陕西省咸阳市三原南郊中学2023届高三第二次模拟考试数学（理科）试题

这是一份陕西省咸阳市三原南郊中学2023届高三第二次模拟考试数学（理科）试题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在复平面内，复数z对应的点为1,−1，则z1+i=（ ）
A．iB．－iC．2iD．－2i
2．全集为R，集合A=x12x≤1，B=x|x2−6x+8≤0，则A∩∁RB=（ ）
A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}
C．x0≤x<2或x>4D．x0≤x<2或x≥4
3．“−3A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数fx=x3+2sin2x2x的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级dx（单位：dB）与声强x（单位：W/m2）满足dx=10lgx10−12.若人交谈时的声强级约为50dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为（ ）
A．130dBB．140dBC．150dBD．160dB
6．安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）种
A．120B．180C．240D．360
7．已知f(x)=sinx+acsx的一个极值点为x0，若tanx0=3，则实数a的值为（ ）
A．−3B．3C．−13D．13
8．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为（ ）
A．20πB．16πC．12πD．8π
9．在等比数列an中，公比q>0,Sn是数列an的前n项和，若a1=2,a2+a3=12，则下列结论正确的是（ ）
A．q=3B．数列Sn+2是等比数列
C．S5=64D．数列lgan是公差为2的等差数列
10．ω>0，函数f(x)=sinωx2sinπ+ωx2在−π4,π3上单调递增，则ω的范围是（ ）
A．0,23B．0,32C．(0,2]D．[2,+∞)
11．已知函数f(x)=−lnx+ax2+bx的一个极值点为1，若a,b>0，则2a+1b的最小值为（ ）
A．10B．9C．8D．42
12．已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点，过F1的直线与双曲线交左支交于A,B两点，且AF1=2BF1，以O为圆心，OF2为半径的圆经过点B，则C的离心率为（ ）
A．2B．173C．5D．1+52
二、填空题
13．已知向量m=x,1，n=−3,2，若2m+n=1,4，则m= ．
14．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3，则△ABC的面积为 .
15．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，PF交C于M,N两点，且满足MP=2FP，则NF= .
16．定义在0,+∞上的函数fx满足：对∀x1、x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有x2fx1−x1fx2x1−x2>0成立，且f2=4，则不等式fxx>2的解集为 ．
三、解答题
17．已知an为等差数列，bn为公比大于0的等比数列，且b1=1，b2+b3=6，a3=3，a4+2a6=b5.
(1)求bn的通项公式；
(2)记cn=2an−1⋅bn+1，求数列cn的前n项和Sn.
18．如图，平面ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，AF∩DE=G,BF∩CE=H,∠ABE=60∘,AB=AD=2．
(1)求证：GH//平面ABCD；
(2)求平面ABF与平面CDE的夹角的余弦值．
19．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日至22日在北京人民大会堂顺利召开．某部门组织相关单位采取多种形式学习宣传和贯彻党的二十大精神．其中“学习二十大”进行竞赛．甲、乙两单位在联合开展主题学习及知识竞赛活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记－1分，设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为23，乙单位全部答对的概率为35，甲、乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响．
(1)经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的分布列和期望；
(2)若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率．
20．若椭圆E:x2a2+y2b2=1,(a>b>0)过抛物线x2=4y的焦点，且与双曲线x2−y2=1有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线l:y=x+m与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值以及此时直线l的方程．
21．已知函数fx=ex−ax2．
(1)求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)若函数fx在0,+∞上只有一个零点，求实数a的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2+32ty=12t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=62+sin2θ．
(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点M(2,0)，若直线l与曲线C交于A，B两点，求1MA+1MB的值．
23．已知a>0，b>0，且a+b=2．
(1)证明：252≤a+22+b+12<17；
(2)若不等式3x+m+1+3x−m−1≥a+3+b+3对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】由题可得z=1−i，再由复数除法法则即可求解.
【详解】因为复数z对应点的坐标为1,−1，所以z=1−i，
所以z1+i=1−i1+i=1−i21−i1+i=−2i2=−i.
故选：B.
2．C
【分析】解不等式得到A=xx≥0，B=x|2≤x≤4，结合补集和交集的概念求出答案.
