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【押题金卷】2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷（B卷）
展开这是一份【押题金卷】2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷（B卷），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合A=yy=2x−1,x∈Z，B=x5x2−4x−1≤0，则A∩B=（ ）
A．1B．0,1
C．0,1,2D．1,3,5
2．设复数z满足1+i2z=4−2i，则z＝（ ）
A．－1－2iB．－1＋2i
C．1＋2iD．1－2i
3．若数据x1、x2、x3、x4、x5的方差为s1，数据y1、y2、y3、y4、y5，的方差为s2，yn=xn+1n=1,2,3,4,5，则（ ）
A．s1>s2B．s1
4．2021年全运会的吉祥物以四个国宝级动物“朱鹮、大熊猫、羚牛、金丝猴”为创意原型，分别取名“朱朱”“熊熊”“羚羚”“金金”．某同学共有5个吉祥物娃娃，其中2个“朱朱”，“熊熊”“羚羚”“金金”各1个，从中随机抽取两个送给同学，则抽取的吉祥物中含“朱朱”的概率为（ ）
A．110B．35C．710D．45
5．2021年是中国共产党建党100周年，某校在礼堂开展“赓续红色精神，发扬优良作风”的庆祝活动．已知该礼堂共有20排座位，每排比前一排多3个座位数，若前3排座位数总和为45，则该礼堂共有座位的个数是（ ）
A．570B．710C．770D．810
6．已知sinπ6−x=14，且0
C．−154D．154
7．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数ICRF对计算度电成本具有重要影响．等年值系数ICRF和设备寿命周期N具有如下函数关系ICRF=0.051+rN1+rN−1，r为折现率，寿命周期为10年的设备的等年值系数约为0.13，则对于寿命周期约为20年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（ ）
A．0.03B．0.05C．0.07D．0.08
8．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N，P，Q分别为B1C1，C1D1，AD，A1D1的中点，则下列结论成立的是（ ）
A．AM∥PNB．平面AA1M∥平面PQN
C．直线AC1与平面PMQ的夹角为π4D．平面PMQ⊥平面CMC1
9．已知定义在R上的奇函数fx的图象关于直线x=1对称，且y=fx在0,1上单调递增，若a=f−3，b=f−12，c=f2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c
A．3B．5C．2D．22
11．如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC与平面PAE所成角的正弦值等于（ ）
A．34B．105
C．155D．134
12．已知函数f(x)=x−ax+12ex恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．1e,eB．0,12e∪(4e,∞)
C．12e,2eD．0,12e∪(2e,∞)
二、填空题
13．已知单位向量a,b满足|a−3b|=−63a⋅b，则向量a,b夹角的余弦值为 ．
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为23，csC=12，且c=2，则a+b= ．
15．已知椭圆T：x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若AB=825，则椭圆T的方程为 ．
16．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则满足不等式f(x)+fx−π6>32的最小正整数x为 ．
三、解答题
17．设数列an满足a1=2，an−2an−1=2−nn∈N*．
(1)求证：an−n为等比数列，并求an的通项公式；
(2)若bn=an−n⋅n，求数列bn的前n项和Tn．
18．如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，∠ABC=90°，AB=2，BC=CD=1．
(1)求证：平面A1BD⊥平面ADD1A1；
(2)若二面角D−A1B−A的大小为60°，求侧棱AA1的长．
19．甲､乙两人进行猜灯谜游戏，每次同时猜同一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，且获胜一方得1分，失败一方得−1分；若两人都猜对或两人都猜错，则为平局，两人均得0分.已知猜灯谜游戏中，甲､乙每次猜对的概率分别为34，23，且甲､乙猜对与否互不影响，每次猜灯谜游戏也互不影响.
(1)求1次猜灯谜游戏中，甲得分的分布列与数学期望；
(2)设3次猜灯谜游戏后累计得分为正者获胜，求甲获胜的概率.
20．已知抛物线E：y2=2pxp>0的焦点为F，且F与圆C：x+32+y2=4上点的距离的最大值为6．
(1)求抛物线E的方程；
(2)若抛物线E的准线交x轴于点M，过焦点F作一直线l与E相交于A，B两点，记直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求k1k2的取值范围．
21．已知函数f(x)=xex−13x2−x−1．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)>−13x3−x2+ln(ax)(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=csαy=sinα（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcsθ−3ρsinθ=1．
(1)指出曲线C1和C2所表示的曲线类型；
(2)若曲线C1和C2交于点A，B，点P在曲线C1上，且△PAB的面积为32，求点P的直角坐标.
