2023-2024学年陕西省西安市长安区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市长安区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一组数据1，3，6，1，2的众数和中位数分别是( )
A. 1，6B. 1，1C. 2，1D. 1，2
2.下列式子中，正确的是( )
A. 3+ 2= 5B. 2 2−3 2=−1
C. 2× 3= 6D. 2÷ 2= 2
3.在平面直角坐标系中，点A(−1,2)关于y轴对称的点B的坐标为( )
A. (−1,2)B. (1,2)C. (1,−2)D. (−1,−2)
4.2023年12月18日23时59分在甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，牵动着师生们的心.某学校立即组织师生“献爱心”捐款活动，八年级一班第一小组9名同学捐款的金额(单位：元)如表所示：这9名同学捐款的平均金额为元．( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
5.如图，直线l1//l2，线段AB交l1，l2于D，B两点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C，若∠1=15°，则∠2=( )
A. 95°
B. 105°
C. 115°
D. 125°
6.二元一次方程组y=2−x3x=1+2y的解是( )
A. x=−1y=−1B. x=1y=1C. x=1y=−1D. x=−1y=1
7.如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠1=70°，则∠C的大小为( )
A. 40°
B. 50°
C. 75°
D. 85°
8.将直线y=−2x向下平移后得到直线l，若直线l经过点(a,b)，且2a+b=−7，则直线l的解析式为( )
A. y=−2x−2B. y=−2x+2C. y=−2x−7D. y=−2x+7
9.如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD=2，BC=6，则AB2+CD2的值为( )
A. 40
B. 38
C. 36
D. 32
10.《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的12，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的23，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为( )
A. x+23y=50y+12x=50B. x+12y=50y+23x=50C. x−12y=50y−23x=50D. x−23y=50y−12x=50
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11. 3倒数的最简式为______．
12.甲、乙两种水稻品种经过连续5年试验种植，每年的单位面积产量的折线图如图所示，经过计算，甲的单位面积平均产量x.甲=10，乙的单位面积平均产量x.乙=10，则根据图表估计，两种水稻品种产量比较稳定的是______．
13.已知a，b满足a+5b=153a−b=−3，则a+b= ______．
14.若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，则当m= ______时，它是直角三角形．
15.如图，正方形ABCO中，O是坐标原点，A的坐标为(1, 3)，则点C的坐标为______．
16.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D，若∠D=20°，则∠A=______．
17.将直线y=2x−1向上平移3个单位，再向右平移1.5个单位得到的函数关系式是______．
18.如图，∠A=∠1，∠2+∠3=180°，∠BDE=65°，则∠ACB的度数是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.解下列方程组：
(1)x−2y=03x+2y=8
(2)2(3x−1)=3+3y3x−1=2y
四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，求BC的长．
21.(本小题6分)
要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加全国比赛，在最近的5次选拔赛中、他们的成绩如下(单位：环)：
甲：7、8、6、8、9
乙：9、7、5、8、6
(1)甲运动员这5次选拔赛成绩的中位数和众数分别是多少？
(2)求乙运动员这5次选拔赛成绩的平均数和方差；
(3)若已知甲运动员的选拔赛成绩的方差为1.04，为了保证稳定发挥，应该选哪位运动员参加比赛？
22.(本小题8分)
如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF=∠EDF．
求证：∠DAF=∠F．
23.(本小题8分)
数学就在身边.为保护学生的身心健康，现在的学生课桌、椅的高度都是可以调节下的.小敏测量了一套课桌、椅原设计的四个档位桌椅高度，得到如下数据，课桌：68.0，72.8，76.0，79.2，椅子：38.0，41.0，43.0，45.0，他组织全班大部分同学试坐，要求根据自己身高，调节适合自己的课桌、椅高度，得到了如下对应数据：
