专题08 三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用）

专题08 三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．→ 图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。例1．（2023·河南濮阳·统考二模）如图，直线，点、分别在、上，以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点．若，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据作图可知是的角平分线，进而根据平行线的性质即可求解．【详解】解：∵，∴∵，∴根据作图可知是的角平分线，∴，故选：B．【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．例2．（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O为△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD // AB交BC于点D， OE // AC交BC于点E．若AB=5 cm，BC=10 cm，AC=9 cm，则△ODE的周长为(    )A．10 cm B．9 cm C．8 cm D．5 cm【答案】A【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质，把△ODE三条边转移到同一条线段BC上，即可解答．【详解】解：如图：∵OC、OB分别是∠ACB、∠ABC的角平分线，∴∠5=∠6，∠1=∠2，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠4=∠6，∠1=∠3．∴∠4=∠5，∠2=∠3， 即OD=BD，OE=CE．∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm．故选：A．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，关键是证明△BDO，△OEC都是等腰三角形．例3．（2023·广东·八年级期末）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为 cm．【答案】1【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF-AD．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3cm，同理可证：DF＝DC＝AB＝3cm，则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．故答案为：1．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边．例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________．【答案】5【详解】由角度分析易知，即，∵ ∴ ∵ ∴【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形，∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO； 即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：同（1）可证得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO-FO=BE-FC．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型1）内角平分线定理 图1 图2 图3条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。 结论：2）外角平分线定理条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：．3）奔驰模型条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。例1．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则 ．【答案】/【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式得出与即可求解．【详解】解：如图，过点D作于E，∵，，是的角平分线，∴，∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质得出是解题的关键．例2．（2023·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，的三边，，长分别是3，4，5，其三条角平分线将分为三个三角形，则为（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】过点作于点，作于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比．【详解】解：过点作于点，作于点，作于点．  ，，是的三条角平分线，，于，，的三边、、长分别为3、4、5，．故选：D．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．例3．（2022春·江苏·九年级专题练习）请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有；（2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到△ABD的周长．【详解】（1）证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E，∵，∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴．（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴，∵AD平分∠BAC，∴，即，∴，∴，∴△ABD的周长．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键．例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：．证明：过C作AD的平行线交AB于点E．∵ ∴，∠1=∠3，∠2=∠4∵AD为∠BAC的外角平分线 ∴∠1=∠2 ∴∠3=∠1=∠2=∠4∴AE=AC ∴例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接．(1)如图1，当点D是边的中点时，_____；(2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)16【分析】（1）过A作于E，根据三角形面积公式求出即可；（2）过D作于E，于F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可；（3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案．【详解】（1））过A作于E，∵点D是边上的中点，∴，∴故答案为：；（2）过D作于E，于F，∵为的角平分线，∴，∵，，∴；（3）∵，∴由（1）知：，∵，∴，∵，平分，∴由（2）知：，∴，∴，故答案为：16．