23．已知函数f(x)=|x+1|,g(x)=f(2x−2)−f(x−4)．
(1)画出函数y=f(x)和函数y=g(x)的图象；
(2)若不等式f(ax)≥g(x)恒成立，且a≠0，求实数a的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】首先解一元二次不等式求出集合B，再根据交集的定义计算可得；
【详解】解：由5x2−4x−1≤0，即5x+1x−1≤0，解得−15≤x≤1，
所以B=x5x2−4x−1≤0=x|−15≤x≤1，
又A=yy=2x−1,x∈Z=⋯,−3,−1,1,3,5,⋯，
所以A∩B=1；
故选：A
2．A
【分析】本题考查复数乘除运算，注意i2=−1．
【详解】∵1+i2z=4−2i，则可得：z=4−2i1+i2=2−ii=−1−2i．
故选：A．
3．C
【分析】利用平均数公式可得出y=x+1，结合方差公式可得出结论.
【详解】因为y=15y1+y2+y3+y4+y5=15x1+x2+x3+x4+x5+5=x+1，
则yn−y=xn+1−x+1=xn−x，其中n∈1,2,3,4,5，
所以，s2=15y1−y2+y2−y2+y3−y2+y4−y2+y5−y2
=15x1−x2+x2−x2+x3−x2+x4−x2+x5−x2=s1，
故选：C.
4．C
【分析】利用古典概型，组合数公式，即可求解.
【详解】两个都是“朱朱”，有1种方法，若有1个“朱朱”，则有C21C31=6种方法，
所以抽取的吉祥物含“朱朱”的概率p=7C52=710.
故选：C
5．D
【分析】根据题意可知是等差数列，然后列出列子，解出an的基本量a1=12和d=3，求前20项和.
【详解】设从第一排到最后一排的座位数构成一个数列an
由“每排比前一排多3个座位数”可知，an是等差数列，且公差d=3，又a1+a2+a3=3a2=45，可得a1=a2-3=12，该礼堂共有座位的个数为S=2020×12+20×192×3=810，
故选:D
6．A
【分析】根据sinπ6−x>0可确定π6−x的范围，由此可得csπ6−x；利用二倍角正弦公式可求得sinπ3−2x，由此可得结果.
【详解】∵0
∴sinπ3−2x=2sinπ6−xcsπ6−x=2×14×154=158，
∴sin2x−π3=−sinπ3−2x=−158.
故选：A.
7．D
【分析】由已知可得出0.051+r101+r10−1=0.13，解出1+r10=138，然后将N=20代入计算即可得解.
【详解】由已知可得0.051+r101+r10−1=0.13，解得1+r10=138，
当N=20时，则ICRF=0.051+r201+r20−1=120×13821382−1=1692100≈0.08.
故选：D.
8．D
【分析】由题可得AM//PC1可判断A，由QN与A1M不平行可判断B，由题可知∠AC1D即为直线AC1与平面DCC1D1的夹角，且tan∠AC1D=22可判断C，由面面垂直的判定定理可判断D.
【详解】连接PC1，由正方体的性质可得AP//BC,AP=12BC,MC1//BC,MC1=12BC，
所以AP//MC1,AP=MC1，
所以四边形AMC1P为平行四边形，AM//PC1，所以AM与PN不平行，故A错误；
若平面AA1M//平面PQN，
因为平面AA1M∩平面A1B1C1D1=A1M，平面PQN∩平面A1B1C1D1=QN，
则QN//A1M，由题可知QN与A1M不平行，故B错误；
由题可知PQ//DD1，PQ⊄平面DCC1D1，DD1⊂平面DCC1D1，
进而可得PQ//平面DCC1D1，同理QM//平面DCC1D1，
而PQ∩QM=Q，所以平面PMQ//平面DCC1D1，
故直线AC1与平面PMQ的夹角和直线AC1与平面DCC1D1的夹角相等，
由正方体的性质可知，∠AC1D即为直线AC1与平面DCC1D1的夹角，且tan∠AC1D=22，故C错误；
由题可知QM⊥平面CMC1，QM⊂平面PMQ，所以平面PMQ⊥平面CMC1，故D正确.
