2023-2024学年广西贵港市港南区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年广西贵港市港南区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数−3的相反数是( )
A. −13B. 13C. 3D. −3
2.若二次根式 x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x<2B. x≠2C. x≤2D. x≥2
3.已知x>y，下列不等式一定成立的是( )
A. x−6−2yD. 2x+1>2y+1
4.已知m=1+ 2，则以下对m的估算正确的是( )
A. 15.小王网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小王让他们猜．喜欢数学的甲同学说：“至少20元．”对数学感觉一般的乙同学说：“至多15元．”讨厌数学的丙同学说：“至多12元．”小王说：“你们三个人都说错了”.则这本书的价格x(元)所在的范围为( )
A. 126.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2.”能说明它是假命题的反例是( )
A. ∠1=∠2=45°B. ∠1=40°，∠2=50°
C. ∠1=50°，∠2=50°D. ∠1=40°，∠2=40°
7.如图所示的交通标志为一条公路某路段上汽车的最高时速不得超过100km，若某汽车的时速为a km/h，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是( )
A. a>100
B. a≥100
C. a<100
D. a≤100
8.“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段A−B−C横穿双向车道，其中，AB=2BC=10米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB的1.3倍，求小刚通过AB的速度．设小刚通过AB的速度为x米/秒，则根据题意列方程为( )
A. 10x+51.3x=10B. 5x+101.3x=10C. 20x+101.3x=10D. 10x+201.3x=10
9.我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥.如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是( )
A. 三角形的内角和为180°B. 三角形的稳定性
C. 两点之间线段最短D. 垂线段最短
10.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A. 83 3 mB. 4 mC. 4 3 mD. 8 m
11.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合.则两堵木墙之间的距离DE是( )
A. 10cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
12.实数25的算术平方根是______．
13.如果分式m−1m+1的值为零，则m的值是______．
14.证明“若a的绝对值等于它本身，那么a是正数”是假命题的反例可以是______．
15.不等式组3x−9>0x>k+1的解集为x>3，则k的取值范围为______．
16.如图，长方形内有2个相邻的正方形，面积分别为9和x2，那么阴影部分的面积为______．
17.对于正实数a，b作新定义：a*b=b a−a+b，在此定义下，若9*x=55，则x的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算： 3× 6− 12+(− 2)2．
19.(本小题6分)
解不等式组2x−1<−x+2x−12<1+2x3．
20.(本小题10分)
先化简，再求值：(1+2x+1)⋅x2+xx2−9，其中x=6．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)求证：BD=12DC．
22.(本小题10分)
阅读下面的文字，解答问题：
我们知道 3是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将 3的小数部分全部写出来，于是小慧用 3−1来表示 3的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？
事实上，因为 3的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．
例如：∵ 4< 7< 9，即2< 7<3，
∴ 7的整数部分为2，小数部分为( 7−2)．
请解答：(1) 5的整数部分是______，小数部分是______；
(2)已知x是8+ 11的整数部分，y是8+ 11的小数部分，求x−y的值
23.(本小题10分)
“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前了30天完成了这一任务．
(1)用含x的代数式填表(结果不需要化简)
(2)求(1)的表格中的x的值．
24.(本小题10分)
任务一：阅读材料
在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如5 3,2 3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：5 3=5× 3 3× 3=5 33；
2 3+1=2( 3−1)( 3+1)( 3−1)=2( 3−1)( 3)2−12= 3−1．
像这样，把代数式中分母化为有理数的过程叫做分母有理化．
任务二：解决问题
将下列式子进行分母有理化：
①1 3；
②2 5− 3．
25.(本小题10分)
阅读并填空.将三角尺(△MPN,∠MPN=90°)放置在△ABC上(点P在△ABC内)，如图①所示，三角尺的两边PM，PN恰好经过点B和点C.我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．

