拓展1-4 常用逻辑用语5种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1．充要条件的四种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
牢记：小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围
注意区别是的充分不必要条件与的充分不必要条件是两者的不同．
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题
第一：化简条件和结论
第二：根据条件与结论范围的大小进行判断
第三：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
①若，则是的充分条件；
②若，则是的必要条件；
③若，则是的充分不必要条件；
④若，则是的必要不充分条件；
⑤若，则是的充要条件；
⑥若且，则是的既不充分也不必要条件.
(3)传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
①若是的充分条件，是的充分条件，则是的充分条件;
②若是的必要条件，是的必要条件，则是的必要条件;
③若是的充要条件，是的充要条件，则是的充要条件．
(4)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
2．判断充要条件需注意的三点
(1)要分清条件与结论分别是什么；
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断；
(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．
3．把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
①准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
②注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
③灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．（对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.）
4．根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
5.常见的一些词语和它的否定词如下表
6.全称量词命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
（2）要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
7．存在量词命题真假的判断方法
要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题．
8.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法汇总
9.命题的否定
（1）含有一个量词的命题的否定
（2）全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
（3）命题的否定与否命题的区别
“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
10.根据命题的真假求参数
(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
(3)利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
①，；
②，；
③，；
④，.
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
p⇒ / q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且q p
原词语
等于
大于
小于
是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于
小于等于
大于等于
不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称量词命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
存在量词命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
命题
命题的否定
考点一 充分条件与必要条件的判断
考点二 充分条件与必要条件的探求与应用
（一）充分条件、必要条件的探求
（二）利用充分、必要条件求参数的取值范围
考点三 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
考点四 全称量词命题与存在量词命题的否定
考点五 根据含有量词的命题的真假求参数
考点一 充分条件与必要条件的判断
1．（2023秋·高一课时练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的概念判断即可.
【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2023秋·安徽马鞍山·高一安徽工业大学附属中学校考期中）“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件必要条件的定义即得．
【详解】因为，故当时，有，故成立；
取，此时，但，即由“”推不出“”；
所以“”是“”的必要非充分条件．
故选：B．
3．（2023秋·贵州贵阳·高一校联考期中）设：，：，则是的________________条件．填“充分不必要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要”
【答案】充分不必要
【分析】根据充分必要条件的定义判断.
【详解】：，即或，
所以由p能推出q成立，但由q推不出p成立，
所以p是q的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
4．（2023·高一单元测试）已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.
【详解】由，可得出，故，
由，得不出，所以是的充分而不必要条件，
故选：A.
5．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】或，因此是的既不充分也不必要条件，
故选：D．
6．（2023·浙江·高一期中）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解一元二次不等式求的解集，根据充分、必要关系的定义判断条件间的关系.
【详解】由，可得或，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
7．（2023秋·高一单元测试）设：或；：或，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分别写出对应的取值范围，再由范围大小即可确定选项.
【详解】根据题意可得，，
易知是的真子集，所以，
因此，是的充分不必要条件.
故选：A
8．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）对任意的实数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】取特殊值可判断充分性，根据得，从而可判断必要条件.
【详解】取，此时，但，故“”不是“”的充分条件.
当时，，此时，故“”是“”的必要条件.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
9．（2023秋·广东茂名·高一校联考期末）已知：不等式的解集为，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先计算出不等式的解集为时的取值范围，再根据范围大小即可得出结论.
【详解】若不等式的解集为，当时，符合题意；
当时，需满足且，解得
综合可得而所以p能推出q，q不能推出p，
即是的充分不必要条件.
故选：A
考点二 充分条件与必要条件的探求与应用
（一）充分条件、必要条件的探求
10．（2023·江苏·高一假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出关于的一元二次方程有实数解的充要条件，结合选项得出其必要条件．
【详解】因为关于的一元二次方程有实数解，
所以，
解得，而可以推出，
所以可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件，
故选：A．
11．【多选】（2023·全国·高一专题练习）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得.
【详解】因为方程至多有一个实数根，
所以方程的判别式，
即：，解得，
利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.
故选：BC.
12．（2023秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】由，即，解得，
因为真包含于，所以是成立的一个充分不必要条件.
故选：A
13．（2023春·广西防城港·高一统考期中）“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的判断即可求得结果.
【详解】由“关于的不等式对恒成立”，可得，
解得，则“”的一个充分不必要条件是.
故选：C.
14．（2023秋·高一课时练习）方程有实根的充要条件是_____，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是_____.