故选：D.
9．C
【分析】根据已知条件可得y=fx在−1,1上单调递增，a=f−3 =−f3=−f−1=f1，c=f2=f0=0，从而可根据函数的单调性比较大小
【详解】由函数fx的图象关于直线x=1对称可得f3=f−1，结合奇函数的性质可知
a=f−3 =−f3=−f−1=f1，c=f2=f0=0.
由奇函数的性质结合y=fx在0,1上单调递增可得y=fx在−1,1上单调递增，
所以f−12
10．B
【分析】连接PF2，计算出点F2到直线y=bax的距离d，分析可得PQ+PF1≥d+2a，可得出b=2a，进而可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示，点F2c,0到直线y=bax的距离为d=bca1+ba2=b，
连接PF2，由双曲线的定义可得PF1−PF2=2a，
所以，PQ+PF1=PQ+PF2+2a≥d+2a=4a，
当且仅当P、Q、F2三点共线时，等号成立，故b+2a=4a，可得b=2a，
所以，c=a2+b2=5a，因此，该双曲线的离心率为e=ca=5.
故选：B.
11．C
【分析】本题利用空间向量处理线面夹角问题，sinθ=csPC,n．
【详解】如图建立空间直角坐标系，P0,0,2，C2,2,0，A0,0,0，E2,−1,0则有：PC=−2,−2,2，AE=2,−1,0，AP=0,0,2
设平面PAE的法向量n=x,y,z，则有2x−y=02z=0,令x=1,则y=2,z=0，即n=1,2,0
∴csPC,n=PC⋅nPCn=−155，即直线PC与平面PAE所成角的正弦值为155．
故选：C．
12．D
【分析】根据题意转化为方程xex=ax+12恰有2个不同的实数根，即直线y=ax+12与函数g(x)=xex的图象恰有2个不同的交点，用导数法画出其图象，利用数形结合法求解.
【详解】由题意知方程xex=ax+12恰有2个不同的实数根．
设g(x)=xex，则直线y=ax+12与函数g(x)的图象恰有2个不同的交点，
因为g′(x)=1−xex，当x<1时，g′(x)>0，当x>1时，g′(x)<0，
∴g(x)在区间(−∞,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，
∵g(x)max=g(1)=1e,∵g(0)=0，
当x→−∞时，g(x)→−∞，当x→+∞时，g(x)→0，当x>0时，g(x)>0，
∴可以作出g(x)的大致图象，如图所示，
易知直线y=ax+12过定点−12,0，当直线y=ax+12与函数g(x)的图象相切时，设切点为x0,x0ex0，
则a=1−x0ex0=x0ex0x0+12，解得x0=12或x0=−1，
∴当直线y=ax+12与函数g(x)的图象相切时，a=12e或a=2e，
数形结合可知，实数a的取值范围为0,12e∪(2e,+∞).
故选：D．
【点睛】思路点睛：函数fx恰有两个不同的零点，转化为方程xex=ax+12恰有2个不同的实数根，即直线y=ax+12与函数g(x)=xex的图象恰有2个不同的交点，利用导数判断函数g(x)=xex的单调性，极值，数形结合求解.
13．−13
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出a⋅b，再利用夹角公式计算即得.
【详解】由|a−3b|=−63a⋅b，得a⋅b≤0，
由|a−3b|=−63a⋅b两边平方得a2−6a⋅b+9b2=108(a⋅b)2，而a,b为单位向量，
因此108(a⋅b)2+6a⋅b−10=0，即(3a⋅b+1)⋅(18a⋅b−5)=0，则a⋅b=−13，
所以向量a,b夹角的余弦值为a⋅b|a||b|=−13.
故答案为：−13
14．27
【分析】由三角形面积公式可得ac=4，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由csC=12,C∈0,π，可得sinC=32，
又S△ABC=12absinC=12ab×32=23，
所以ab=8，又c=2，
∴c2=a2+b2−2abcsC=a+b2−3ab，
∴4=a+b2−24，解得a+b=27.
故答案为：27.