(1)特例探索：若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB= ______度；∠ABP+∠ACP= ______度；
(2)类比探索：求∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由；
(3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM，PN仍恰好经过点B和点C，求∠ABP，∠ACP，∠A的关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−3的相反数是3，
故选：C．
根据相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数，掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：由题意得，x−2≥0，
解得，x≥2，
故选：D．
根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵x>y，∴x−6>y−6，原变形错误，不符合题意；
B、∵x>y，∴2x>2y，原变形错误，不符合题意；
C、∵x>y，∴−x<−y，∴−2x<−2y，原变形错误，不符合题意
D、∵x>y，∴2x>2y，∴2x+1>2y+1，正确，符合题意．
故选：D．
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵ 1< 2< 4，
即1< 2<2，
∴2<1+ 2<3，
即2故选：B．
先估算 2的取值范围，再确定1+ 2的取值范围即可．
本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：依题意得：x<20x>15x>12，
∴15故选：C．
根据三个同学的说法都错误，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、∠1=∠2=45°满足∠1+∠2=90°，但不满足∠1≠∠2，满足题意；
B、∠1=40°，∠2=50°满足命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2.”，不符合题意；
C、∠1=50°，∠2=50°不满足命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2.”，不符合题意；
D、∠1=40°，∠2=40°不满足命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2.”，不符合题意；
故选：A．
能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可．
考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得：a≤100．
故选：D．
由该汽车没有超速，即可列出关于a的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵AB=2BC=10米，
∴BC=5米．
∵小刚通过AB的速度为x米/秒，通过BC的速度是通过AB的1.3倍，
∴小刚通过BC的速度为1.3x米/秒．
又∵小刚共用时10秒通过AC，
∴10x+51.3x=10．
故选：A．
由通过BC的速度是通过AB的1.3倍可得出小刚通过BC的速度为1.3x米/秒，利用时间=路程÷速度，结合小刚共用时10秒通过AC，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分成方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性．
故选：B．
根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，正确把握其性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用，构造直角三角形是解此题的关键所在，题目比较好，难度也不大．
过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可．
【解答】
解：过C作CM⊥AB于M，
则CM=h，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴h=CM=12BC=4m，
故选：B．
11.【答案】C
【解析】解：∵AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
∴EC=AD=6cm，DC=BE=14cm，
∴DE=DC+CE=20(cm)，
故选：C．
由题意易得∠ADC=∠CEB=90°，则有∠BCE=∠DAC，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质求解即可．
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：实数25的算术平方根为5．
故答案为：5．
利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：由题意可得m−1=0，
解得：m=1，
故答案为：1．
根据分式值为零的条件即可求得答案．
本题考查值为零的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14.【答案】a=0
【解析】解：证明“若a的绝对值等于它本身，那么a是正数”是假命题的反例可以是：
a=0，
故答案为：a=0．
举例满足绝对值是自己的本身，但是这个数不为正数，从而可得反例．
本题考查的是绝对值的含义，举反例的方法，理解举反例的含义是解本题的关键．
15.【答案】k≤2
【解析】解：由3x−9>0得：x>3，
由x>k+1且不等式组的解集为x>3，
知k+1≤3，
解得k≤2，
故答案为：k≤2．
求出第一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得关于k的不等式，解之即可得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】3x−9
