高一数学上学期期末考模拟卷02（范围：必修一全部）-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1．（2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知全集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得或，
所以，
则，又，
所以.
故选：C
2．（2023上·山东济南·高一统考期末）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．C．5D．7
【答案】C
【分析】求出时的解析式后，代入可求出结果.
【详解】因为为奇函数，且当时，，
所以当时，，
所以.
故选：C
3．（2023上·山东泰安·高一泰安一中校考期中）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用零点存在定理，计算求解即可
【详解】根据条件，，，，可得，
，所以，函数的零点所在的大致区间是
故选：B
【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题
4．（2023上·北京海淀·高一统考期末）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】化简，通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系.
【详解】解：由题意，
，
在中，函数单调递增，且，
∴，
在中，函数单调递增，且当时，，
∴，
∴，
故选：A.
5．（2023下·云南红河·高一统考期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2023年度全国十大考古新发现终评项目．该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）．（参考数据：，）
A．8037年B．8138年C．8237年D．8337年
【答案】B
【分析】由题意，，即，根据对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意，，即，
∴，∴，
故选：B.
6．（2023上·山东·高一济南市章丘区第四中学校联考阶段练习）已知函数（，且）的图象恒过点P，若角的终边经过点P，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题可得点，再利用三角函数的定义即求.
【详解】令，则，
所以函数（，且）的图象恒过点，
又角的终边经过点，
所以，
故选：A.
7．（2023上·天津·高一校联考期末）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到，再整体代入即可求得对称轴方程.
【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
得到，再向左平移个单位，
得到，
令，，则，.
显然，时，对称轴方程为，其他选项不符合.
故选：B
8．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析；
【详解】当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，
则，
所以其中，解得，
所以，解得，
又因为，则．
当时，；
当时，；
当时，．
又因为2，因此的取值范围是．
故选：C．
【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心.
二、多选题
9．（2023上·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）给出下列说法，正确的有（ ）
A．函数单调递增区间是
B．已知的定义域为，则的取值范围是
C．若函数在定义域上为奇函数，则
D．若函数在定义域上为奇函数，且为增函数
【答案】BCD
【分析】计算对数函数的定义域可得A；借助对数函数的定义域可将问题转化为，可得，计算即可得B；运用奇函数的定义计算即可得C；运用奇函数的定义及复合函数单调性判断即可求解D.
【详解】A选项，由，得，故A错误；
B选项，定义域为，则恒成立，
则，∴，故B正确；
C选项，定义域为，且为奇函数，
∴，∴，
当时，，满足题意，故C正确；
D选项，∵，
∴的定义域为，
且，
∴为奇函数，
又时，，均为增函数，
∴也是增函数，而为增函数，
∴为增函数，故D正确.
故选：BCD.
10．（2023上·河北衡水·高一河北衡水中学校考期中）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】ABD
【详解】因为是正数，且，
所以不等式可知，即，得，
当且仅当，即取得等号，
所以的最大值为，所以A正确;
因为是正数，且，
所以，且，
所以，
当时有最小值为，
所以B正确;
由以上知，且，
所以，
因为，即，
当且仅当即时取等号，因为
所以等号不成立，即，
所以C错误;
因为，
当且仅当，即，
解得时等号成立，即，
所以的最小值为，
所以D正确.
故选:ABD.
11．（2023上·江苏苏州·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B． 是的最小值
C．在区间上的值域为
D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
【答案】ABD
【分析】根据给定的图象求出函数的解析式，再利用正弦型函数的性质逐项判断即可.
【详解】函数的周期，则，
由，得，即，
因此函数解析式为，
对于A，函数的最小正周期为，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，当时，，利用正弦函数的性质知，
，得，C错误；
对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
得到函数的图象，D正确.
故选：ABD
12．（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考阶段练习）已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ）
A．当，有1个零点B．当时，有3个零点
C．当时，有9个零点D．当时，有7个零点
【答案】AD
【分析】设，即有，再按和讨论并作出函数图象，数形结合即可判断得解.
【详解】由，得，则函数的零点个数即为解的个数，
设，则，二次函数，其图象开口向上，过点，对称轴为，
当时，在上单调递减，且，如图，
由，得，解得，由，得，解得，
因此函数的零点个数是1，A正确，B错误；
当时，，作出函数的图象如图，

由图象知有3个根，当时，，解得；
当时，，解得，
当时，，若，则，若，则，此时共有3个解；
当时，，此时有1个解，
，即有2个解，
当时，，此时有1个解，
即无解，
因此当时，函数的零点个数是7，D正确，C错误.
故选：AD
【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.
三、填空题
13．（2023下·四川乐山·高一四川省乐山沫若中学校考阶段练习）已知，若，则的值为
【答案】
【分析】根据给定条件，利用同角公式求出，再代入计算作答.
【详解】因为，，则有，
有，即，，
因此，
所以.
