专题8.1 幂的运算【八大题型】-2022-2023学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22279" 【题型1 幂的基本运算】 PAGEREF _Tc22279 \h 1
\l "_Tc15989" 【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】 PAGEREF _Tc15989 \h 2
\l "_Tc25941" 【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】 PAGEREF _Tc25941 \h 4
\l "_Tc21033" 【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】 PAGEREF _Tc21033 \h 5
\l "_Tc15490" 【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】 PAGEREF _Tc15490 \h 6
\l "_Tc11111" 【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】 PAGEREF _Tc11111 \h 8
\l "_Tc21401" 【题型7 幂的运算法则（混合运算）】 PAGEREF _Tc21401 \h 10
\l "_Tc16467" 【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】 PAGEREF _Tc16467 \h 13
【知识点1 幂的运算】
①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
【题型1 幂的基本运算】
【例1】（2022•谷城县二模）下列各选项中计算正确的是（ ）
A．m2n﹣n＝n2B．2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6
C．（﹣m）2m4＝m8D．x6yx2=x3y
【分析】根据实数的运算法则计算各个选项得出结论即可．
【解答】解：A．m2n﹣n＝n（m2﹣1），故A选项不符合题意；
B.2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6，故B选项符合题意；
C．（﹣m）2m4＝m6，故C选项不符合题意；
D.x6yx2=x4y，故D选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】（2022秋•南陵县期末）(512)2005×(225)2004=（ ）
A．1B．512C．225D．(512)2003
【分析】根据xa•ya＝（xy）a，进行运算即可．
【解答】解：原式＝（512×125）2004×512
=512．
故选：B．
【变式1-2】（2022秋•孝南区月考）计算x5m+3n+1÷（xn）2•（﹣xm）2的结果是（ ）
A．﹣x7m+n+1B．x7m+n+1C．x7m﹣n+1D．x3m+n+1
【分析】利用同底数幂的乘法运算、幂的乘方以及同底数幂的除法的知识求解即可求得答案．
【解答】解：x5m+3n+1÷（xn）2•（﹣xm）2＝x5m+3n+1÷x2n•x2m＝x5m+3n+1﹣2n+2m＝x7m+n+1．
故选：B．
【变式1-3】（2022秋•温江区校级期末）下列等式中正确的个数是（ ）
①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】①和④利用合并同类项来做；②③都是利用同底数幂的乘法运算法则做（注意一个负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数）．
【解答】解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正确；
②∵（﹣a）6•（﹣a）3•a＝﹣a10 故②的答案不正确；
③∵﹣a4•（﹣a）5＝a9，故③的答案不正确；
④25+25＝2×25＝26．故④的答案正确；
所以正确的个数是1，
故选：B．
【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】
【例2】（2022春•宣城期末）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a＞c＞b
【分析】将a、b、c转化为同底数形式，即可比较大小．
【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；
b＝2741＝（33）41＝3123；
c＝961＝（32）61＝3122；
∴3124＞3123＞3122，
即a＞b＞c．
故选：A．
【变式2-1】（2022春•晋州市期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，根据上述材料，回答下列问题．
（1）比较大小：520 ＞ 420，961 ＜ 2741；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）比较233与322的大小；
（3）比较312×510与310×512的大小．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，”即可比较520，420的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个暴ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac”，即可比较961，2741的大小；
（2）据“对于同底数，不同指数的两个暴ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac”，即可比较233与322的大小；
（3）利用作商法，即可比较312×510与310×512的大小．
【解答】解：（1）∵5＞4，
∴520＞420，
∵961＝（32）61＝3122，2741＝（33）41＝3123，122＜123，
∴961＜2741，
故答案为：＞，＜；
（2））∵233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911，8＜9，
∴233＜322；
（3）∵312×510310×512=3252=925，
∴312×510＜310×512．
【变式2-2】（2022秋•滨城区月考）已知a＝3231，b＝1641，c＝821，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．a＜b＜cD．b＞a＞c