(1)经过对上表数据研究，小敏发现：桌高y(cm)是椅高x(cm)的一次函数，小敏给符合这种装条件的课桌椅起了一个名字叫科学配套桌椅，请你帮助他求出一个一次函数的关系式.(不要求写出x的取值范围)
(2)小敏回家后，测量了自己家里的写字桌和椅子，写字桌的高度为78cm，椅子的高度为40.5cm，请你判断它们是否科学配套？说明理由．
24.(本小题12分)
如图1，AB/​/CD，在AB、CD内有一条折线EPF．
(1)求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF；
(2)在图2中，画∠BEP的平分线与∠DFP的平分线，两条角平分线交于点Q，请你补全图形，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系，并证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，已知∠BEP和∠DFP均为钝角，点G在直线AB、CD之间，且满足∠BEG=1n∠BEP，∠DFG=1n∠DFP，(其中n为常数且n>1)，直接写出∠EGF与∠EPF的数量关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵1出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是1，
把这组数据从小到大排列1，1，2，3，6，最中间的数是2，
则中位数是2；
故选：D．
根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
2.【答案】D
【解析】解：A、 3+ 2，不是同类二次根式，不能合并，错误；
B、2 2−3 2=−1，是同类二次根式相加，应等于− 2，错误；
C、2× 3=2 3≠ 6，错误；
D、2÷ 2= 2，正确，故选D．
本题考查了二次根式的加减乘除运算，被开方数相同的二次根式才能合并，分母有理化一定要找对有理化因式．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
3.【答案】B
【解析】解：点A(−1,2)关于y轴对称的点B的坐标为(1,2)，
故选：B．
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4.【答案】C
【解析】解：由题意，这9名同学捐款的平均金额为：17×3+20×2+14×1+10×39=15．
故选：C．
将各金额分别乘对应人数，求和，再除以总人数即可得到平均值．
本题主要考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
5.【答案】B
【解析】解：∵AC⊥AB，
∴∠A=90°，
∵∠1=15°，
∴∠ADC=180°−90°−15°=75°，
∵l1/​/l2，
∴∠3=∠ADC=75°，
∴∠2=180°−75°=105°，
故选：B．
利用垂直定义和三角形内角和定理计算出∠ADC的度数，再利用平行线的性质可得∠3的度数，再根据邻补角的性质可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
6.【答案】B
【解析】解：y=2−x①3x=1+2y②，
把①代入②得：3x=1+2(2−x)，
解得x=1，
把x=1代入①得：y=2−1=1，
故原方程组的解是：x=1y=1．
故选：B．
利用代入法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠B=25°，∠1=70°，∠1=∠2，
∴∠CDA=∠2+∠B
=∠1+∠B
=70°+25°
=95°．
在△ACD中，∵∠ADC+∠A+∠C=180°，
∴∠C=180°−∠ADC−∠A
=180°−95°−35°
=50°．
故选：B．
先利用外角与内角的关系求出∠ADC，再利用三角形的内角和定理求出∠C．
本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和等于180°”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设直线l的解析式为y=−2x+k，
又∵直线l经过点(a,b)，
∴−2a+k=b，
∴2a+b=k，
∵2a+b=−7，
故直线l的解析式为y=−2x−7．
故选：C．
先根据直线平移后k的值不变，只有b发生变化，可设直线l的解析式为y=−2x+k，再将点(a,b)代入，即可求解．
本题本题考查的是一次函数的图象与几何变换及运用待定系数法求函数的解析式，根据直线平移后k的值不变，设出直线l的解析式是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOB=∠AOD=∠COD=∠BOC=90°，
∴AB2=OA2+OB2，CD2=OD2+OC2，AD2=OA2+OD2=22=4，BC2=OC2+OB2=62=36，
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2=AD2+BC2=4+36=40，
故选：A．
由勾股定理得AB2=OA2+OB2，CD2=OD2+OC2，AD2=OA2+OD2=4，BC2=OC2+OB2=36，即可解决问题．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