【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．课后专项训练1．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图，中，，点I为各内角平分线的交点，过I点作的垂线，垂足为H，若，，，那么的值为（　　）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】连接、、，过I作于M，于N，利用角平分线的性质，以及等积法求线段的长度，即可得解．【详解】解：连接、、，过I作于M，于N，∵点I为各内角平分线的交点，，，，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，，，，∴，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，等积法求线段长度．熟练掌握角平分线的性质，利用等积法求线段的长度是解题的关键．2．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，是的角平分线，相交于点于，，下列四个结论：①；②；③若的周长为，则；④若，则．其中正确的结论有（    ）个．  A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形内角和定理可验证结论①；如图所示，在上截取，可证，，根据全等三角形的性质可验证结论②；如图所示，连接，过点分别作于点，作于点，根据角平分线的性质，三角形的面积计算方法可验证结论③；结合结论②，③，图形结合，等面积法等知识可验证结论④．【详解】解：结论①，∵，，∴，∵是的角平分线，∴，，∴，在中，，∴，故结论①正确；结论②，由结论①正确可知，，∵，∴，∵，∴，如图所示，在上截取，  ∵是的角平分线，∴，∴在中，，∴，∴，∴，∴，，∴在中，，∴，∴，∴，故结论②正确；结论③若的周长为，则，如图所示，连接，过点分别作于点，作于点，     ∵是的角平分线，，，∴平分，，且，∵，∴，故结论③错误；结论④若，则，如图所示，连接，过点分别作于点，作于点，∵，，且，∴，如图所示，过点作于点，     ∴，，∴，且，∴，同理，，如图所示，由结论②正确可知，，，且∴，∴，∴，∴，故结论④正确；综上所述，正确的有①②④，个，故选：．【点睛】本题主要考查三角形的综合知识，掌握角的和差计算方法，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线交的性质，线段之间比例的计算方法等知识的综合是解题的关键．3．（2023秋·四川南充·八年级校考期末）如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论；①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据角相等推出线段相等，再将线段进行转化，即可证明；②与不能得出全等的结论，无法证明；③若，无法推出；④利用三角形面积的公式即可证明；⑤通过设未知数找到等量关系，从而证明．【详解】①∵∴，∵内角和外角的平分线交于点∴，∴，∴，∴∴，故①正确．②与只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所以不能得出全等的结论，不能推出，故②错误③若，则，则，无法推出，故③错误④的面积为乘以点到线段的距离乘以的面积为乘以点到线段的距离乘以点到线段的距离与点到线段的距离相等∴，故④正确⑤过点E作于N，于D，于M，如图，∵平分，∴∵平分，∴∴，∴平分，设，，，则，，∵，∴，∴∘，∵，∴，∴，即，故⑤正确；故选C【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等多个知识点，解题的关键是灵活运用相关的定理进行求解．4．（2022秋·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，在中，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F．若，则的长为（　　）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根据三角形的内角和定理得出，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出，再利用勾股定理得出的长，即可得出答案．【详解】解：过点F作于点G，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴设，则，则，解得：，即的长为．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出．5．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（　　）  A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF【答案】C【分析】求出∠CAF＝∠BAF，∠B＝∠ACD，根据三角形外角性质得出∠CEF＝∠CFE，即可得出答案；【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵AF平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAF，∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF．故选C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．6．（2023·贵州·中考模拟）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】利用角平分线和平行可以证明△BME和△CNE是等腰三角形，而可得BM+CN=MN即可解答．【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MNBC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形是解题的关键．7．（2023·河南开封·统考模拟预测）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（    ）A．是的平分线 B．C．点在线段的垂直平分线上 D．【答案】D【分析】由作图可得：平分 可判断A，再求解 可得 可判断B，再证明 可判断C，过作于 再证明 再利用 ，可判断D 从而可得答案．【详解】解： 由作图可得：平分 故A不符合题意； 故B不符合题意； 在的垂直平分线上，故C不符合题意；过作于 平分 故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．8．（2023·江苏扬州·九年级校联考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝6，AB＝10，则DE的长为（　　）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【详解】解：在Rt△ABC中，∠AC＝6，AB＝10，则由勾股定理知： ∴AC•BC＝AB•CD，则 过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∴△BFG∽△BAC，∴ ∵AC＝6，AB＝10，BC＝8，∴ ∵FC＝FG，∴解得：FC＝3，即CE的长为3．