河南省南阳市南召县2023-2024学年八年级（上）学期期末数学试卷（含解析）

这是一份河南省南阳市南召县2023-2024学年八年级（上）学期期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A．B．C．D．
2．下列算式中，结果等于的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列实数，，，，中，无理数出现的频率为（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．真命题的逆命题一定是真命题B．假命题的逆命题一定是假命题
C．所有的定理都有逆定理D．所有的命题都有逆命题
5．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（ ）
A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°
6．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点、到脚杆的距离相等，点、、在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（ ）

A．等边对等角B．垂线段最短
C．等腰三角形的三线合一D．是的垂直平分线
7．如图，点E在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．如图1，已知 AB=AC，D为∠BAC 的平分线上一点，连接 BD、 CD；如图2，已知 AB= AC，D、E为∠BAC的平分线上两点，连接 BD、CD、BE、CE；如图3，已知 AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、 BF、CF；…，依次规律，第 n个图形中全等三角形的对数是（ ）

A．nB．2n-1C．D．3（n+1）
9．乐乐爸爸的公司今年1—7月份的销售额在七个月之内增长率的变化状况如图所示．从图上看出，下列结论正确的是（ ）
A．1—6月份销售额在逐渐减少
B．在这七个月中，1月份的销售额最大
C．这七个月中，每月的销售额不断上涨
D．这七个月中，销售额有增有减
10．如图，在中，，，是的中线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
二、填空题
11．比较大小： 5（填“”，“”或“”）
12．已知，，则 ．
13．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图，衣架杆，若衣架收拢时，，则此时两点之间的距离为 ．
14．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝8，BC＝12，△ABD的面积为16，则△CBD的面积为 ．
15．如图，A，B，C，D四点都在3×3正方形网格的格点上，则∠ADB﹣∠BDC＝ °
三、解答题
16．（1）计算：
（2）分解因式：．
17．先化简，再求值：，其中x是4的算术平方根．
18．为深化课程改革，某校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取七年级名学生进行调查，从：文学鉴赏，：科学探究，：文史天地，：趣味数学四门课程中选出你喜欢的课程（被调查的每名学生必选且只能选择一门课程），并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
（1）_________，_________；
（2）扇形统计图中，“”所对应的扇形的圆心角度数是________度；
（3）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图.
19．如图，四边形中，，E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连结，若，求证：是的角平分线．
20．如图，是的一个外角．
(1)尺规作图，过A作边的平行线．（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，若平分．求证：．
21．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则
原式．
再将“A”还原，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：_________；
（2）因式分解：；
（3）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方．
22．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
(1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积．你求出的面积为______．
(2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，如图），你能帮助他们求出面积吗？
23．问题呈现：证明命题：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在中，．
求证：．

证明：如图，延长至点D．使，连接．
(1)请根据提示，结合图形，写出完整的证明过程．
(2)结论运用：
①如图，小明在汽车上看见前面山顶上有一个气象站，此时测得水平线与视线的夹角为，当汽车又笔直地向山的方向行驶4千米后，小明再看气象站，测得水平线与视线的夹角为．那么这个气象站离地面的高度为______千米．