15．x28+y22=1
【分析】本题考查弦长公式的使用，AB=1+k2x1+x22−4x1x2．
【详解】∵a=2b，则c=3b, ∴椭圆T：x24b2+y2b2=1，左焦点F−3b,0
设直线：y=x+3b，Ax1,y1，Bx2,y2
联立方程：y=x+3bx24b2+y2b2=1消去y得：5x2＋83bx+8b2=0
∴x1+x2=−835b,x1x2=8b25
AB=2−835b2−32b25=825可得：b2=2
∴椭圆T：x28+y22=1
故答案为：x28+y22=1．
16．3
【分析】由图求出函数f(x)，由f(x)+fx−π6>32得cs2x+π6>12，再解不等式可得答案.
【详解】根据题意，本题可只考虑ω>0,0<φ<2π的情况，
由题图知函数f(x)的图象经过点0,12和7π12,0，
则sinφ=12,sin7π12ω+φ=0，
由五点作图法可知φ=5π6,7π12ω+φ=2π，则ω=2，所以f(x)=sin2x+5π6，
则fx−π6=sin2x−π6+5π6=sin2x+π2=cs2x，
所以f(x)+fx−π6=sin2x+5π6+cs2x =−32sin2x+32cs2x=3cs2x+π6，
因为f(x)+fx−π6>32，所以cs2x+π6>12，
令−π3+2kπ<2x+π6<π3+2kπ,k∈Z，得−π4+kπ
故答案为：3.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由图象求出f(x)和正确解出cs2x+π6>12.
17．(1)证明见解析，an=2n−1+n
(2)Tn=n−1×2n+1
【分析】（1）由递推公式可得an−n=2an−1−n−1，即可得到an−n是以1为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式求出an的通项公式；
（2）由（1）可得bn=n×2n−1，再利用错位相减法求和即可；
【详解】（1）解：因为a1=2，an−2an−1=2−nn∈N*，
所以an=2an−1+2−n，即an−n=2an−1−n−1
又a1−1=2−1=1，所以an−n是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以an−n=1×2n−1，所以an=2n−1+n
（2）解：由（1）可得bn=an−n⋅n=n×2n−1，
所以Tn=1×20+2×21+3×22+⋯+n×2n−1①，
所以2Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n②，
①−②得−Tn=1+1×21+1×22+1×23+⋯+1×2n−1−n×2n
即−Tn=1−2n1−2−n×2n，所以Tn=n−1×2n+1；
18．(1)证明见解析；
(2)2.
【分析】（1）以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明及面面垂直的判定推理作答.
（2）利用（1）中坐标系，借助二项角的向量求法计算作答.
【详解】（1）在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，而∠ABC=90°，即AB⊥AC，
以点B为坐标原点，向量BC,BA,BB1的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
设BB1=h，依题意，B(0,0,0),D(1,1,0),A(0,2,0),A1(0,2,h)，则BD=(1,1,0),AD=(1,−1,0)，AA1=(0,0,h)，
显然有BD⋅AD=1×1+1×(−1)=0，BD⋅AA1=0，于是得BD⊥AD,BD⊥AA1，
而AD∩AA1=A，AD,AA1⊂平面ADD1A1，因此BD⊥平面ADD1A1，又BD⊂平面A1BD，
所以平面A1BD⊥平面ADD1A1.
（2）由（1）知，平面AA1B的一个法向量为m=(1,0,0)，BA1=(0,2,h)，
设平面DA1B的一个法向量n=(x,y,z)，则n⋅BD=x+y=0n⋅BA1=2y+hz=0，令z=2，得n=(h,−h,2)，
因二面角D−A1B−A的大小为60°，则cs60∘=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=h2h2+4=12，解得h=2，
所以侧棱AA1的长为2.
19．(1)分布列答案见解析，数学期望：112
(2)79192
【分析】（1）先写出甲的得分的所有可能取值，分别求得其概率，列出分布列，即可求得期望.
（2）写出甲获胜的累计得分的所有可能取值，分别求得其概率，即可得甲获胜的概率
【详解】（1）1次猜灯谜游戏中，甲的得分记为ξ，则ξ的所有可能取值为1，0，−1.
Pξ=1=34×13=14，Pξ=0=34×23+14×13=712，Pξ=−1=14×23=16.
ξ的分布列为
ξ的数学期望Eξ=1×14+0×712+−1×16=112.
