2024年高考数学第一轮复习核心考点专题特训 专练02 不等式恒成立问题【原卷版+解析】

这是一份2024年高考数学第一轮复习核心考点专题特训 专练02 不等式恒成立问题【原卷版+解析】，共30页。试卷主要包含了设，，函数，换元思想能使问题简化等内容，欢迎下载使用。

热点一
二次不等式在R上的恒成立问题
1.（2023春·天津红桥·高一天津三中校考期中）关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
2.（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的范围________.
3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
4．（2023春·浙江·高一校联考期中）已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________.
5．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）当a为何值时，一元二次不等式(a－4)x2＋10x＋a＜4的解集为R?
【点评】
1.二次不等式在全集R上恒成立，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；
2.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
热点二
二次不等式在给定区间上的恒成立问题
6．（2023·福建·统考模拟预测）已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）在中，内角，，，.若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且为与中较大的数，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
11．（2018·天津·高考真题（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【点评】
1.若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
2.处理方法有，充分结合函数图象进行分类讨论或采用分离参数的方法．分离参数法即，转化为函数最值，如：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.
热点三
二次不等式能成立或有解问题
13．设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，则( )
A．a≤2 B．a≥2
C．a≥ D．a≤
14.（2023·湖南长沙·高二长郡中学）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15.（2023·河南新乡·统考三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．
热点四
给定参数范围的恒成立问题
17．(2021·海滨区模拟)若mx2－mx－10在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
2.处理方法有，充分结合函数图象进行分类讨论或采用分离参数的方法．分离参数法即，转化为函数最值，如：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.
热点三
二次不等式能成立或有解问题
13．设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，则( )
A．a≤2 B．a≥2
C．a≥ D．a≤
【答案】D
【解析】∵关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，∴a≤x＋在x∈[1,2]上有解⇔a≤，x∈[1,2]，
∵函数y＝x＋在[1,2]上单调递增，
∴f(x)max＝，∴a≤.
14.（2023·湖南长沙·高二长郡中学）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可.
【详解】不等式化为，即，
当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意；
当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知，
不等式的解为，由题意，，解得；
当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是.
故选：C
15.（2023·河南新乡·统考三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出的取值范围.
【详解】因为当时，；，
所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍.
当时，，，
故当时，对任意，不成立，
当时，，
同理当时，，
以此类推，当时，必有.
函数和函数的图象如图所示：
因为当时，，
令，解得，（舍去），
因为当时，成立，所以.
故选：A.
【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
16．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据题意结合指数函数性质判断出，，且的解集为，根据一元二次不等式和相应方程的关系可得，结合b的范围，即可求得答案.
【详解】由题意知若，即，
∴，
∴当时，；当 时，，
∵的解集为，
∴，，且的解集为，
∴与是的两根，
故，∴，
又，∴，
又，∴ ，
故答案为：
热点四
给定参数范围的恒成立问题
17．(2021·海滨区模拟)若mx2－mx－1