∴DE＝CD﹣CE＝﹣3＝．故选A．【点睛】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF＝∠CFE．9．（2023·北京顺义·统考二模）如图，在中，，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F．若，，则的长为 ．【答案】【分析】证明均为等腰三角形，得到，即可得出结果．【详解】解：∵，分别是，的平分线，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握遇到角平分线和平行线，常常会有等腰三角形，是解题的关键．10．（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图，在中，，点为的边上一点，点分别在边上，连接，若，则的度数为 ．  【答案】【分析】根据角平分线的判定与性质可知，最后利用三角形的内角和定理即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，∵，，∴，∵，∴，∴是的角平分线，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为．  【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的判定与性质是解题关键．11．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．  （1）如图1，当平分时，若，，则 ；（2）如图2，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则 .【答案】 / 9【分析】（1）过作于E，于，根据角平分线性质得到，再根据三角形面积公式即可得到答案；（2）根据可得到，再根据，和（1）的结论得到，即可求出的面积．【详解】解：（1）如图1，过D作于E，于F，  是的角平分线，，，，，故答案为：；（2），∴，，，平分，由（1）可知：，，，故答案为：9．【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，灵活运用（1）（2）得出的结论是解题关键．12.（2023.广东九年级期中）如图所示，在△ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =CE时，EP+BP =________. 【答案】12【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于点M.E、F分别是AB、AC的中点，EF//BC，∠CBM =∠EMBBM平分∠ABC，∠ABM =∠CBM，∠EMB =∠EBM，EB =EM，EP +BP =EP +PM =EMCQ =CE，EQ =2CQ 由EF//BC得，△EMQ∽△CBQ13．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，在中，，是斜边上的高，的平分线交于点，交于点．  (1)求证：是等腰三角形．(2)若，．求的长度．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据题意和图形，可以求得，然后即可证明结论成立．（2）根据勾股定理可以求得的长，设，再根据勾股定理再根据等面积法和等腰三角形的性质，即可求得的长．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）在中，过点作，垂足为，  ∵平分，，∴，设，则，，∵，，∴，∴，∴，，在中，即，解得，∵，∴，即，∴，∴，∴的长度为．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点，求证：是等腰三角形．  【答案】见解析【分析】根据直角三角形两锐角互余求得，然后根据三角形外角的性质求得，根据等角对等边求得，从而求得是等腰三角形．【详解】证明：∵在中，，∴，∵是边上的高，∴，∴，∵是的角平分线，∴，∴，即，∴，∴是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．15．（2023广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________．（2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长．（3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．【答案】（1）5，，20（2）2，，证明见详解，18（3），证明见详解【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质，“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”可知，，即可求出，，根据“等角对等边”可知，即可确定等腰三角形的数量，与、之间的数量关系以及的周长； （2）若为不等边三角形，根据角平分线的定义可知，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知，即可推导，然后根据“等角对等边”即可证明，然后解答即可；（3）根据角平分线的定义可知，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知，即可推导，然后根据“等角对等边”即可证明，即可证明与、之间的数量关系．【详解】解：（1）∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴等腰三角形有，共计5个，∴，即，∴的周长，故答案为：5，，20；（2）若为不等边三角形，∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴等腰三角形有，共计2个，故答案为：2；∵，∴，即；∴的周长；（3）与、之间的数量关系为：，证明：∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即与、之间的数量关系为．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．16.（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）如图，为的角平分线．（1）如图1，若于点，交于点，，．则________；（2）如图2，若，，的面积是10，求的面积；（3）如图3，若，，，请直接写出的长（用含，的式子表示）【答案】（1）2；（2）24；（3）【分析】（1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得AE＝AC＝5，得出答案；（2）作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F，根据角平分线的性质得出DE=DF，根据的面积求出DF，再求△ABD的面积，最后求出的面积；（3）在AB上取AN＝AC，可得CD＝DN＝m﹣n，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可求出BD的长．【详解】解：（1）∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠CFA＝∠EFA，在△AEF和△ACF中，∴△AEF≌△ACF（ASA），∴AE＝AC＝5，∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2，故答案为：2；（2）如图，作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F∵的面积是10，AC=5，∴DF=2×10÷5=4，∵为的角平分线，∴DE=DF=4，∴=,∴．   （3）如图，在AB上取AN＝AC， ∵AD是△ABC的平分线，∴∠NAD＝CAD，在△ADN与△ADC中，∴△ADN≌△ADC（SAS），∴∠AND＝∠C，DN＝CD，∵∠C＝2∠B，∴∠AND＝2∠B，∴∠B＝∠BDN，∴BN＝DN＝AB﹣AC＝m﹣n，∴CD＝DN＝m﹣n，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得：，∴，∴BD＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，利用角的轴对称性构造全等三角形是解题的关键．17．（2023·湖南长沙·统考二模）如图，，按照下列步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于E、F两点；②分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线，交于点M．(1)试根据作图过程，说明是的平分线的理由；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）连接、易证，可得；（2）依据角平分线的性质和平行线的性质可求得，最后依据三角形内角和求解即可．【详解】（1）连接、，根据作图知：，在与中，，，，是的平分线．（2）由题意得，是的平分线，，∵，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质、角平分线的证明和性质、平行线的性质以及三角形内角和定理；解题的关键是熟练运用相关性质转换求值．18．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽经过思考发现里面还有一个有趣的结论：(1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：．小明的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，∵是的角平分线，且，，∴ ，，∵，∴(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：．(3)【直接应用】如图3所示，中，，是交于D，若，，在不添加辅助线的情况下直接写出 ．(4)【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形ABDE），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形DEGF），求出剩余部分的面积． 【答案】(1)(2)见解析(3)20(4)【分析】(1)根据角的平分线性质定理解答即可．(2)过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P．仿照第一问的解答求解即可．(3)过点D作于N，证明，直接利用证明的结论，列式计算即可．(4)先算，后两次运用证明的结论，依次计算即可．【详解】（1）解：∵是的角平分线，且，，∴，故答案为：．（2）证明：过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P．∵是的角平分线，∴．∴，，∴．（3）∵中，，是交于D，∴，过点D作于N，∴．∵，， ∴，．∵，∴，∴，∴，解得，∴，故答案为：20．（4）解：∵，，，∴，∵将先沿的平分线折叠，∴，，，，∴，由（1）可得，∴，∴，同理可求：，∴，∴．【点睛】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的性质，熟练掌握角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键．19．（2023·河南驻马店·校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．《数学的发现》是2006年科学出版社出版的图书，作者是（美）乔治·波利亚．本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题（有些是非数学的））进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型．共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形．共高定理：如图①，设点M在直线上，点P为直线外一点，则有下面是该结论的证明过程：证明：如图①，过点P作于点Q，．．．．．．按要求完成下列任务：(1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明；(2)如图②，，①画出的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）；②若的平分线交于D，求证：；(3)如图③，E是平行四边形边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为2，则的面积为 ；【答案】(1)见解析(2)①图见解析②证明见解析(3)2【分析】（1）利用面积公式，补全证明即可；（2）①根据角平分线的作图方法，画出的平分线即可；②过点作于点，于点，利用角平分线的性质，三角形的面积公式，以及共高定理，即可得证；（3）证明，得到，根据共高定理，得到：，进而得到即可得出结果．【详解】（1）解：补全剩余证明如下：∵ ∴；（2）①如图所示：即为所求；②证明：如图，过点作于点，于点，∵是的平分线，∴，∴， 由共高定理，得：， ∴；（3）∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∴ 又∵，∴，由共高定理，可得：，∴．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质．理解并掌握共高定理，是解题的关键．20．（2023·安徽合肥·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的学习任务：已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程．(1)证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程【答案】(1)见解析 (2)有，见解析【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，根据平行线分线段成比例定理得到＝，等量代换证明结论．（2）利用等面积法即可证明．【详解】（1）证明：如图②，过C作，交BA的延长线于E，则∠1＝∠E，∠DAC＝∠ACE，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠DAC，∴∠E＝∠ACE，∴AC＝AE，∵，∴＝，∴＝；（2）解：有其他的证明方法，理由如下：过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥AB，过点D作DG⊥AC， ∵AD是∠BAC的角平分线， DF⊥AB，过点D作DG⊥AC，∴DF=DG，∵， ， ，∴，，∴ ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线分线段成比例以及等腰三角形的判定，构造适当的辅助线证明线段成比例是解题的关键．