【详解】由12x≤1=120，故x≥0，A=xx≥0，
又B=x|2≤x≤4，
故∁RB=xx<2或x>4，A∩∁RB= x0≤x<2或x>4.
故选：C
3．A
【分析】根据椭圆的定义得到不等式组m+3>03−m>0m+3≠3−m，解出其解集，再根据两集合的关系判定为必要不充分条件.
【详解】方程x2m+3+y23−m=1表示椭圆，则m+3>03−m>0m+3≠3−m所以−3所以−3故选：A.
4．A
【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，即可得解．
【详解】∵fx=x3+2sin2x2x ，x∈R ，
f(−x)=(−x)3+2sin(−2x)2|−x|=−x3+2sin2x2|x|=−f(x) ，
则f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，排除选项B、D；
对 f(1)=1+2sin22>0 故可排除选项C．
故选：A．
5．B
【分析】设人交谈时的声强为x1，从而得到x1=10−7，求出火箭发射时的声强为109×10−7=102，代入解析式求出答案.
【详解】设人交谈时的声强为x1，则火箭发射时的声强为109x1，
则50=10lgx110−12，解得：x1=10−7，
则火箭发射时的声强为109×10−7=102，将其代入dx=10lgx10−12中，得：
d102=10lg10210−12=140 dB，故火箭发射时的声强级约为140dB.
故选：B
6．C
【分析】先将5项工作分成4组，再将4组工作分给4名志愿者，由分步乘法计数原理即可求解.
【详解】先将5项工作分成4组，其中1组中有2项工作，其余3组中各有1项工作，不同的分法有C52=10种，
再将4组工作分给4名志愿者，每人1组，不同的分法有A44=4×3×2×1=24种，
由分步乘法计数原理可得：不同的安排方式共有10×24=240种.
故选:C.
7．D
【分析】先求导,令导数为零,即可求参.
【详解】已知f(x)=sinx+acsx,则f′(x)=csx−asinx,
因为极值点为x0,可得f′(x0)=csx0−asinx0=0,
即得csx0=asinx0,tanx0=1a,则3=1a,则a=13
故选:D.
8．A
【分析】设截面圆半径为r，球的半径为R，根据截面圆的周长求得r=1，再利用R2=r2+22求解.
【详解】设截面圆半径为r，球的半径为R，
则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2，
根据截面圆的周长可得2π=2πr，则r=1，
由题意知R2=r2+22，即R2=12+22=5，
∴该球的表面积为4πR2=20π．
故选：A
9．B
【分析】根据已知条件及等比数列的定义，利用已等比数列的通项公式及前n项和公式，结合等差数列的定义及对数的运算即可求解.
【详解】由a1=2,a2+a3=12，得a1q+q2=2q+q2=12，即q2+q−6=q+3q−2=0， 解得q=2或q=−3，
由q>0，得q=2，故A错误；
所以等比数列an的通项公式为an=2×2n−1=2n,
所以等比数列an的前n项和为Sn=a11−qn1−q=2n+1−2,即Sn+2=2n+1,
所以Sn+1+2Sn+2=2n+22n+1=2,
所以数列Sn+2是公比为2等比数列，故B正确；
因为Sn=2n+1−2,所以S5=25+1−2=26−2=62,故C错误；
因为an=2n,所以lgan+1−lgan=lg2n+1−lg2n=lg2n+12n=lg2，
所以数列lgan是公差为lg2的等差数列，故D错误.
故选：B.
10．B
【分析】根据诱导公式和二倍角的正弦公式可得f(x)=12sinωx，再求出f(x)的增区间−π2ω+2kπω,π2ω+2kπω，k∈Z，，根据−π4,π3⊆−π2ω,π2ω列式可解得结果.
【详解】由题得f(x)=sin12ωxcs12ωx=12sinωx，
由−π2+2kπ≤ωx≤π2+2kπ，k∈Z，
得−π2ω+2kπω≤x≤π2ω+2kπω，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为−π2ω+2kπω,π2ω+2kπω，k∈Z，
因为函数f(x)=12sinωx在−π4,π3上单调递增，
所以−π4,π3⊆−π2ω,π2ω，
所以π2ω≥π3−π2ω≤−π4，又ω＞0，所以0<ω≤32.
