2024鹰潭高二上学期期末数学试题

这是一份2024鹰潭高二上学期期末数学试题，共17页。试卷主要包含了下列命题中，正确的命题有，3，乙地的降雨概率是0等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页.时量120分钟.满分150分.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.
1.若双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.关于的一组样本数据，的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.已知正方体的棱长为2，点为线段上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.
4.若直线关于直线对称的直线为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码.最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有多少（ ）种不同的编码.
A.120 B.60 C.40 D.10
6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点为椭圆上的一点，为椭圆的两个焦点，则点处的切线平分外.根据此信息回答下列问题：已知椭圆为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（ ）
A. B.2 C.3 D.
7.若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
8.已知圆和直线，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题中，正确的命题有（ ）
A.设随机变量，则
B.若样本数据的方差为3，则数据的方差为25
C.天气预报，五一假期甲地的降雨概率是0.3，乙地的降雨概率是0.2，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为0.5
D.在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好
10.下列命题中正确的是（ ）
A.与夹角为钝角，则的取值范围是
B.在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点对称点的坐标为
C.若对空间中任意一点，有，则四点共面
D.任意空间向量满足
11.已知直线与圆C：相交于A，B两点，则（ ）
A.直线过定点 B.圆的半径为3
C.当时， D.圆心到直线的最大距离是2
12.已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C.存在某条直线，使得
D.若点，则周长的最小值为
第II卷非选择题
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知随机变量服从正态分布，若，则__________.
14.已知点在抛物线上，则到的准线的距离为__________.
15.在的展开式中，含项的系数是__________.
16.设双曲线的左､右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线与的左，右两支分别交于两点，且，则的离心率的值为__________.
四､解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22小题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知圆，直线
（1）当直线与圆相交时，求的取值范围.
（2）若为直线与轴的交点，过作圆的切线，求切线的方程.
18.已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答.
问题：已知二项式，__________.
（1）求展开式中的二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的系数最大的项.
19.积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一､高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表：
（1）请完成2×2列联表，依据小概率值1的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？
（2）以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附表及公式：
其中
20.6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
（1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
（2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
（3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目A，同学乙不参加项目D，求一共有多少种不同录用方式？
21.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为正三角形，为的中点，且平面平面是线段上的点.
（1）求证：；
（2）是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，若存在；求出此时的值；若不存在，请说明理由.
22.如图所示，分别为椭圆.的左､右顶点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线与椭圆交于两点，证明直线过定点，并求面积的最大值.
鹰潭市2023—2024学年度上学期期末质量检测
高二数学参考答案
1-8ABCD DACB
9.AD 10.BC 11.BCD 12.ABD
14. 15.164 16.
1.A 【解析】由题意可知，，则，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
2.B 【解析】因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是，
可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，
且所有样本点都在直线上，则有相关系数，
3.C 【解析】正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，
以D为坐标原点，DA､DC､所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），设P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2），
，
设异面直线的公共法向量为，
则，取x=1，得，
∴点P到直线AC的距离为：
，
点P到直线AC的距离的最小值为.
4.D 【解析】联立，解得，即与l的交点为.
又点在上，设A关于l的对称点为，
则，解得，即，
所以直线的斜率，
从而直线的方程为，
即.
5.D 【解析】由题意可得，该题等价于将5个元素（3个分别相同､2个分别相同）排成一列的所有排列数.
6.A 【解析】如下图所示：
延长､交于点，由题意可知，
又因为，则为的中点，且，
所以，，
又因为为的中点，则.
7.C 【解析】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，，
从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为，
则
，
解得，则的最大值为6.
8.B 【解析】由题意可得：，
所以，
要使得最小，只需直线上的动点到点的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离，此时，且满足.
所以此时直线的方程为：，即，
联立，解得：，即，
由于四点共圆，以为直径的圆的方程：，
即：，联立两个圆的方程，
得到直线的方程为：.
9.AD 【解析】选项A，随机变量，则，故A正确；
选项B，由题意，设原数据组的平均数为，
方差为，
则新数据组的的平均数为
，
则方差为
，故B错误；
选项C，由题意，甲地不降雨的概率为，乙地不降雨的概率为，
由相互独立事件同时发生的概率公式得，故C错误；
选项D，由决定系数表达式，
表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，
且越接近于1，表示回归的效果越好，故选D正确.