【答案】 (答案不唯一)
【分析】由方程有实根，可得判别式非负，从而可得到其充要条件，当时方程有实根，而方程有实根时不一定有，从而可得到其一个充分不要条件，其实只要的取值能使判别式非负即可.
【详解】解：因为方程有实根，
所以，即，解得，
反之，当时，，则方程有实根，
所以是方程有实根的充要条件，
当时，方程有实根，
而当方程有实根时不一定是，
所以是方程有实根的一个充分不要条件.
故答案为：；(答案不唯一).
15．（2023秋·广东广州·高一广州市第一一三中学校考阶段练习）不等式的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式，根据必要不充分条件的定义确定正确选项.
【详解】可化为，解得，
由必要不充分条件的定义可得不等式的一个必要不充分条件是，
故选：B
16．【多选】（2023秋·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知， ，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】先求出条件对应的取值集合，再根据是的一个必要不充分条件得到两个取值集合的包含关系，再利用数轴解出实数的取值范围，而实数的取值集合是求出来的集合的真子集即可
【详解】对于，解得
对于，得.
时，解得；
时，解得；
因为是的一个必要不充分条件，所以A.
时,有，解得.
时, 有，解得.
综上，可得.故只要实数的取值集合是集合的真子集即可.
故选：AC.
17．（2023秋·河北张家口·高一张家口市宣化第一中学校考期中）设，则“”的一个充要条件是（ ）
A．a，b都为2 B．a，b都不为2
C．a，b中至少有一个为2D．a，b都不为0
【答案】C
【分析】根据充要条件的知识求得正确答案.
【详解】或中至少有一个为.
故选：C
18．（2023秋·高一课时练习）三个数不全为零的充要条件是（ ）
A．都不是零B．中至多一个是零
C．中只有一个为零D．中至少一个不是零
【答案】D
【详解】主要考查充要条件的概念及其判定方法．三个数不全为零的充要条件是中至少一个不是零．选D.
19．（2023·高一课时练习）若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：
（1）A∪B＝R的一个充要条件；
（2）A∪B＝R的一个必要不充分条件；
（3）A∪B＝R的一个充分不必要条件.
【答案】（1）b≥－2；（2）b≥－3；（3）b≥－1.
【分析】先求得A∪B＝R的充要条件，然后根据充分不必要条件、必要不充分条件的定义求解.
【详解】集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，
（1）若A∪B＝R，则b≥－2，
故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.
（2）由（1）知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，
所以A∪B＝R的一个必要非充分条件可以是b≥－3.
（3）由（1）知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，
所以A∪B＝R的一个充分非必要条件可以是b≥－1.
【点睛】本题主要考查充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的定义，属于基础题.
（二）利用充分、必要条件求参数的取值范围
20．（2023秋·江苏扬州·高一统考期中）设全集，集合，非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简集合，根据集合的运算法则求，
（2）由条件列不等式求的取值范围．
【详解】（1）由，解得，
∴ ，
当时， ，
∴
（2）“”是“”的充分条件
∴，又集合，
∴，解得
∴实数的取值范围为.
21．（2023秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）已知：，：，且是的充分条件，求的取值范围.
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合充分性的定义进行求解即可.
【详解】由，得，
则：，
由，得，则：.
由是的充分条件，得，
解得.
的取值范围是.
22．（2023秋·江苏徐州·高一校考阶段练习）设全集，集合，集合，其中.
(1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围.
(2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式，得到，根据充分条件得到，列出不等式组，求出答案；
（2）根据必要条件得到，分和两种情况，求出答案.
【详解】（1），，
因为是的充分条件，
所以，即，解得：，
故的取值范围是；
（2）因为是的必要条件，
所以，
当时，，解得：，满足要求，
当时，，即时，要满足，
解得：，
综上：，所以实数的取值范围是；
23．（2023春·湖南·高一校联考期中）若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【分析】解不等式，对实数的取值进行分类讨论，求出不等式的解集，根据题意可得出集合的包含关系，综合可求得实数的取值范围.
【详解】解不等式可得，
由可得，
①当时，即当时，不等式即为，解得，
此时，“”“”，不合乎题意；
②当时，即当时，解不等式可得或，
由题意可知，或，
所以，或，解得或，所以，；
③当时，即当时，解不等式可得或，
由题意可得或，
所以，或，解得或，此时.
综上所述，实数的取值范围是或.
故选：A.