故选：B.
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，诱导公式，考查了正弦函数的单调区间，属于中档题.
11．B
【分析】由题意可得f'1=−1+2a+b=0，则2a+b=1，所以2a+1b=2a+1b(2a+b)，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】对f(x)=−lnx+ax2+bx求导得f′(x)=−1x+2ax+b，
因为函数f(x)的一个极值点为1，
所以f′1=−1+2a+b=0，
所以2a+b=1，
因为a,b>0，
所以2a+1b=2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab ≥5+22ba⋅2ab=9，
当且仅当a=b=13时等号成立，
所以2a+1b的最小值为9.
故选：B.
12．B
【分析】由O为圆心，OF1为半径OF1为径的圆经过点B，得∠F1BF2=90∘，结合双曲线的定义及勾股定理可得解．
【详解】解：由题意得∠F1BF2=90∘，
设BF1=m，则BF2=m+2a，AF1=2m，AF2=2m+2a，AB=3m，
在Rt△ABF2中，
由勾股定理得(2a+m)2+(3m)2=(2m+2a)2，解得m=23a，
则BF1=2a3，BF2=8a3，
在Rt△F1BF2中，
由勾股定理得23a2+83a2=(2c)2，化简得c2=179a2，
所以C的离心率e=ca=173，
故选：B
13．5
【分析】利用向量的坐标运算表达出2m+n的坐标，从而可得m=2,1，再求向量的模即可得出答案.
【详解】∵ 向量m=x,1，n=−3,2，
∴ 2m+n=2x,1+−3,2=2x−3,4，
又∵ 2m+n=1,4，
∴ 2x−3=1,x=2 ，∴ m=2,1，m= 22+12=5，
故答案为：5.
14．63
【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用a,c的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
所以(2c)2+c2−2×2c×c×12=62，
即c2=12
解得c=23,c=−23（舍去）
所以a=2c=43，
SΔABC=12acsinB=12×43×23×32=63.
【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．
15．43
【分析】依次求得M,N的坐标，根据抛物线的定义求得NF.
【详解】抛物线C:y2=4x，则p2=1，准线方程为x=−1，
由于MP=2FP，所以F是MP的中点，
设P−1,t，而F1,0，所以M3,−t，
将M点坐标代入抛物线方程得t2=12，不妨设t=23，则M3,−23.
设Ny024,y0，由于M,N,F三点共线，
所以y0−0y024−1=−23−03−1，整理得3y02+4y0−43=0，
解得y0=23，（y0=−23舍去），所以N13,23，
所以NF=13+1=43.
故答案为：43
16．2,+∞
【分析】构造函数gx=fxx，由单调性的定义可判断得gx在0,+∞上单调递增，再将题设不等式转化为gx>g2，利用gx的单调性即可求解.
【详解】令gx=fxx，
因为对∀x1、x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有x2fx1−x1fx2x1−x2>0成立，
不妨设0所以gx在0,+∞上单调递增，
又因为f2=4，所以g2=f22=2，故fxx>2可化为gx>g2，
所以由gx的单调性可得x>2，即不等式fxx>2的解集为2,+∞.
故答案为：2,+∞
17．(1)bn=2n−1
(2)Sn=2n−3⋅2n+1+6
【分析】(1)由题设求得等差数列an的公差d与等比数列bn的公比q，即可求得an和bn.
(2)先由(1)求得cn，再利用错位相减法求得其前n项和即可.
【详解】（1）设等差数列an的公差为d，
等比数列bn的公比为q(q>0)，由题设可得：
b1q+q2=6a3+d+23+3d=b1q4，即
q+q2=63+d+23+3d=q4，解得q=2d=1，
所以an=a3+n−3d=n，bn=b1qn−1=2n−1.
（2）由(1)可得：cn=2n−12n，
∴Sn=1×21+3×22+5×23+⋯+2n−1⋅2n，
又2Sn=1×22+3×23+⋯+2n−3⋅2n+2n−1⋅2n+1，
两式相减得：−Sn=2+222+23+⋯+2n−2n−1⋅2n+1
=2+2×221−2n−11−2−2n−1⋅2n+1，
整理得：Sn=2n−3⋅2n+1+6.
