2023-2024学年广东省湛江市经开区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省湛江市经开区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四种网络运营商的标志中，轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若分式x+3x−2的值为0，则x的值为( )
A. x=−3B. x=2C. x≠−3D. x≠2
3.下列图形中有稳定性的是( )
A. 平行四边形B. 三角形C. 长方形D. 正方形
4.要使分式3x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠1B. x>1C. x<1D. x≠−1
5.下列长度的三根木条首尾相连，能组成三角形的是( )
A. 3，4，8B. 8，7，15C. 2，2，3D. 5，5，11
6.下列运算中正确的是( )
A. a⋅a2=a2B. (a3)2=a6C. x6÷x3=x2D. (3a)3=9a3
7.在平面直角坐标系中，点(2,−1)关于x轴对称的点是( )
A. (2,1)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (−2,−1)
8.如图，在△ABC中，∠A=70°，直线DE分别与AB，AC交于D，E两点，则∠1+∠2=( )
A. 110°B. 140°C. 180°D. 250°
9.如图，AC、BD相交于点O，OA=OC，要使△AOB≌△COD，则下列添加的条件中，错误的是( )
A. ∠A=∠C
B. AB=CD
C. OB=OD
D. ∠B=∠D
10.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，AE的中点，且S△ABC=12cm2，则阴影部分面积S=cm2．( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解5a2−a= ______．
12.等腰三角形的一个内角为100°，这个等腰三角形底角的度数为______．
13.如图所示，∠CAB的外角等于120°，∠B等于40°，则∠C的度数是______．
14.有一种病毒的直径为0.000068米，用科学记数法可表示为______米．
15.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是______．
16.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：(−1)3+(π+2022)0+(12)−2．
18.(本小题4分)
(m+2n)(3n−m)．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：(xx−2−1x−2)÷x2−xx2−4，其中x=3．
20.(本小题6分)
如图，BD/​/AC，BD=BC，且BE=AC．
求证：∠D=∠ABC．
21.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°．
(1)作AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交BC于点D；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2)连接DA，若BD=6，求CD的长．
22.(本小题10分)
习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠B=60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动.在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN．
(1)当∠BAM= ______°时，AB=2BM；
(2)请添加一个条件：______，使得△ABC为等边三角形；
(3)在(2)的条件下，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM=AC．
24.(本小题12分)
【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①______图②______；
(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______(用字母a、b表示)；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m−n=3，2m+n=4，则4m2−n2的值为______；
②计算：(x−3)(x+3)(x2+9)；
【拓展】计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)的结果为______．
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中A(a,0)，B(0,b)，满足a2−4a+4+|b−4|=0．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)∠OBA的平分线BC与∠OAB的外角平分线AM交于点C，求点∠C的度数；
(3)在平面内是否存在点P，使△ABP为等腰直角三角形．若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
利用轴对称图形的定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了分式的值为零的条件．
根据分式的值为零，则分子为0且分母不为0，得出答案．
【解答】
解：因为分式x+3x−2的值为0，
所以x+3=0且x−2≠0，
解得：x=−3．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
故选：B．
根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．
本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】
根据分式有意义得出分母不为0，列式计算可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，分式有意义即分母不为零．
【解答】
解：由题意得，x−1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，进行分析．