x+12y=50y+23x=50，
故选：B．
根据甲得到乙的钱数的12，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的23，则乙的钱数也能为50，可以得到相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
11.【答案】 33
【解析】解：由题意得，
1 3=1× 3( 3)2= 33．
故答案为： 33．
运用倒数和算术平方根知识进行列式、化简．
此题考查了倒数和算术平方根知识的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
12.【答案】乙
【解析】解：观察折线统计图知：甲品种的波动较大，较不稳定；
乙的波动较小，较稳定，
故答案为：乙．
直接观察折线统计图后发现甲的波动较大，乙的波动较小，据此即可判定比较稳定的品种．
本题考查了方差的知识，解题的关键是能够根据统计图发现谁的产量更稳定，亦可以根据图中数据计算方差后比较，方差越小越稳定．
13.【答案】3
【解析】解：∵a+5b=15①3a−b=−3②，
∴①+②，得：4a+4b=12，
∴a+b=3．
故答案为：3．
将方程组a+5b=153a−b=−3中的两个方程相加得4a+4b=12，由此可求出a+b的值．
此题主要解二元一次方程组，理解题意，熟练掌握加减消元法是解决问题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：(m+1)2+(m+2)2=(m+3)2，
解得：m=±2，
当m=−2时，m+1<0，不合题意舍去，
则m=2．
故答案为：2．
根据勾股定理逆定理当：(m+1)2+(m+2)2=(m+3)2时，它是直角三角形，解方程计算出m的值即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
15.【答案】(− 3,1)
【解析】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，
在正方形OABC中，∠AOC=90°，AO=CO，
∵∠AOC=∠CDO=90°，
∴∠COD+∠AOE=∠COD+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠AOE，
在△OCD和△AOE中，
∠CDO=∠OEA=90°∠DCO=∠EOACO=OA，
∴△OCD≌△AOE(AAS)，
∴CD=OE=1，OD=AE= 3，
∴C的坐标为(− 3,1)；
故答案为：(− 3,1)．
由“AAS”可证△OCD≌△AOE即可得点C的坐标．
本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】40°
【解析】解：∵∠ABC的平分线交∠ACE的外角平分线∠ACE的平分线于点D，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACE=2∠DCE，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D=∠DCE−∠DBE，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∠A=∠ACE−∠ABC=2∠DCE−2∠DBE=2(∠DCE−∠DBE)，
∴∠A=2∠D=40°．
故答案为：40°．
根据角平分线的定义及三角形的外角性质可表示出∠A与∠D，从而不难发现两者的数量关系，进一步得出答案即可．
此题主要考查角平分线的意义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
17.【答案】y=2x−1
【解析】解：将直线y=2x−1向上平移3个单位得到的解析式为：y=2x−1+3，即y=2x+2；
再向右平移1.5个单位得到的解析式为：y=2(x−1.5)+2，即y=2x−1．
故答案为：y=2x−1．
根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可作答．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
18.【答案】65°
【解析】解：∵∠2+∠3=180°，∠EFD+∠3=180°，
∴∠2=∠EFD，
∴AB/​/DE，
∴∠1=∠BED，
∵∠A=∠1，
∴∠BED=∠A，
∴ED/​/AC，∠BDE=65°，
∴∠BDE=∠ACB=65°．
故答案为：65°．
由同角的补角相等得出∠2=∠EFD，从而AB/​/DE，再通过平行得出∠1=∠BED，从而得出∠BED=∠A，所以得出ED/​/AC，即可得出答案．
本题主要考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握并灵活运用平行线的判定和性质．
19.【答案】解：(1)x−2y=0①3x+2y=8②，
①+②，得：4x=8，
解得：x=2，
将x=2代入①，得：2−2y=0，
解得：y=1，
所以方程组的解为x=2y=1；
(2)2(3x−1)=3+3y①3x−1=2y②，
将②代入①，得：4y=3+3y，
解得：y=3，
将y=3代入①，得：3x−1=6，
解得：x=73，
所以方程组的解为x=73y=3．