（2）设3次猜灯谜游戏后甲获胜的累计得分为X，
则X=3表示甲获胜3次，PX=3=C33×143=164，
X=2表示甲获胜2次且平局1次，PX=2=C32142×712=764，
X=1表示甲获胜2次且失败1次或甲获胜1次且平局2次，PX=1=C32142×16
+C31×14×7122=55192，
所以PX>0=PX=3+PX=2+PX=1=164+764+55192=79192，
所以3次猜灯谜游戏后甲获胜的概率为79192.
20．(1)y2=4x
(2)−1,0
【分析】（1）由F与圆C上点的距离d≤FC+r=FC+2，根据条件可得答案.
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2,直线l的方程为：x=my+1，与抛物线方程联立得出韦达定理，再根据斜率公式得出k1k2，结合直线方程和韦达定理将k1k2化为关于m的表达式，从而可得答案,
【详解】（1）抛物线E：y2=2pxp>0的焦点为Fp2,0，圆C：x+32+y2=4的圆心C−3,0
F与圆C上点的距离dmax=FC+r=FC+2
所以FC+2=6，即FC=p2+3=4，解得p=2
抛物线E的方程为：y2=4x
（2）抛物线E的准线方程为x=−1，F1,0，则M−1,0
由过焦点F的直线l与E相交于A，B两点，则直线l的斜率不为0.
设直线l的方程为：x=my+1，Ax1,y1,Bx2,y2
由x=my+1y2=4x，得y2−4my−4=0
则y1+y2=4m,y1⋅y2=−4
则k1k2=y1x1+1⋅y2x2+1=y1y2my1+2my2+2=y1y2m2y1y2+2my1+y2+4
=−4−4m2+8m2+4=−1m2+1
由0<1m2+1≤1，所以−1≤k1k2<0
21．(1)f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增
(2)(0,e)．
【分析】（1）求f′(x)，令g(x)=ex−x−1，讨论g′(x)与0的大小可得g(x)≥g(0)=0，从而求出f(x)的单调性；
（2）解法一：将题意转化为证明h(x)=xex−(x+lnx)−lna>0，求出h′(x)，得出h(x)的单调区间，从而求得函数的最大值，进而化恒成立问题为最值问题即可；
解法二：将题意转化为证明xex−lnxex−lna>0，设xex=t(x>0)，则h(t)=t−lnt−lna(t>0)，求出h′(t)，得出h(t)的单调区间，从而求得函数的最大值，进而化恒成立问题为最值问题即可；
解法三：将题意转化为证明ex+lnx−(x+lnx)>lna．设x+lnx=t，则h(t)=et−t(t∈R)，求出h′(t)，得出h(t)的单调区间，从而求得函数的最大值，进而化恒成立问题为最值问题即可；
【详解】（1）因为f(x)=xex−13x2−x−1，
所以f′(x)=ex−13x2−x−1+xex−23x−1=(x+1)ex−x−1，
设g(x)=ex−x−1，则g′(x)=ex−1，
当x∈(−∞,0)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，
当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(0)=0，
所以当x∈(−∞,−1)时f′(x)<0，当x∈(−1,+∞)时f′(x)≥0，当且仅当x=0时取等号，
所以f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增．
（2）解法一：
因为a>0，ax>0，所以x>0，所以f(x)>−13x3−x2ln(ax)(a>0)，
即xex−(x+lnx)−lna>0，
设h(x)=xex−(x+lnx)−lna>0，
则h′(x)=(x+1)ex−1+1x=(x+1)ex−1x(x>0)，
设m(x)=ex−1x(x>0)，易知m(x)在(0,+∞)上单调递增，且m12<0,m(1)>0，
所以存在x0∈12,1，使得mx0=0，
则ex0=1x0，所以x0ex0=1,lnx0+x0=0，
且当x∈0,x0时，m(x)<0,h′(x)<0,h(x)单调递减，当x∈x0,+∞时，m(x)>0,h′(x)>0,h(x)单调递增，
所以h(x)≥hx0=x0ex0−x0+lnx0−lna=1−lna，
所以1−lna>0，得0