【解答】
解：A、3+4<8，不能组成三角形；
B、8+7=15，不能组成三角形；
C、2+2>3，能够组成三角形；
D、5+5<11，不能组成三角形．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：A、a⋅a2=a3，故A不符合题意；
B、(a3)2=a6，故B符合题意；
C、x6÷x3=x3，故C不符合题意；
D、(3a)3=27a3，故D不符合题意；
故选：B．
利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7.【答案】A
【解析】【分析】
直接利用关于x轴对称点的坐标特征进而得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
【解答】
解：点(2,−1)关于x轴对称的点是：(2,1)．
故选：A．
8.【答案】D
【解析】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
而∠A=70°
∴∠B+∠C=110°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠1+∠2=250°．
故选：D．
先利用三角形内角和定理计算出∠B+∠C=110°，然后根据四边形内角和为360°计算∠1+∠2的度数．
本题考查了三角形的内角和定理：记住三角形内角和和四边形的内角和．
9.【答案】B
【解析】解：∵OA=OC，∠AOB=∠COD (对顶角相等)，
∴A、如果添加∠A=∠C，则可根据ASA判定△AOB≌△COD；
B、如果添加AB=CD，则根据SSA不能判定△AOB≌△COD；
C、如果添加OB=OD，则可根据SAS判定△AOB≌△COD；
D、如果添加∠B=∠D，则可根据AAS判定△AOB≌△COD．
故选：B．
观察图形可知：已有一角一边对应相等．根据三角形全等的判定方法解答．
此题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵点D为BC的中点，
∴S△ABD=S△ADC=12S△ABC=6，
∵点E为AD的中点，
∴S△EBD=S△EDC=12S△ABD=3，
∴S△EBC=S△EBD+S△EDC=6，
∵点F为EC的中点，
∴S△BEF=12S△BEC=3，
即阴影部分的面积为3cm2．
故选：C．
根据三角形面积公式由点D为BC的中点得到S△ABD=S△ADC=12S△ABC=6，同理得到S△EBD=S△EDC=12S△ABD=3，则S△BEC=6，然后再由点F为EC的中点得到S△BEF=12S△BEC=3．
本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
11.【答案】a(5a−1)
【解析】解：原式=a(5a−1)．
故答案为：a(5a−1)．
直接提取公因式a即可．
本题考查了因式分解−提公因式法，解答本题要先找出公因式，然后提取公因式即可．
12.【答案】40°
【解析】解：∵100°为三角形的顶角，
∴底角为：(180°−100°)÷2=40°．
故答案为：40°．
因为三角形的内角和为180°，所以100°只能为顶角，从而可求出底角．
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
13.【答案】80°
【解析】【分析】
本题主要考查三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键，根据三角形外角的性质可得答案．
【解答】
解：∵∠CAB的外角=∠B+∠C，且∠CAB的外角等于120°，∠B等于40°，
∴∠C=80°，
故答案为80°．
14.【答案】6.8×10−5
【解析】解：0.000068=6.8×10−5；
故答案为：6.8×10−5．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为(n−2)×180°解答．
根据内角和定理180°⋅(n−2)即可求得．
【解答】
解：∵多边形的内角和公式为(n−2)⋅180°，
∴(n−2)×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
16.【答案】10
【解析】解：如图，连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=20，
解得AD=10，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
连接AM，则BM+DM=AM+DM≥AD，
∴当点M在线段AD上时，BM+DM的值最小，
∴AD的长为BM+MD的最小值为10．
故答案为：10．
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
17.【答案】解：(−1)3+(π+2022)0+(12)−2
=−1+1+4
=4．
【解析】根据乘方的意义、零指数幂、负指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握乘方的意义、零指数幂、负指数幂的运算法则．
18.【答案】解：原式=3mn−m2+6n2−2mn
=6n2−m2+3mn−2mn
=6n2−m2+mn．
【解析】根据多项式乘多项式法则进行计算即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则．
19.【答案】解：原式=x−1x−2⋅(x+2)(x−2)x(x−1)
=x+2x，
当x=3时，原式=3+23=53．
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】证明：∵BD/​/AC，
∴∠ACB=∠EBD，
在△ABC和△EDB中，
CB=BD∠ACB=∠EBDAC=EB，
∴△ABC≌△EDB(SAS)，
∴∠ABC=∠D．
【解析】由平行线的性质得出∠ACB=∠EBD，证明△ABC≌△EDB(SAS)，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠D．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明△ABC≌△EDB是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示：
(2)∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=6，
∵∠B=30°，
∴∠DAB=∠B=30°，
∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠CAB=60°，
∴∠CAD=60°−30°=30°，
∴CD=12AD=3，
【解析】(1)分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线，交AB于点E，交BC于点D；
(2)根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD=6，再根据等边对等角可得∠DAB=∠B=30°，然后再计算出∠CAB的度数，进而可得∠CAD的度数，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=12AD=3．
此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，以及直角三角形的性质，关键是正确掌握垂直平分线的作法，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
22.【答案】解：(1)设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要(x+1)万元，
依题意得：15x+1=10x，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，
∴x+1=2+1=3．
答：购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．
(2)设购买m件甲种农机具，则购买(20−m)件乙种农机具，
依题意得：3m+2(20−m)≤46，
解得：m≤6．
答：甲种农机具最多能购买6件．
【解析】(1)设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要(x+1)万元，利用数量=总价÷单价，结合用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出购买1件乙种农机具所需费用，再将其代入(x+1)中即可求出购买1件甲种农机具所需费用；
(2)设购买m件甲种农机具，则购买(20−m)件乙种农机具，利用总价=单价×数量，结合总价不超过46万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】30 AB=AC(答案不唯一)
【解析】(1)解：当∠BAM=30°时，
∴∠AMB=180°−60°−30°=90°，
∴AB=2BM；
故答案为：30；
(2)解：添加一个条件AB=AC，可得△ABC为等边三角形；
故答案为：AB=AC(答案不唯一)；
(3)证明：如图，∵点M在线段BC上，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC−∠MAC=∠MAN−∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
AB=AC∠BAM=∠CANAM=AN，
∴△BAM≌△CAN(SAS)，
∴BM=CN，
∴CN+CM=BM+CM=BC=AC．
(1)根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；
(2)利用等边三角形的判定解答；
(3)利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可．
本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答，属于中考常考题型．
24.【答案】a2−b2 (a+b)(a−b) (a+b)(a−b)=a2−b2 12 264−1
【解析】解：(1)图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2；图②的阴影部分为长为(a+b)，宽为(a−b)的矩形，其面积为(a+b)(a−b)．
故答案为：a2−b2，(a+b)(a−b)；
(2)由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，(a+b)(a−b)=a2−b2，
故答案为：(a+b)(a−b)=a2−b2；
①4m2−n2=(2m−n)(2m+n)=3×4=12，
故答案为：12；
②(x−3)(x+3)(x2+9)=(x2−9)(x2+9)=x4−81；
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)，
=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)，
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)，
=(24−1)(24+1)(28+1)…(232+1)，
=(28−1)(28+1)…(232+1)，
=264−1．
(1)图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2，而图②的阴影部分为长为(a+b)，宽为(a−b)的矩形，可表示出面积为(a+b)(a−b)．
(2)由由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式；
①利用公式将4m2−n2写成(2m−n)(2m+n)进而求出答案，
②连续两次利用平方差公式进行计算即可，
将原式转化为(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)，再连续使用平方差公式，得出最后的结果．
考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
25.【答案】解：(1)∵a2−4a+4+|b−4|=0，
∴(a−2)2+|b−4|=0，
∵(a−2)2≥0，|b−4|≥0，
∴a=2，b=4，
∴A(2,0)，B(0,4)；
(2)∵BC平分∠OBA，AM平分∠BAD，
∴∠CBA=12∠OBA,∠BAM=12∠BAD，
∵∠C+∠CBA=∠BAM，∠AOB=∠BAD−∠OBA，
∴∠C=∠BAM−∠CBA=12∠BAD−12∠OBA=12∠AOB=12×90°=45°；
(3)存在，满足条件的点共有6个，如图所示，

P1(6,2)，P2(−2,−2)，P3(4,6)，P4(−4,2)，P5(3,3)，P6(−1,1)．
【解析】(1)利用非负数的性质求解即可；
(2)利用角平分线的定义，三角形的外角的性质求解即可；
(3)根据等腰直角三角形的定义，画出图形，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．