18．(1)证明见解析
(2)1319
【分析】（1）由线面平行的判定定理可得AB//平面CDE，再由线面平行的性质定理可得AB//GH，再由线面平行的判定定理可得答案；
（2）以点E为原点建立空间直角坐标系求出平面CDE、平面ABF的一个法向量利用向量夹角公式可得答案．
【详解】（1）由题意知，CD//AB,CD⊂平面CDE,AB⊄平面CDE，所以AB//平面CDE，
因为AF∩DE=G,BF∩CE=H，所以平面CDE∩平面ABF=GH，
因为AB⊂平面ABF，所以AB//GH，又AB⊂平面ABCD，GH⊄平面ABCD，
所以GH//平面ABCD；
（2）以点E为原点建立如图所示空间直角坐标系，
在Rt△ABE中，由∠ABE=60∘,AB=AD=2，得AE=3,BE=1，
所以E(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0),C(0,1,2),D(3,0,2),F(0,0,2)，
所以EC=(0,1,2),ED=(3,0,2),AF=(−3,0,2),BF=(0,−1,2)，
设平面CDE的一个法向量为m=x1,y1,z1，则
由m⋅EC=0m⋅ED=0，得y1+2z1=03x1+2z1=0，令z1=3，得m=(−2,−23,3)，
设平面ABF的一个法向量为n=x2,y2,z2，则
由n⋅AF=0n⋅BF=0，得−3x2+2z2=0−y2+2z2=0，令z2=3，得n=(2,23,3)，
所以csm,n=|m⋅n||m|n∣=|−4−12+3|19×19=1319，
所以平面ABF与平面CDE的夹角的余弦值1319．
19．(1)分布列见解析；期望为115
(2)103375
【分析】(1)根据题意，X的取值可能为－1，0，1，分别写出每一个概率，列表格，用EX=x1p1+x2p2+x3p3可计算出数学期望.(2)第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的3轮计分有四种情况（不按先后顺序）：－1，－1，－1；－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0，分别计算出概率相加.
【详解】（1）由题意X的取值可能为－1，0，1，则
PX=−1=1−23×35=15，
PX=0=1−23×1−35+23×35=815，
PX=1=23×1−35=415
那么X的分布列为：
EX=−1×15+0×815+1×415=115（2）第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的3轮计分有四种情况（不按先后顺序）；－1，－1，－1;－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0．
所以P=153+C32152×815+C32152×415+C328152×15=103375．
20．(1)x23+y2=1
(2)△ABO面积的最大值为32，此时直线l的方程为y=x±2
【分析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的a,b,c的关系求解；
(2)利用韦达定理求出弦长AB，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解.
【详解】（1）抛物线x2=4y的焦点为(0,1)，所以b=1，
因为双曲线x2−y2=1的焦点坐标为−2,0,2,0，
所以a2−b2=2则a2=3，
所以椭圆E的方程为x23+y2=1.
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，
联立x23+y2=1y=x+m可得4x2+6mx+3m2−3=0，
因为直线l:y=x+m与椭圆E交于A、B两点，
所以Δ=36m2−16(3m2−3)>0解得m2<4，
由韦达定理可得x1+x2=−3m2,x1x2=3m2−34，
由弦长公式可得AB=2⋅−3m22−4⋅3m2−34=2212−3m2，
点O到直线l的距离为d=m2，
所以S△OAB=12⋅d⋅|AB|=12×22×|m|×22×12−3m2
=14×−3(m2−2)2+12≤32,
当且仅当m2=2即m=±2时取得等号，
所以△ABC面积的最大值为32，此时直线l的方程为y=x±2.
21．(1)x−y+1=0
(2)a=e24．
【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；
（2）分a≤0和a>0两种情况讨论，根据题意结合导数与单调性的关系分析求解.