24．（2023·全国·高一专题练习）已知集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围；
(2)若成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据充分不必要条件得出集合的包含关系，根据包含关系可求答案；
（2）根据二次函数区间最值，及二次不等式恒成立可求答案.
【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，
则B是A的真子集，而不为空集，
则（等号不同时成立），解得，
即m的取值范围是.
（2）设，
则，
∵，
∴，
由题意得，即，
即a的取值范围为.
25．（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）设集合，集合.
(1)若，求；
(2)若是成立的充分不必要条件，求实数的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简集合A与B，后由集合交集与并集定义可得答案；
（2）由题可得，据此可得答案.
【详解】（1）由得，所以，因为，所以，所以；
（2）因为是成立的充分不必要条件，所以.
又，故不为空集，故，得，所以实数的范围.
26．（2023秋·湖南邵阳·高一武冈市第二中学校考阶段练习）已知集合，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围；
（2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围．
【详解】（1）由，得
①若，即时，，符合题意；
②若，即时，需或，解得．
综上，实数的取值范围为．
（2）由已知是的真子集，知两个端不同时取等号，解得．
由实数的取值范围为．
27．（2023秋·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）已知集合，．
(1)若时，求，；
(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）解二次不等式化简集合A，代入得到集合，再利用集合的交并补运算即得；
（2）由题设条件得到是A的真子集，列不等式组即可求得结果.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，
所以，或，
故；
（2）因为是的充分不必要条件，所以是A的真子集，
因为，
所以或，
解得，
所以.
28．（2023·高一单元测试）已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)当B为非空集合时，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分别求出集合，然后计算，最后；
（2）由题意知集合是集合的真子集，建立不等式组求解即可.
【详解】（1）∵ ，
∴ ．
当时，．
∴，
所以，或．
（2）∵为非空集合，是的充分不必要条件，
则集合是集合的真子集，
∴ ，
解得：，
∴m的取值范围是．
29．（2023秋·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知条件实数满足，条件实数满足，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式，必要而不充分条件等价为集合的包含关系，即可列不等式组求解.
【详解】，因为是的必要而不充分条件，
所以，所以且等号不同时成立，所以，
故选：B.
30．（2023秋·高一单元测试）已知，（其中实数）.
(1)分别求出p，q中关于x的不等式的解集M和N；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接根据一元二次不等式的解法可得答案；
（2）先把必要不充分条件转化为集合的包含关系，然后列出不等式组，解不等式组即可得答案.
【详解】（1）由，得；
，
∵，∴，
∴.
（2）∵p是q的必要不充分条件，∴，
∴或
解得，
又，∴，
即实数m的取值范围为.
31．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知全集为R，集合，.
(1)求；
(2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据交集定义计算；
（2）由必要不充分条件得集合的包含关系，由包含关系得参数范围．
【详解】（1），又，
；
（2）因为“”是“的必要不充分条件，所以，
因为，所以且等号不同时成立，
解得，即
32．（2023秋·江苏连云港·高一统考期末）设全集，集合，非空集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式解法可得集合，将代入得集合即可求得；
（2）由必要不充分条件的定义可知集合,之间的关系，即可求得a的取值范围．
【详解】（1）解集合对应的一元二次不等式可得，
所以，或
当时，，
或=或，
（2）若“是“的必要不充分条件，
等价于非空集是集合的真子集，
即，解得（两端点不会同时取等号，所以等号符合题意）．
即a的取值范围为.
33．（2023·全国·高一专题练习）设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；
（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是.
34．（2023秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知，.
(1)是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)
【分析】（1）判断不存在，先化简条件，假设存在时，则是方程的两根，利用韦达定理可推出矛盾，故假设不成立；
（2）由题设可知集合为不等式解集的真子集，由二次函数的图像性质可得，进而求得，再检验两个端点，即可求得的取值范围.
【详解】（1）不存在，理由如下：
由得，故，即，
假设存在a，使得p是q的充要条件，则不等式的解集为，
所以是方程的两根，故，此方程组无解，故假设不成立，
所以不存在实数a，使得p是q的充要条件.
（2）若p是q的充分不必要条件，则集合为不等式解集的真子集，
令，则由二次函数的图像性质可得，
即，解得，故，
当时，得，解得，满足题意，
当时，得，解得，满足题意
所以实数a的取值范围为.