【分析】把a，b，c化成以2为底数的幂的形式，再进行大小比较即可．
【解答】解：∵a＝3231＝（25）31＝2155，b＝1641＝（24）41＝2164，c＝821＝（23）21＝263，
∴c＜a＜b．
故选：D．
【变式2-3】（2022春•泰兴市校级月考）若a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，试比较a、b、c、d的大小．（写出过程）
【分析】首先原式变形为a＝32111，b＝81111，c＝64111，d＝25111，根据指数相同，由底数的大小就可以确定数的大小．
【解答】解：∵a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，
∴a＝（25）111，b＝（34）111，c＝（43）111，d＝（52）111，
∴a＝32111，b＝81111，c＝64111，d＝25111．
∵81＞64＞32＞25，
∴81111＞64111＞32111＞25111，
∴b＞c＞a＞d．
【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】
【例3】（2022春•巨野县期中）已知：52n＝a，9n＝b，则154n＝ a2b2 ．
【分析】将15写成3×5，根据积的乘方得到154n＝（3×5）4n＝34n×54n，再根据幂的乘方变形即可得出答案．
【解答】解：∵9n＝b，
∴（32）n＝b，
∴32n＝b，
∴154n
＝（3×5）4n
＝34n×54n
＝（32n）2×（52n）2
＝b2a2
＝a2b2．
故答案为：a2b2．
【变式3-1】（2022秋•西青区期末）若2x＝a，16y＝b，则22x+4y的值为 a2b ．
【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方的逆运算可进行求解．
【解答】解：∵22x+4y＝22x•24y，
＝（2x）2•（24）y．
＝（2x）2•16y，
将2x＝a，16y＝b代入，
∴原式＝a2b，
故答案为：a2b．
【变式3-2】（2022春•萧山区期中）若xm＝5，xn=14，则x2m﹣n＝（ ）
A．52B．40C．254D．100
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵xm＝5，xn=14，
∴x2m﹣n＝（xm）2÷xn
＝25÷14
＝100．
故选：D．
【变式3-3】（2022春•高新区校级月考）已知32m＝a，27n＝b．求：
（1）34m的值；
（2）33n的值；
（3）34m﹣6n的值．
【分析】（1）34m＝（32m）2，然后代入计算即可；
（2）27n变形为底数为3的幂的形式即可；
（3）逆用同底数幂的除法公式进行计算即可．
【解答】解：（1）34m＝（32m）2＝a2．
（2）∵27n＝b，
∴33n＝b．
（3）34m﹣6n＝34m÷36n＝a2÷b2=a2b2．
【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】
【例4】（2022•铁岭模拟）若a+3b﹣2＝0，则3a•27b＝ 9 ．
【分析】根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算法则得出即可．
【解答】解：∵a+3b﹣2＝0，
∴a+3b＝2，
则3a•27b＝3a×33b＝3a+3b＝32＝9．
故答案为：9
【变式4-1】（2022秋•淇滨区校级月考）当3m+2n﹣3＝0时，则8m•4n＝ 8 ．
【分析】先变成同底数幂的乘法，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，最后代入求出即可．
【解答】解：∵3m+2n﹣3＝0，
∴3m+2n＝3，
∴8m•4n
＝（23）m×（22）n
＝23m×22n
＝23m+2n
＝23
＝8，
故答案为：8．
【变式4-2】（2022春•东台市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×(18)c的值是 4 ．
【分析】先将原式变形为同底数幂的形式，然后再依据同底数幂的除法和乘法法则计算即可．
【解答】解：原式＝2a÷22b×2﹣3c＝2a﹣2b﹣3c＝22＝4．
故答案为：4．
【变式4-3】（2022春•昌平区期末）若5x﹣2y﹣2＝0，则105x÷102y＝ 100 ．
【分析】根据移项，可得（5x﹣2y）的值，根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：移项，得
5x﹣2y＝2．
105x÷102y＝105x﹣2y＝102＝100，
故答案为：100．
【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】
【例5】（2022秋•西城区校级期中）若a5•（ay）3＝a17，则y＝ 4 ，若3×9m×27m＝311，则m的值为 2 ．
【分析】先利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则计算a5•（ay）3、3×9m×27m，再根据底数与指数分别相等时幂也相等得方程，求解即可．
【解答】解：∵a5•（ay）3＝a5×a3y＝a5+3y，
∴a5+3y＝a17．
∴5+3y＝17．
∴y＝4．
∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+5m，
∴31+5m＝311．
∴1+5m＝11．
∴m＝2．
故答案为：4；2．
【变式5-1】（2022春•建湖县期中）规定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝64，则x的值为 3 ．
【分析】把相应的值代入新定义的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可．
【解答】解：∵2*（x+1）＝64，
∴22×2x+1＝26，
则22+x+1＝26，
∴2+x+1＝6，
解得：x＝3．
故答案为：3．
【变式5-2】（2022秋•卫辉市期末）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，则n﹣m＝ 5 ．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而得出m，n的值即可．
【解答】解：∵2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，
∴2m＝22n﹣2，33n＝3m﹣1，
故m=2n−23n=m−1，
解得：m=−8n=−3，
故n﹣m＝5．