②如图，为等边三角形，相交于点P，于点Q，．求的长．

参考答案：
1．B
【详解】∵2＜＜3，－3＜－＜－2，－4＜－＜－3
∴P点表示的数可能是
故选B
2．B
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂乘方、幂的乘方、同底数幂除法，根据相关法则逐一计算，即可得到答案．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，不符合题意，选项错误；
B、，符合题意，选项正确；
C、，不符合题意，选项错误；
D、，不符合题意，选项错误；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查频数与频率，算术平方根，无理数，解题的关键是根据无理数的定义以及“频率＝频数÷总次数”进行列式计算即可．
【详解】解：下列实数，，，，中，无理数有：，，，共个，
∴无理数出现的频率为：．
故选：C．
4．D
【分析】根据互逆命题的定义对A进行判断；根据命题与逆命题的真假没有联系可对B、C、D进行判断．
【详解】解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，所以A选项错误；
B、假命题的逆命题不一定是假命题，所以B选项错误．
C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误；
D、每个命题都有逆命题，所以D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
5．B
【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．
【详解】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．
6．C
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，，
，
工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的三线合一，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，①等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7．A
【分析】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理求得即可．
【详解】解：由题意，，，，
由勾股定理得，
∴正方形的面积为，
故选：A．
8．C
【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．
9．C
【分析】这七个月中，股票的增长率始终是正数，前六个月的股票增长率不断下降，七月份增长率上涨据此进行解答即可．
【详解】解：由折线统计图可知1~6月份股票月增长率逐渐减少，7月份股票的月增长率开始回升，这七个月中，股票的增长率始终是正数，则每月的股票不断上涨，所以C正确，A、B、D均错误．
故答案是C．
【点睛】本题主要考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，在图形中纵轴表示的是增长率，只有增长率是负数，才表示股票下跌．
10．D
【分析】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．在上截取，连接、、，由，是的中线，得，由，平分，得垂直平分，则，所以，因为，所以当，且的值最小时，的值最小，此时的值最小，作于点，由，求得，所以的最小为，则的最小值为，于是得到问题的答案．
【详解】解：在上截取，连接、、，
，是的中线，
，
，平分，
垂直平分，
，
，
，
当，且的值最小时，的值最小，此时的值最小，
作于点，则，
，
解得，
当与重合时，，此时的值最小，，
的最小值为，
故选：D．
11．
【分析】先把5化成，再与比较大小，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，注意无理数和有理数比较大小，常把有理数化成根式的形式，再进行比较．
12．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
13．20
【分析】根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：20．
【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
14．24
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据角平分线性质求出DE=DF，根据△ABD的面积为16求出DE=DF=4，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝a，
∵△ABD的面积为16，AB＝8，
∴＝16，
∵AB＝8，
∴DE＝4，
∴DF＝4，
∵BC＝12，
∴＝＝24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DE=DF是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
15．45
【分析】根据轴对称图形的性质得到∠EDB＝∠CDB，可得∠ADB−∠BDC＝∠ADE，根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到△EAD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】如图，找到C点关于DB的对应点，连结DE，AE，
则∠EDB＝∠CDB，
∴∠ADB−∠BDC＝∠ADB−∠BDE＝∠ADE，
∵，，
∴
∴，
∴△EAD是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝45°，即∠ADB−∠BDC＝45°．
故答案为：45．
【点睛】此题主要考查了轴对称、勾股定理和勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，得出∠ADB−∠BDC＝∠ADE是解题关键．
16．（1）；（2）
【分析】本题考查了整式的乘除，分解因式．
（1）根据单项式乘以单项式、单项式除以单项式计算即可；
（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17．，14
【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式，完全平方公式，利用平方差公式，完全平方公式进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：


当时
原式．
18．（1）160，15;（2）108;（3）见解析.
【分析】（1）根据课程的人数和所占的百分比求出的值，再根据课程的人数求出；
（2）用课程所占的百分比乘以求出所对应的扇形的圆心角度数；
（3）用总人数减去、、的人数，求出的人数，从而补全统计图.
【详解】（1），
，
则；
故答案为；.
（2）所对应的扇形的圆心角度数是；
故答案为.
（3）最受欢迎的文史天地人数有（人），补图如下：
【点睛】本题考查了条形图和扇形图及用样本估计总体等知识，难度不大，综合性较强.注意三个公式：①该项所占的百分比，②圆心角，③欢迎某项人数.
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各判定和性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到，再根据证明即可；
（2）由得到，根据垂直平分得到，推出，由此证得，即可得到是的角平分线．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵垂直，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，等角对等边，
（1）作，即可得到；
（2）利用平分得到，根据推出，由此得到，即可推出；
熟练掌握各性质定理是解题的关键．
【详解】（1）如图所示，以B为圆心，以任意长为半径画弧，交于点M，N，以A为圆心，以长为半径画弧，交于F，再以F为圆心长为半径画弧，两弧交于G，连接即为所求平行线．
∵，
∴；
（2）∵平分．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．（1）(x-y+1)2；（2）(a+b-2)2；（3）见解析
【分析】（1）把(x-y)看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A=a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1，进一步整理为(n2+3n+1)2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【详解】解：（1）
=(x-y+1)2；
（2）令A=a+b，则原式变为A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2，
故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2；
（3）(n+1)(n+2)(n2+3n)+1
=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
22．(1)30
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求解即可；
（2）过A作交于点D．设，则，利用勾股定理分别求得、、即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴该三角形为直角三角形，其中13为斜边，
∴这块试验基地的面积为，
故答案为：30；
（2）解：过A作交于点D．
设，则．
在和
由勾股定理得
，
解得，
在中，由勾股定理得,
∴．
23．(1)见解析
(2)①2；②
【分析】（1）如图2，延长至点D．使，连接，则，由线段垂直平分线的性质得到，求出，判定是等边三角形，得到，即可证明；
（2）①由等角对等边得到，由含30度角的直角三角形的性质即可求出长．
②由，得到，由三角形外角的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，求出，即可得到．
【详解】（1）证明：如图，延长至点D．使，连接，则，

∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：①如图，是气象站离地面的高度，

∵，
∴，
∴千米，
∵，
∴（千米），
∴气象站离地面的高度是2千米，
故答案为：2．
②∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质以及仰角俯角，熟练掌握相关知识的联系与运用，解答关键是通过作辅助线构造等边三角形；