【解析】(1)利用加减消元法求解可得；
(2)利用代入消元法求解可得．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20.【答案】解：如图，∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，
∴12AB⋅ED=60，即12AB×12=60，
解得AB=10．
又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，
∴BC= AB2−AC2= 102−82=6．
答：线段BC的长度是6．
【解析】利用面积法求得斜边AB的长度，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理来求线段BC的长度．
本题考查了勾股定理、三角形的面积．注意，勾股定理应用于直角三角形中．
21.【答案】解：(1)甲运动员的成绩按照从小到大排列是：6、7、8、8、9，
∴甲运动员这5次选拔赛成绩的中位数和众数分别是8，8；
(2)由题意可得，
x乙−=9+7+5+8+65=7，
s乙2=(9−7)2+(7−7)2+(5−7)2+(8−7)2+(6−7)25=2；
(3)∵甲的方差是1.04，乙的方差是2，1.04<2，
∴应该选择甲运动员参加比赛．
【解析】(1)根据中位数和众数的定义可以解答本题；
(2)根据平均数和方差的计算方法可以解答本题；
(3)根据方差越小越稳定可以解答本题．
本题考查平均数、方差、中位数、众数，解答本题的关键是明确平均数和方差的计算方法、知道什么是中位数和众数．
22.【答案】证明：∵AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB/​/CF，
∴∠BAF+∠F=180°，
又∵∠BAF=∠EDF，
∴∠EDF+∠F=180°，
∴ED/​/AF，
∴∠ADE=∠DAF，∠EDC=∠F，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DAF=∠F．
【解析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
求出AB//CF，根据平行线的性质得出∠BAF+∠F=180°，求出∠EDF+∠F=180°，根据平行线的判定得出ED/​/AF，根据平行线的性质得出∠ADE=∠DAF，∠EDC=∠F，根据角平分线的定义得出∠ADE=∠CDE，即可得出答案．
23.【答案】解：(1)设桌高y与凳高x的关系为y=kx+b(k≠0)，
依题意得：38k+b=6841k+b=72.8，
解得k=1.6b=7.2，
∴桌高y与凳高x的关系为y=1.6x+7.2；
(2)不配套．理由如下：
∵当x=40.5时，y=1.6×40.5+7.2=72≠78，
∴小敏家里的写字桌和椅子不是科学配套桌椅．
【解析】(1)设y=kx+b，利用表中的数据，建立方程组，即可求解．
(2)令(1)中的x=40.5，求出y值，进行比较，作出判断即可．
此题考查一次函数的应用，难度中等，本题只需仔细分析题意，利用方程组即可求解．
24.【答案】证明：(1)如图1，过点P作PG/​/AB，
，
∵AB/​/CD，
∴PG//CD，
∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，
又∵∠1+∠2=∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP=∠EPF；
(2)如图2，
，
由(1)可得：∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，
∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=12(∠BEP+∠DFP)=12[360°−(∠AEP+∠CFP)]=12(360−∠EPF)，
∴∠EPF+2∠EQF=360°；
(3)由(1)可得：
∠EGF=∠AEG+∠CFG，∠EPF=∠BEP+∠DFP，
∵∠BEP=1n∠BEG，∠DFP=1n∠DFG，
∴∠EPF=∠BEP+∠DFP=1n(∠BEG+∠DFG)=1n[360°−(∠AEG+∠CFG)]=1n×(360°−∠EGF)，
∴∠EGF+n∠EPF=360°．
【解析】(1)首先过点P作PG/​/AB，然后根据AB/​/CD，PG/​/CD，可得∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP=∠EPF即可；
(2)首先由(1)可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，推得∠EQF=12(360−∠EPF)，即可判断出∠EPF+2∠EQF=360°．
(3)首先由(1)可得∠EGF=∠AEG+∠CFG，∠EPF=∠BEP+∠DFP；然后根据∠BEP=1n∠BEG，∠DFP=1n∠DFG，推得∠EPF=1n×(360°−∠EGF)，即可判断出∠EGF+n∠EPF=360°．
本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．金额/元
17
20
14
10
人数
3
2
1
3
高度/档
第一档
第二档
第三档
第四档
椅高x(cm)
38.0
41.0
43.0
45.0
桌高y(cm)
68.0
72.8
76.0
79.2