故答案为：5．
【变式5-3】（2022春•兴化市期中）若（2m）2•23n＝84，其中m、n都是自然数，则符合条件m、n的值有 3 组．
【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法进行计算，求出2m+3n＝12，再求出二元一次方程的正整数解即可．
【解答】解：（2m）2•23n＝84，
22m•23n＝（23）4，
22m+3n＝212，
2m+3n＝12，
m＝6−32n，
∵m，n都是自然数，
∴6−32n≥0，n≥0，
∴0≤n≤4，
∴整数n为0，1，2，3，4，
当n＝0时，m＝6，
当n＝1时，m=92，
当n＝2时，m＝3，
当n＝3时，m=32，
当n＝4时，m＝0，
即符合条件的m，n的值有3组，
故答案为：3．
【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】
【例6】（2022秋•崇川区校级期中）若a2m+3y=am+1x=1．
（1）请用含x的代数式表示y；
（2）如果x＝4，求此时y的值．
【分析】（1）由已知等式得出x＝am+1，y＝a2m+3，再将am＝x﹣1代入y＝a2m+3＝（am）2+3，整理即可得；
（2）将x＝4代入整理后的y关于x的代数式即可得．
【解答】解：（1）∵a2m+3y=am+1x=1，
∴x＝am+1，y＝a2m+3，
则am＝x﹣1，
∴y＝a2m+3
＝（am）2+3
＝（x﹣1）2+3
＝x2﹣2x+4，
即y＝x2﹣2x+4；
（2）当x＝4时，y＝16﹣2×4+4
＝16﹣8+4
＝12．
【变式6-1】（2022•高新区校级三模）已知m＝89，n＝98，试用含m，n的式子表示7272．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则把7272变形为（89）8×（98）9，再把m＝89，n＝98代入即可得出结果．
【解答】解：∵m＝89，n＝98，
∴7272
＝（8×9）72
＝872×972
＝（89）8×（98）9
＝m8n9．
【变式6-2】（2022•高新区校级三模）（1）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代数式表示y．
（2）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代数式表示y．
【分析】（1）根据幂的乘方以及完全平方公式解答即可；
（2）根据幂的乘方法则解答即可．
【解答】解：（1）∵x＝2m+1，
∴2m＝x﹣1
∴y＝3+4m＝3+（2m）2＝3+（x﹣1）2＝3+x2﹣2x+1＝x2﹣2x+4；
（2）∵x＝2m+1，
∴2m=x2，
y＝3+4m=3+(2m)2=3+(x2)2=3+x24=12+x24．
【变式6-3】（2022春•新泰市期末）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2x•23＝32，求x的值；
（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；
（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】解：（1）∵2x•23＝32，
∴2x+3＝25，
∴x+3＝5，
∴x＝2；
（2）∵2÷8x•16x＝25，
∴2÷23x•24x＝25，
∴21﹣3x+4x＝25，
∴1+x＝5，
∴x＝4；
（3）∵x＝5m﹣2，
∴5m＝x+2，
∵y＝3﹣25m，
∴y＝3﹣（5m）2，
∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．
【题型7 幂的运算法则（混合运算）】
【例7】（2022春•沭阳县校级月考）计算：
（1）（﹣a）2•a3
（2）（﹣8）2013•（18）2014
（3）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）
（ 4 ）（a2•a3）4．
【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可．
【解答】解：（1）原式＝a2•a3
＝a2+3
＝a5．
（2）原式＝[（﹣8）×18]2013•18
＝（﹣1）2013•18
=−18．
（3）原式＝x2n+1+x2n+1
＝2x2n+1．
（4）原式＝（a5）4
＝a20．
【变式7-1】（2022秋•道外区校级月考）计算：
（1）y3•y2•y
（2）（x3）4•x2
（3）（ a4•a2）3•（﹣a）5
（4）（﹣3a2）3﹣a•a5+（4a3）2．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法求出即可；
（2）先算乘方，再根据同底数幂的乘法求出即可；
（3）先算乘方，再算乘法即可；
（4）先算乘方和乘法，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）y3•y2•y＝y6；
（2）（x3）4•x2＝x12•x2＝x14；
（3）（ a4•a2）3•（﹣a）5
＝a12•a6•（﹣a5）
＝﹣a23；
（4）（﹣3a2）3﹣a•a5+（4a3）2
＝﹣27a6﹣a6+16a6
＝﹣12a6．
【变式7-2】（2022春•太仓市期中）用简便方法计算下列各题
（1）（45）2015×（﹣1.25）2016．
（2）（318）12×（825）11×（﹣2）3．
【分析】（1）将（﹣1.25）2016写成（−54）2015×(−54)，再利用积的乘方计算即可；
（2）将（318）12写成（258）11×258，再运用乘法结合律与积的乘方计算即可．
【解答】解：（1）(45)2015×(−1.25)2016
=(45)2015×(−54)2015×(−54)
＝[45×(−54)]2015×（−54）
＝﹣1×（−54）
=54；
（2）原式=258×（258）11×（825）11×（﹣8）
＝﹣25×(258×825)11
＝﹣25．
【变式7-3】（2022春•漳浦县期中）计算
（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；
（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2•a]．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法计算即可；
（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算即可；
（3）根据幂的乘方、同底数幂的乘法和合并同类项解答即可；
（4）根据积的乘方和同底数幂的除法计算即可．