考点三 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
35．【多选】（2023秋·高一单元测试）下列四个命题的否定为真命题的是（ ）
A．p:所有四边形的内角和都是
B．q:,
C．是无理数，是无理数
D．s:对所有实数a，都有
【答案】BD
【分析】A选项，判断出为真命题；B选项，写出，得到其为真命题；C选项，举出反例得到为真命题；D选项，举出反例得到为假命题.
【详解】A选项，所有四边形的内角和都是，故为真命题，则为否命题，A错误；
B选项，，，由于，故为真命题，B正确；
C选项，当时，也是无理数，故为真命题，则为假命题，C错误；
D选项，当时，，故为假命题，故为真命题，D正确.
故选：BD
36．【多选】（2023·江苏·高一假期作业）下列结论中正确的是（ ）
A．，能被2整除是真命题
B．，不能被2整除是真命题
C．，不能被2整除是真命题
D．，能被2整除是真命题
【答案】CD
【分析】由全称命题与特称命题的性质，举例说明命题的真假.
【详解】当时，不能被2整除，当时，能被2整除，
所以A、B错误，C、D正确．
故选：CD.
37．【多选】（2023秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若且则至少有一个大于B．
C．的充要条件是D．至少有一个实数，使得
【答案】ABD
【分析】假设，中没有一个大于得，与矛盾可判断A；可判断B；取时可判断C；取可判断D.
【详解】对于A，假设，中没有一个大于2，即，，则，与矛盾，故A正确；
对于B，由即，则，故在上恒成立，故B正确；
对于C，当时，，推不出，必要性不成立，故C错误；
对于D，当，此时，所以至少有一个实数，
使得，故D正确.
故选：ABD.
38．（2023·高一课时练习）有下列四个命题：
①对任意实数均有； ②不存在实数使；
③方程至少有一个实数根； ④使，
其中假命题是__________（填写所有假命题的序号）．
【答案】③
【分析】根据不等式的性质判断①，根据完全平方数的非负性判断②，计算即可判断③，利用特殊值判断④.
【详解】对于①：因为，所以对任意实数均有，故①为真命题；
对于②：因为，所以不存在实数使，故②为真命题；
对于③：对于方程，，
故方程无实数根，所以③为假命题；
对于④：当时，故使，即④为真命题.
故答案为：③
39．（2023·江苏·高一假期作业）判断下列命题的真假.
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；
(3)存在一个实数x，使得方程成立；
(4)；
(5).
【答案】(1)假命题
(2)真命题
(3)假命题
(4)真命题
(5)真命题
【分析】（1）举反例说明命题为假命题；（2）举特例说明存在性；（3）用判别式判断二次方程根的情况；（4）举特例说明存在性；（5）可证明结论恒成立.
【详解】（1）是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示．
（2）是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形．
（3）是假命题，方程的判别式，故方程无实数根．
（4）是真命题，或，都能使成立．
（5）是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，所以对整数也成立．
考点四 全称量词命题与存在量词命题的否定
40．（2023秋·广东汕尾·高一海丰县海城仁荣中学校考阶段练习）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题“，”的否定是“，”．
故选：B．
41．（2023秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可.
【详解】根据全称命题的否定可得，命题“，”的否定为
“，”.
故选：C
42．（2023秋·安徽合肥·高一统考期末）已知命题，总有，则为（ ）
A．，使得B．，使得
C．，总有D．，总有
【答案】B
【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定．
【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知，则为，使得.
故选：B．
43．（2023·全国·高一假期作业）已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用含有量词的否定方法进行求解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
44．（2023·江苏·高一假期作业）已知命题：，，使得，则为（ ）
A．，，使得
B．，，使得
C．，，使得
D．，，使得
【答案】C
【分析】由全称命题和特称命题的否定形式，可得解.
【详解】由全称命题和特称命题的否定形式，可得命题：，，
使得的否定为：，，使得.
故选：C .
45．（2023秋·浙江杭州·高一校考阶段练习）命题，，则命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.
【详解】解：因为命题，是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即 ，，
故选：B
46．（2023·全国·高一假期作业）若命题p的否定为：，则命题p为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用含有量词的否定方法进行求解.
【详解】因为命题p的否定为：，
所以命题p为：.
故选：B.
47．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题“，”为特称量词命题，
其否定为：，.
故选：D
48．（2023秋·山西运城·高一统考期末）命题“，”的否定是______.
【答案】，
【分析】由存在量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题“，”为存在量词命题，
该命题的否定为“，”.
故答案为：，.
49．（2023春·云南·高一统考期末）命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.