10.BC 【解析】对于选项A：由，可得，解得；
由共线可得，即有，，解得，
所以的取值范围是，且，故A错误；
对于选项B：点，点关于坐标原点对称点的坐标为，故B正确；
对于选项C：，满足，故四点共面，故C正确；
对于选项D：表示与共线的向量，表示与共线的向量，二者不一定相等，故D错误.
11.BCD 【解析】对A，由可得，，
所以直线l过定点，A错误；
对B，圆C：的圆心为
半径，B正确；
对C，时，直线l：，
圆心到直线的距离为2，
所以，C正确；
对D，设l过定点，则，
当时，圆心C到直线l的距离最大，最大为，D正确；
12.ABD 【解析】由对称性得点在抛物线上，
所以，解得，故A选项正确；
设直线和双曲线交于两点，
设直线方程为，
代入抛物线方程可得：，，
所以，
所以：
故B选项正确；
则，
当且仅当时等号成立，故C错误；
如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点为，过点作轴的垂线，
过作垂直于准线，垂足为，
所以的周长为，
当且仅当点的坐标为时取等号，故D选项正确.
故选：ABD.
【解析】随机变量X服从正态分布，，
由正态分布图像的对称性可得曲线关于对称.
，
.
故答案为：0.36.
14. 【解析】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
15.164 【解析】因为的二项展开式为，
可知的展开式中，含项的系数是，
由的展开式中，
可得项的系数
，
所以含项的系数是164.
16. 【解析】设直线l与圆C的切点为，则，，
由，得，
过点作于点Q，则，
由O为的中点，得，
因为为锐角，所以，
有，得，
所以，由双曲线的定义知，
，即，解得，
又，所以，所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
17.【解析】（1）解：由题意，圆即为，
圆心为，半径为.
∵直线与圆相交，则圆心到直线的距离
∴，即，解得：.
∴的取值范围是.
（2）解：
∵为直线与轴的交点，∴，则在圆外.
当过的直线斜率不存在时，直线方程为..
此时圆心到直线的距离为，则直线为切线
当过的直线斜率存在时，设切线方程为即，
由圆心到切线的距离，解得：
则切线方程为，即.
综上，过作圆的切线的方程为或.
18.【解析】（1）选①：令得所有项的系数和为，又二项式系数和为，所以，
解得：
选②：由题意：，化简得：，所以..
所以展开式中的二项式系数最大的项为第三､四项，
因为
即：.
（2）展开式第项为，
由得且，
所以，所以系数最大的项为
..
19.【解析】（1）由100名学生中高三年级的学生占，可知高三年级的学生有60人，高一年级的学生有40人..
补充完整的列联表，如下：
.提出零假设：“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”无关.
根据列联表中的数据，得.
根据小概率值的独立性检验，我们推断H₀不成立，即认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001..
（2）由（1）得，高一年级的学生对公式的掌握情况合格的频率为.
依题意，得
则，，
，.
所以的分布列为
.
20.【解析】
（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲､乙､丙､丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，
所以共有.
（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种；
再分到4个项目，即可得共有.
（3）先考虑全部，则共有种排列方式，
其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；
甲参加项目同时乙参加项目共有种，
根据题意減去不满足题意的情况共有种..
21.【解析】
（1）证明：连接，，如图所示，
因为四边形是菱形，所以，
因为，所以为等边三角形，
又因为为的中点，所以
因为是等边三角形，为中点，所以，
因为，平面，所以平面
又因为，所以平面，
因为平面，所以.
（2）存在，，理由如下：
因为平面平面，平面平面，
由（1）知，，平面，所以平面，
因为，以点为坐标原点，，，所在直线分别
为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，，
设，，
.
设平面的一个法向量，
，取，得：.
因为直线与平面的夹角的正弦值为，
所以：，
整理得：，由，解得：.
故存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，此时：.
22.【解析】（1）由已知可得：，解得：，，
∴椭圆的方程为：..
（2）∵，
设的直线方程为：，，，
联立方程：，
整理得：，
∴，.
∵，，
，
即，
，
，
，
整理得，解得或（舍去）
∴，
，
∴.
令，
则，
由对勾函数单调性知，.
所以，当且仅当时，即时等号成立，
此时最大值为.合格
不合格
总计
高三年级学生
54
高一年级学生
16
总计
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
合格
不合格
合计
高三年级的学生
54
6
60
高一年级的学生
24
16
40
合计
78
22
100
0
1
2
3