解法二：
因为a>0，ax>0，所以x>0，
所以f(x)>−13x3−x2ln(ax)(a>0)，即xex−(x+lnx)−lna>0，
即xex−lnxex−lna>0．
设xex=t(x>0)，则t′=x+1ex>0恒成立，即t=xex在0,+∞上单调递增，
则t>0,t−lnt−lna>0，
设h(t)=t−lnt−lna(t>0)，
则h′(t)=1−1t=t−1t(t>0)，
所以当t∈(0,1)时，h′(t)<0,h(t)单调递减，当t∈(1,+∞)时，h′(t)>0,h(t)单调递增，
所以h(t)≥h(1)=1−lna．
所以1−lna>0，得0
解法三：
因为a>0,ax>0，所以x>0，
所以f(x)>−13x3−x2ln(ax)(a>0)，即xex−(x+lnx)>lna，即ex+lnx−(x+lnx)>lna．
设x+lnx=t，易得t=x+lnx在0,+∞上单调递增，且t∈R，
则et−t>lna，
设h(t)=et−t(t∈R)，则h′(t)=et−1(t∈R)，
所以当t∈(−∞,0)时，h′(t)<0,h(t)单调递减，
当t∈(0,+∞)时，h′(t)>0,h(t)单调递增，
所以h(t)≥h(0)=1，
所以1>lna，得0
【点睛】方法点睛：利用导数方法证明不等式fx>gx在区间D上恒成立的基本方法是构造函数hx=fx−gx，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数hx>0，其中一个重要的技巧就是找到函数hx在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．
22．(1)曲线C1表示以原点O为圆心，1为半径的圆，曲线C2表示经过点(1,0)，且斜率为33的直线．
(2)12,32或(−1,0)
【分析】（1）将曲线C1和C2的方程化成标准方程形式，即可得出它们的曲线类型；
（2）设点P(csα,sinα)，利用点到直线距离和三角形面积求得α=π3+2kπ或α=π+2kπ,k∈Z，即可得出点P的直角坐标.
【详解】（1）（1）将曲线C1的参数方程为x=csαy=sinα（α为参数）中的参数消去，
得C1的普通方程为x2+y2=1，
所以曲线C1表示以原点O为圆心，1为半径的圆
将x=ρcsθ,y=ρsinθ代入曲线C2的极坐标方程ρcsθ−3ρsinθ=1，
得曲线C2的直角坐标方程为x−3y=1，
所以曲线C2表示经过点(1,0)，且斜率为33的直线．
（2）由（1）得圆心O到直线C2的距离为12，所以|AB|=21−14=3．
设点P(csα,sinα)，则点P到直线C2的距离d=|csα−3sinα−1|2=2csα+π3−12．
因为△PAB的面积为32，
所以12×3×2csα+π3−12=32．
所以2csα+π3−1=2，则csα+π3=−12或csα+π3=32(舍去)，
所以α+π3=2π3+2kπ，或α+π3=4π3+2kπ,k∈Z，
所以α=π3+2kπ或α=π+2kπ,k∈Z，
点P的直角坐标为12,32或(−1,0)
23．(1)答案见解析
(2)(−∞,−2]∪43,+∞．
【分析】（1）确定函数y=f(x)和y=g(x)，画出函数图像即可.
（2）确定fx和gx与x轴的交点，确定−2≤−1a≤43，考虑a≥12和a≤−34，根据函数值的大小关系结合图像得到答案.
【详解】（1）fx=x+1=x+1,x≥−1−x−1,x<−1，
gx=f2x−2−fx−4=2x−1−x−3=x+2, x≥33x−4,12≤x≤3−x−2, x<12，
画出函数y=f(x)和函数y=g(x)的图象如图所示，
（2）函数y=f(ax)=|ax+1|的图象与x轴的交点为点−1a,0，
函数y=g(x)的图象与x轴的交点为点(−2,0),43,0．
若不等式f(ax)≥g(x)恒成立，则有−2≤−1a≤43，即a≥12或a≤−34．
①当a≥12时，需a≥1，且点(3,5)不在直线y=ax+1的左上方，
所以3a+1≥5，解得a≥43；
②当a≤−34时，需a≥1，且点(3,5)不在直线y=−ax−1的左上方，
所以−3a−1≥5，所以a≤−2；
综上所述：实数a的取值范围为(−∞,−2]∪43,+∞．
ξ
1
0
−1
P
14
712
16
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