【解析】解：根据题意得：S阴影= 9⋅( x2− 9)=3(x−3)=3x−9，
故答案为：3x−9．
根据已知正方形的边长，求出各自的边长，进而表示出阴影部分的长与宽，即可求出面积．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
17.【答案】16
【解析】解：依题意得
9*x=x 9−9+x=55，
解得：x=16．
故答案为：16．
根据定义的运算法则和实数运算法则可知．
此题主要考查了新定义的运算．主要方法是根据新定义的运算法则进行计算．
18.【答案】解： 3× 6− 12+(− 2)2．
= 18− 22+2
=3 2− 22+2
=5 22+2．
【解析】先算乘方，再算乘法，最后算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】解：解不等式2x−1<−x+2，得
x<1，
解不等式x−12<1+2x3，得
x>−5，
故不等式组的解集是：−5【解析】分别将每个一元一次不等式求解，然后求出公共解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】解：原式=x+1+2x+1⋅x(x+1)(x+3)(x−3)
=x+3x+1⋅x(x+1)(x+3)(x−3)
=xx−3，
当x=6时，
原式=66−3=2．
【解析】利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数据进行计算即可．
本题考查分式的化简求值，将分式化简为xx−3是解题的关键．
21.【答案】(1)解：如图，DE为所作：
(2)证明：连接AD，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=12(180°−120°)=30°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=120°−30°=90°，
在Rt△ADC中，AD=12CD，
∴BD=12CD．
【解析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．
(1)利用基本作图(作已知线段的垂直平分线)作出DE垂直平分AB；
(2)连接AD，如图，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质得DA=DB，则∠DAB=∠B=30°，接着计算出∠CAD=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD=12CD，从而得到结论．
22.【答案】2 5−2
【解析】解：(1)∵ 4< 5< 9，
即2< 5<3，
∴ 5的整数部分为2，小数部分为 5−2，
故答案为：2， 5−2；
(2)∵ 9< 11< 16，
即3< 11<4，
∴11<8+ 11<12，
∴8+ 11的整数部分为11，小数部分为8+ 11−11= 11−3，
即x=11，y= 11−3，
∴x−y=11−( 11−3)=11− 11+3=14− 11．
(1)仿照题中给出的方法即可求出 5的整数部分和小数部分；
(2)先求出 11的取值范围即可求出8+ 11的取值范围，从而得出其整数部分和小数部分，即可计算x−y的值．
本题考查了无理数的估算，理解题意，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
23.【答案】60x (1+25%)x 60(1+25%)x
【解析】解：(1)设原计划每天绿化x万平方米，则实际每天绿化(1+25%)x万平方米，原计划需要60x天完成任务，实际60(1+25%)x天完成任务．
故答案为：(1+25%)x；60x；60(1+25%)x．
(2)依题意，得：60x−60(1+25%)x=30，
解得：x=25，
经检验，x=25是原方程的解，且符合题意．
答：(1)的表格中的x的值为25．
(1)设原计划每天绿化x万平方米，则实际每天绿化(1+25%)x万平方米，原计划需要60x天完成任务，实际60(1+25%)x天完成任务；
(2)根据实际比原计划提前了30天完成了这一任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24.【答案】解：①原式= 3 3× 3
= 33；
②原式=2( 5+ 3)( 5− 3)( 5+ 3)
= 5+ 3．
【解析】①把分子分母都乘以 3，然后根据二次根式的性质计算；
②把分子分母都乘以( 5+ 3)，然后根据二次根式的性质计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
25.【答案】90 40
【解析】解：(1)∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP+∠ACP=130°−90°=40°，
故答案为：90，40；
(2)结论：∠ABP+∠ACP=90°−∠A．
证明：∵(∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，
∴90°+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，
∴∠ABP+∠ACP=90°−∠A．
故答案为：∠ABP+∠ACP=90°−∠A；
(3)结论：∠ACP−∠ABP=90°−∠A，
理由是：设AB交PC于O，如图2：
∵∠AOC=∠POB，
∴∠ACO+∠A=∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A=90°+∠ABP，
∴∠ACP−∠ABP=90°−∠A，
故答案为：∠ACP−∠ABP=90°−∠A．
(1)利用三角形内角和定理即可解决问题．
(2)结论：∠ABP+∠ACP=90°−∠A.利用三角形内角和定理即可证明．
(3)不成立；存在结论：∠ACP−∠ABP=90°−∠A.利用三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．工作效率(万平方米/天)
工作时间(天)
总任务量(万平方米)
原计划
x
______
60
实际
______
______
60

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