【详解】存在量词命题命题的否定为全称量词命题，
故“，”的否定为：，.
故选：B
50．（2023·高一单元测试）已知命题：，，则为______.
【答案】，
【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定即得.
【分析】因为命题：，，
所以为，.
故答案为：，.
51．（2023·全国·高一假期作业）写出下列命题的否定：
(1)正方形的四边相等；
(2)能被5整除的整数，末位数字都是0；
(3)有的三角形是直角三角形；
(4)至少存在一个实数x，使；
(5)存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分．
【答案】(1)存在一个正方形，它的四边不都相等；
(2)能被5整除的整数，末位数字不都是0；
(3)所有的三角形都不是直角三角形；
(4)；
(5)任意四边形的对角线不互相垂直或不互相平分．
【分析】根据命题的否定的形式即可求解.
【详解】（1）正方形的四边相等的否定为存在一个正方形，它的四边不都相等；
（2）能被5整除的整数，末位数字都是0的否定为能被5整除的整数，末位数字不都是0；
（3）有的三角形是直角三角形的否定为所有的三角形都不是直角三角形；
（4）至少存在一个实数x，使的否定为；
（5）存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分的否定为任意四边形的对角线不互相垂直或不互相平分．
考点五 根据含有量词的命题的真假求参数
52．（2023·全国·高一假期作业）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案.
【详解】命题“”为假命题，”是真命题，
方程有实数根，则，解得，
故选：A.
53．（2023秋·安徽马鞍山·高一统考期末）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】根据“，”是假命题，得出它的否定命题是真命题，转化为一元二次不等式的能成立问题，求出实数a的取值范围.
【详解】∵命题“，”是假命题，
∴命题“∃x∈R, ”是真命题，
即存在x使得.
因为，所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
54．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得“，使”是真命题，再根据二次不等式恒成立满足的判别式关系求解即可.
【详解】命题“，使”是假命题，
命题“，使”是真命题，
则判别式，解得.
故选：C.
55．（2023·全国·高一专题练习）若“，”是假命题，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出给定命题的否定，再由所得命题为真命题，求解作答.
【详解】命题“，”的否定是：，，
依题意，命题“，”为真命题，
当时，成立，则，
当时，不等式恒成立，则，解得，
综上得：，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
56．（2023·全国·高一专题练习）已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】A
【分析】根据全称量词命题的真假性以及一元二次不等式恒成立的知识列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】因为“，”为真命题，
所以，解得．
故选：A
57．（2023·江苏·高一假期作业）已知命题，命题.
(1)若命题为真命题，命题为假命题，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数，使得命题和均为真命题？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用二次函数性质及不等式恒成立可得为真命题时，再根据一元二次方程的判别式可得命题为假命题时，，结合即可求得结果；
（2）结合（1）的结果即可.
【详解】（1）由题意得：当时，可得，
当命题为真命题时，应满足，所以，
当命题为真命题时，方程有实数根，所以，即，
因此命题为假命题时，，
故当命题为真命题，命题为假命题时，有，
故实数的取值范围为．
（2）由（1）知，若命题和均为真命题，则显然无解，
故不存在实数，使得命题和均为真命题．
58．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市外国语学校校考阶段练习）命题：，；命题：，
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(3)当命题为假命题且命题为真命题时，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由条件可得，据此求解即可；
（2）的否定“，”为真命题，由此即可得解；
（3）分别求出命题为假与命题为真时实数m的取值范围，再求两者交集即可.
【详解】（1）若命题p为真命题，则，解得，
所以实数m的取值范围是；
（2）若命题q为假命题，则q的否定“，”为真命题，
则，解得，
所以实数m的取值范围是；
（3）由（1）可知当命题为假时，，
由（2）可知为真时，或，
所以当命题为假命题且命题为真命题时，有或，故，
所以实数m的取值范围是.
59．（2023秋·江苏南通·高一江苏省南通中学校考期中）已知命题：对任意实数，不等式都成立，命题：关于的方程无实数根.若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】先求出真、真时的取值范围，根据题设条件可得真假或假真，从而可求出实数的取值范围.
【详解】若真，对任意实数，不等式都成立.
∴当时，显然对于任意实数，不等式不都成立
当时，，解得
∴真时，；
若真，则方程无实数根，
∴，
∴真时，.
∵命题、中有且仅有一个真命题，
∴当真假时，且，故实数m的取值范围是：；
当假真时，且，故实数m的取值范围是：；
综上，实数的取值范围为