【解答】解：（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4
＝（n﹣m）2+3+4，
＝（n﹣m）9；
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
＝b6n•b12n÷b5n+5
＝b6n+12n﹣5n﹣5
＝b13n﹣5；
（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2
＝a6﹣a6+4a6
＝4a6；
（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2•a]
＝﹣64a3m+3÷8a2m+1
＝﹣8am+2
【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】
【例8】（2022春•大竹县校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2022）的结果是（ ）
A．2k+2021B．2k+2022C．kn+1010D．2022k
【分析】根据h（m+n）＝h（m）•h（n），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．
【解答】解：∵h（2）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）•h（n），
∴h（2n）•h（2022）
＝h(2+2+...+2)︸n个•h(2+2+...+2)︸1010个
=ℎ(2)⋅ℎ(2)⋅...⋅ℎ(2)︸n个•ℎ(2)⋅ℎ(2)⋅...⋅ℎ(2)︸1010个
＝kn•k1010
＝kn+1010，
故选：C．
【变式8-1】（2022•兰山区二模）一般的，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN．例如：由于23＝8，所以3是以2为底8的对数，记作lg28＝3；由于a1＝a，所以1是以a为底a的对数，记作lgaa＝1．对数作为一种运算，有如下的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么（1）lga（M•N）＝lgaM+lgaN；（2）lgaMN=lgaM﹣lgaN；（3）lgaMn＝nlgaM．根据上面的运算性质，计算lg2（23×8）﹣lg2165−lg210的结果是 1 ．
【分析】根据所给的运算进行求解即可．
【解答】解：lg2（23×8）﹣lg2165−lg210
＝lg223+lg28﹣（lg216﹣lg25）﹣lg210
＝3+3﹣（4﹣lg25）﹣lg210
＝6﹣4+lg25﹣lg210
＝2+lg2510
＝2+lg22﹣1
＝2+（﹣1）
＝1．
故答案为：1．
【变式8-2】（2022春•泰兴市期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作a※b：如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2
（1）根据上述规定，填空：2※16＝ 4 ， ±6 ※136=−2，
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明：
设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：6※7+6※9＝6※63；
②猜想：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝ （x﹣1） ※ （y2﹣y﹣2） （结果化成最简形式）．
【分析】（1）规定：如果ac＝b，那么a※b＝c．即可进行求解．
（2）①设6※7＝x，6※9＝y，则6x+y＝63，易得6※63＝x+y，即可得证．
②根据①中的结论：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝（x﹣1）※[（y+1）×（y﹣2）]＝（x﹣1）※（y2﹣y﹣2）．
【解答】解：（1）∵24＝16，
∴2※16＝4，
∵6−2=136，(−6)−2=136
∴6※136=−2，（﹣6）※136=−2，
故答案为：4，±6．
（2）①设6※7＝x，6※9＝y，
∴6x＝7，6y＝9，
∴6x•6y＝6x+y＝7×9＝63，
∴6x+y＝63，
∴6※63＝x+y，
∵6※7+6※9＝6※63．
②根据①中的结论，
得（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝（x﹣1）※[（y+1）×（y﹣2）]＝（x﹣1）※（y2﹣y﹣2）．
故答案为：（x﹣1），（y2﹣y﹣2）．
【变式8-3】（2022秋•南宁期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．
例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义证明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：
设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5．
∴3m•3n＝3m+n＝3×5＝15．
∴（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．
（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝ 2 ； （5，25）＝ 2 ； （3，27）＝ 3 ．
（2）计算：（5，2）+（5，7）＝ （5，14） ，并说明理由．
（3）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
【分析】（1）根据上述规定即可得到结论；
（2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解；
（3）根据新定义可得3a×3b＝3c，由此可得答案．
【解答】解：（1）∵22＝4，
∴（2，4）＝2；
∵52＝25，
∴（5，25）＝2；
∵33＝27，
∴（3，27）＝3；
故答案为：2，2，3．
（2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，
则5x＝2，5y＝7，
∴5x+y＝5x•5y＝14，
∴（5，14）＝x+y，
∴（5，2）+（5，7）＝（5，14）．
故答案为：（5，14）；
（3）∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴a+b＝c．