【详解】（1）∵fx=ex−ax2，∴f′x=ex−2ax，
则f0=1，f′0=1．即切点坐标为0,1，切线斜率k=1，
∴曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y−1=x−0，即x−y+1=0．
（2）∵fx=ex−ax2，f′x=ex−2ax，则有：
当a≤0，则f′x=ex−2ax>0在x∈0,+∞上恒成立，
故函数fx在0,+∞上单调递增，则fx>f0=1>0，
即fx在0,+∞无零点，不合题意，舍去；
当a>0，令φx=f′x，则φ′x=ex−2a在0,+∞上单调递增，则φ′x>φ′0=1−2a，
令gx=ex−x−1，则g′x=ex−1>0在x∈0,+∞上恒成立，
则gx在0,+∞上单调递增，则gx>g0=0，
故ex>x+1在x∈0,+∞上恒成立，
∴φ′a+ln2=2ea−a>2a+1−a=2>0，
（ⅰ）当1−2a≥0，即0φ0=1>0，
故函数fx在0,+∞上单调递增，则fx>f0=1>0，
即fx在0,+∞无零点，不合题意，舍去；
（ⅱ）当1−2a<0，即a>12时，则函数φx在0,+∞存在唯一的零点x0，
可得：当0x0时，φ′x>0，
故函数φx在0,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增，则φx≥φx0=ex0−2ax0，
∵φ′x0=ex0−2a=0，即2a=ex0>x0，
∴φx0=ex0−2ax0=ex01−x0，
①当1−x0≥0，即0故函数fx在0,+∞上单调递增，则fx>f0=1>0，
即函数fx在0,+∞无零点，不合题意，舍去；
②当1−x0<0，即x0>1,a>e2时，
结合①可得：若a=1时，fx=ex−x2>0在0,+∞上恒成立，
故φx0<0,φ0=1>0,φ2a=e2a−2a2>0，
故φx在0,+∞内有两个零点，不妨设为x1,x20可得：当0x2时，φx>0，当x1故函数fx在0,x1,x2,+∞上单调递增，在x1,x2上单调递减，
若函数fx在0,+∞上只有一个零点，且f0=1>0，
∴fx2=ex2−ax22=0，
又∵φx2=ex2−2ax2=0，即a=ex22x2，
∴ex2−ex22x2×x22=0，解得x2=2，
故a=e24；
综上所述：a=e24.
【点睛】思路点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
(2)求导数，得单调区间和极值点；
(3)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
22．(1)直线l：x−3y−2=0， C：x23+y22=1；
(2)23
【分析】(1)直接将参数方程中的t消去即可得出直线的普通方程，结合公式ρ2=x2+y2，ρsinθ=y计算即可得出曲线的直角坐标方程；
(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程可得关于t的一元二次方程，结合t的几何意义化简计算即可求解.
【详解】（1）将直线l的参数方程x=2+32ty=12t中的参数t消去，得x−3y−2=0；
ρ2=62+sin2θ即为2ρ2+(ρsinθ)2=6，
把ρ2=x2+y2，ρsinθ=y代入，得2x2+y2+y2=6，
即曲线C的直角坐标方程为x23+y22=1．
所以直线l：x−3y−2=0，C：x23+y22=1；
（2）易知点M2,0在直线l上，
把直线l的参数方程x=2+32ty=12t（t为参数），
代入x23+y22=1，整理得9t2+163t+8=0．
Δ=(163)2−4×9×8>0，
设直线l与曲线C的交点A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1+t2=−1639，t1t2=89，得t1,t2同号，
所以1MA+1MB=1t1+1t2=t1+t2t1t2=t1+t2t1t2=23．
23．(1)证明见详解
(2)−∞,−3∪1,+∞
【分析】（1）根据题意可得b=2−a0【详解】（1）∵a+b=2，则b=2−a>0，可得0∴a+22+b+12=a+22+3−a2=2a−122+252，
又∵y=2a−122+252开口向上，对称轴为a=12，
∴当a=12时，2a−122+252=252，当a=2时，2a−122+252=17，
故252≤a+22+b+12<17.
（2）∵a+3+b+32≤2a+32+b+32=2a+b+6=16，当且仅当a+3=b+3，即a=b=1时等号成立；
∴a+3+b+3≤4，
又∵3x+m+1+3x−m−1≥3x+m+1−3x−m−1=2m+1，当且仅当3x+m+13x−m−1≤0时等号成立，
∴2m+1≥4，解得m≥1或m≤−3，
故m的取值范围为−∞,−3∪1,+∞.
X
－1
0
1
P
15
815
415