故答案为：
14．（2023上·重庆·高一校联考期末）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分若弧田所在圆的半径为1，圆心角为，则此弧田的面积为 .
【答案】
【分析】根据题意所求面积为，再根据扇形和三角形面积公式，进行求解即可.
【详解】易知为等腰三角形，腰长为，底角为，，
所以，
弧田的面积即图中阴影部分面积，根据扇形面积及三角形面积可得：
所以.
故答案为：.
15．（2023上·上海·高三统考期中）若点（1，2）既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则函数的解析式
【答案】
【详解】分析：由已知（1,2）在原函数上，又在它的反函数上，故（2,1）也在原函数上，由此构造等式求解即可.
解析：由题可知（1,2）在原函数上，又在它的反函数上，故（2,1）也在原函数上，所以得到方程组：故答案为.
点睛：本题要熟悉原函数与反函数的关系，原函数的定义域即为反函数的值域，原函数的值域即为反函数的定义域为解题关键.
16．（2023上·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为0；
②当时，不存在最小值；
③零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意，，．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】①根据指数函数、二次函数性质求值域判断；②由上值域为，讨论、确定在上值域，根据不存在最小值，列不等式组求参数范围；③讨论、、，分析各分段上零点的个数判断；④用特殊值，得到即可判断.
【详解】①当时，，在上的值域为，在上值域为.
所以的最小值为0，故①正确；
②在上的值域为，
当时，在上值域为；
当时，在上值域为；
要使不存在最小值，则或，
解得或，故②正确；
③至多一个零点，至多有两个零点，
当时，若，则由，
可得或，故恒有两个零点；
时，若，则存在一个零点；
若，不存在零点，
所以时，零点个数可能为2或3个；
若，则，此时，即上无零点，
而，故有一个零点，即；
若，则，此时上，无零点，
时，也无解，故无零点，即；
综上，的值域为，故③正确；
④当时，，则，
所以，故④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】关键点点睛：对于③，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.
四、解答题
17．（2023上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】根据对数运算结合诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
18．（2015上·北京·高三北京四中校考期中）已知函数．
(1)求函数的最小正周期与单调增区间；
(2)求函数在上的最大值与最小值．
【答案】(1)，单调增区间
(2)，
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，可得函数的最小正周期与的单调区间；
（2）利用整体法求函数的最值.
【详解】（1）解：
，
函数的最小正周期，
令，
解得，
所以单调递增区间为
（2），
，
，
即，
所以，.
19．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知函数是定义在R上的增函数，满足
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)若，求x的取值范围.
【答案】(1)0；
(2)奇函数，证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据给定等式，利用赋值法求解作答.
（2）利用（1）的结论，并取，代入计算，再利用奇偶函数定义推理作答.
（3）利用（2）的结论，结合单调性去掉法则“f”解不等式作答.
【详解】（1）依题意，，，令，则，
所以.
（2）函数是奇函数.
函数的定义域为R，，令，，
即，所以函数为奇函数.
（3）由，得，又，
因此不等式，而函数是R上的增函数，
则有，解得，
所以x的取值范围是.
20．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数，.
(1)证明是增函数；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可；
（2）法一：利用函数的单调性，把问题转化为在上恒成立，再求在上的最大值即可；
法二：原不等式可转化为，再通过换元转化为二次不等式在给定区间的恒成立问题，利用二次函数性质求解即可．
【详解】（1）证明：，且，
，
因为，函数在上单调递增，所以，
又，故，即.
因此，是增函数.
（2）法一：由（1）知在上单调递增，
所以，
所以不等式可变为，
即，
令，则在上单调递减，
当时，取得最大值，所以，
综上所求得的取值范围是.
法二：由不等式得，
整理得，
令，即，
即，
因为，所以，，
所以要使原不等式恒成立，则有，
即，，
故的取值范围是
21．（2024上·广东深圳·高一校考期末）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用，构造对数不等式，解出该不等式即可;
（2）由题意可知，和的值域有交集,分别求出值域，整理计算即可.
【详解】（1）因为,所以,故的定义域为,
由，所以，所以，解得：，
所以不等式的解集为.
（2）由题意可知：，和的值域有交集,
易知在是减函数，所以，
当时，在是减函数，所以，
所以即；
当时，在是增函数，所以，显然不符合.
综上所述：实数的取值范围.
22．（2023上·四川成都·高一校联考期末）某环保组织自2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2023年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0.
(1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；
(2)该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）.
【答案】(1)第一个函数模型满足要求，理由见解析，
(2)该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上
【分析】（1）由随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢求解；
（2）根据题意，由求解.
【详解】（1）解：两个函数模型在上都是增函数，随着的增大，的函数值增加得越来越快，
而的函数值增加得越来越慢，
在该水域中水葫芦生长的速度越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，
第一个函数模型满足要求，
由题意知，，解得，所以；
（2）由，解得，
又
故，
该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上.