专题7.7 平行线四大模型专项训练（40道）-2022-2023学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

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考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平行线四大模型的综合问题的所有类型！
【模型1 “铅笔”模型】
1．（2022·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为( )
A．55°B．60°C．65°D．70°
2．（2022·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（ ）
A．α+β+γB．β+γ−αC．180°−α−γ+βD．180°+α+β−γ
3．（2022·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．
4．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，AB//CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相较于点F，∠E=80°，求∠BFD的度数.
5．（2022·全国·七年级专题练习）已知如图所示，AB//CD，∠ABE=3∠DCE，∠DCE=28°，求∠E的度数.
6．（2022·全国·七年级）(1)问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°
∵AB//CD，∴PE//CD．
……
请你帮助小明完成剩余的解答．
(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：
如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是____________°．
8．（2022·安徽合肥·七年级期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．
（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（ ）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．

【模型2 “猪蹄”模型】
9．（2022·全国·七年级）如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，AB∥CD，∠ABE=40°，则∠EDC=______度．
10．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图：
(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED的度数．
(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．
11．（2022·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
12．（2022·山东聊城·七年级阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．
13．（2022·广东韶关·七年级期中）如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC=∠NBD，∠C=∠D.
（1）求证：GH//MN；（提示：可延长AC交MN于点P进行证明）
（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG=13∠GAC，若∠AKB=∠ACD，直接写出∠GAC的度数．
14．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，已知AB//CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，求证：∠E=12(∠A+∠C)
15．（2022·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
16．（2022·全国·七年级）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
17．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
18．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
19．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC =360°．
（1）证明：MN//ST；
（2）如图2，若∠ACB=60°，AD//CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE=2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB=180°n（n为大于等于2的整数），点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE=n∠CBT，则∠CAE:∠CAN=______．
20．（2022·重庆江北·七年级期末）如图1，AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF=100°．
（1）求∠BEO+∠OFD的值；
（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN−∠FNM的值；
（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，直线MN分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN−∠ENM=50°，直接写出m的值．
21．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
22.（2022·广西柳州·七年级期中）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
【模型3 “臭脚”模型】
23．（2022·全国·八年级课时练习）（1）已知：如图（a），直线DE∥AB．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？
24．（2022·全国·七年级）已知，AE//BD，∠A=∠D．
（1）如图1，求证：AB//CD；
（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，连接AC，若∠ACE=∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且3∠E−5∠AFH=18°，求∠EAF+∠GMH的度数．
25．（2022·广东·东莞市光明中学七年级期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．
26．（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知AD⊥AB于点A，AE∥CD交BC于点E，且EF⊥AB于点F．
求证：∠C=∠1+∠2．
证明：∵AD⊥AB于点A，EF⊥AB于点F，（已知）
∴∠DAB=∠EFB=90°．（垂直的定义）
∴AD∥EF，（ ）
∴__________=∠1（ ）
∵AE∥CD，（已知）
∴∠C=________．（两直线平行，同位角相等）
∵∠AEB=∠AEF+∠2，
∴∠C=∠1+∠2．（等量代换）
27．（2022·广东珠海·七年级期中）已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为______；
（2）点B在两条平行线之间，过点B作BD⊥AM于点D．
①如图2，说明∠ABD=∠C成立的理由；
②如图3，BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
28．（2022·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）①如图1，AB ∥ CD，则∠A+∠E+∠C=360°；②如图2，AB ∥ CD，则∠P=∠A−∠C；③如图3，AB ∥ CD，则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB ∥ CD ∥ EF，点O在直线EF上，则∠α−∠β+∠γ=180°．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【模型4 “铅笔”模型】
29．（2022·福建·浦城县教师进修学校八年级期中）如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=___________度．
30．（2022·江苏·景山中学七年级阶段练习）如图，若AB//CD，则∠1+∠3-∠2的度数为______
31．（2022·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）如图，已知AB//DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．
32．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________．
33．（2022·全国·七年级）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．
34．（2022·全国·九年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D
35．（2022·浙江·七年级期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC，CD、DE，做成折线ABCDE，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．
（1）如图2，小明将折线调节成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°，判别AB是否平行于ED，并说明理由；
（2）如图3，若∠C=∠D=25°，调整线段AB、BC使得AB//CD，求出此时∠B的度数，要求画出图形，并写出计算过程．
（3）若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE，求出此时∠B的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．
36．（2022·山西晋中·七年级期中）综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；

【问题迁移】
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．
37．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；
（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．
38．（2022·全国·七年级专题练习）（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；
（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．
39．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级阶段练习）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
40．（2022·浙江杭州·七年级期中）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．