江苏南通·三模）1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是( )
A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则
B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列
C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的)
D．若最初有个桃子,则必有的倍数
7．（2023·江苏·校联考模拟预测）佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列．随着项数越来越大，其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比．白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系．记佩尔数列为，且，，．则（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．白银比为
8．（2022·江苏·高三专题练习）在（）中，内角的对边分别为，的面积为，若，，，且，，则（ ）
A．一定是直角三角形B．为递增数列
C．有最大值D．有最小值
9．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前n项和为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
10．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是（ ）
A．向量与向量所成角为
B．
C．
D．若，则数列的前n项和为
11．（2022秋·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）在数列中，已知是首项为1，公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．若，则
C．若，则D．当时，
12．（2022秋·江苏盐城·高三盐城市第一中学校考阶段练习）已知数列{}的前n项和为，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．存在，使得
C．D．是单调递增数列，{}是单调递减数列
13．（2022秋·江苏南京·高三期末）对于伯努利数，有定义：.则（ ）
A．B．
C．D．
14．（2022春·江苏苏州·高三江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知等比数列首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则下列结论正确的是（ ）
A．为单调递增的等差数列
B．
C．为单调递增的等比数列
D．使得成立的n的最大值为6
15．（2023·江苏盐城·盐城中学一模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·江苏苏州·校联考三模）若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”.则下列数列是“数列”的有（ ）
A．B．
C．D．
17．（2023秋·江苏南京·高三南京市第十三中学校考期末）已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（ ）
A．是等差数列B．
C．D．
18．（2023·江苏南京·模拟预测）设，．若，则称序列是长度为n的0—1序列．若，，则（ ）
A．长度为n的0—1序列共有个B．若数列是等差数列，则
C．若数列是等差数列，则D．数列可能是等比数列
19．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当且仅当时，取得最大值
D．若，，则当或14时，取得最大值
20．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的，满足，则下列选项之中，可能成立的有（ ）
A．B．
C．D．
21．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列、进行“美好成长”，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；；设第次“美好成长”后得到的数列为、、、、、，并记，则（ ）
A．B．
C．D．数列的前项和为
22．（2022秋·江苏连云港·高三江苏省赣榆高级中学校考阶段练习）已知数列满足，，记数列的前n项和为，则（ ）
A．是等差数列B．任意的，
C．D．
23．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（ ）
A．是等差数列B．
C．D．存在使得
三、填空题
24．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）记为数列的前项和，已知对任意的，，且存在，，则的取值集合为 （用列举法表示）
25．（2022秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）用表示自然数的所有因数中较大的那个奇数，例如9的因数有1，3，9，则；10的因数有1，2，5，10，则，那么 ．
26．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设是一个“0，1数列”，定义数列：数列中每个0都变为“1，0，1”，中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列：1，0，则数列：0，1，0，1，0，1.已知数列：1，0，1，0，1，记数列，，2，3，…，则数列的所有项之和为 .
四、双空题
27．（2022秋·江苏盐城·高三统考阶段练习）已知数列满足，，且．则数列的通项公式为 ．若，则数列的前项和为 ．
28．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的边长为1，往里第二个正方形为，…，往里第个正方形为．那么第7个正方形的周长是 ，至少需要前 个正方形的面积之和超过2．（参考数据：，）．
29．（2023春·江苏南京·高三校联考期末）最早的数列从何而来，也许结绳记事便是人类最早跟数列打交道的朴素方式，人类所认识并应用于生活、生产的第一个数列便是自然数列现有数列满足：第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推，记为数列的前项和.则 ，当时，若存在，使得，则的最小值为 .
30．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知数列满足其中，是公比为的等比数列，则 （用表示）；若，则 .