2024高考数学百日逐题计划“8+3+3”新结构选填专项（13）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得：，，.
故选：C.
2.设复数满足，则的实部为（ ）
A. 0B. 1C. -1D. i
【答案】A
【解析】设，则，所以，故的实部为0.
故选：A
3. “直线与平面内无数条直线垂直”是“直线与平面垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不必要也不充分条件
【答案】B
【解析】设命题：直线与平面内无数条直线垂直，
命题：直线与平面垂直，
则推不出，但，所以是的必要不充分条件.
故选：B
4.的展开式中的项的系数为（ ）
A. 120B. 80C. 60D. 40
【答案】A
【解析】
展开式中项为.
故选：
5.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因，则，
依题意，，即，解得，
所以.
故选：B
6.“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.为了缓解了教育的“内卷”现象，2021年7月24日，中共中央办公厅､国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.某初中学校为了响应上级的号召，每天减少了一节学科类课程，增加了一节活动课，为此学校特开设了乓乓球，羽毛球，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A. 60种B. 78种C. 54种D. 84种
【答案】C
【解析】由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门，
则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2，
先将4每学科按1，1，2分成三组，有种方式，
再分到三个学年，有 种不同分式，
由分步计数原理得，不同选修分式共有 种，
同理将4门课程按0，2，2分成三组，再排列，有种，
所以共有36+18=54种，
故选：C
7.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘微的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，即：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，上述原理称为“祖暅原理”.一个上底面边长为1，下底面边长为2，侧棱长为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
A. B. C. D. 21
【答案】D
【解析】由“祖暅原理”知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，
因为正六棱台的上下底面边长分别为1和2，设上底面面积为，下底面面积为，高为h，
则，，,
所以
，
所以该不规则几何体的体积为21.
故选：D．
8.已知，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题可得，，.
令，则，令，得，
∴时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，
又，，，，
由，可知即，
∴.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中真命题是（ ）
A 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】AC
【解析】A选项，因为，，所以，因为，α，β是两个不同的平面，所以，A选项正确；B选项，若，，，则与n可能平行，可能异面，可能相交，B选项错误；C选项，若，，则，又因为，α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则，C选项正确；若，，，则可能在内，可能与平行，可能与相交，故D选项错误.
故选：AC
10.在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身．平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”，下列命题为真命题的有（ ）
A. 若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A；
B. 单位圆的“伴随曲线”是它自身；
C. 若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；
D. 一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
【答案】BC
【解析】对于，若令为，则其“伴随点”为，，
而，的“伴随点”为，而不是，故错误；
对于，设单位圆上任一点的坐标为，其“伴随点”为仍在单位圆上，故正确；
对于，设曲线关于轴对称，
则与方程表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为，
，与，也表示同一曲线，
又曲线，与曲线，的图象关于轴对称，所以正确；
对于，设直线方程为，点的“伴随点”是点，则
点的“伴随点”是点，，，，
，代入整理可得，的轨迹是圆，故错误，
故选：．
11.若正整数只有1为公约数，则称互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则（ ）
A. 数列为等比数列B. 数列单调递增
C. D. 数列的前项和为，则.
【答案】AC
【解析】因为与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有个，所以，则数列为等比数列，故A正确；
因为，所以数列不是单调递增数列，故B错误；
因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有个，
所以，故C正确；
因为，所以
设，则
所以，
所以，从而数列的前项和为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知函数为奇函数，则实数___________
【答案】12
【解析】函数的定义域为，因为函数为奇函数，所以，即，解得，此时，函数为奇函数.
故答案为：12
13.在平面直角坐标系中，双曲线：的左右焦点分别为，，抛物线：的焦点恰为，点是双曲线和抛物线的一个交点，且，则双曲线的离心率为_______________.
【答案】
【解析】记，则，，抛物线方程为，，
所以轴（因为抛物线通径长为），
又在双曲线上，所以，
则由得，，
所以．
故答案为：
14.某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为，的两个同心圆的圆心，等腰的顶点A在外圆上，底边的两个端点都在内圆上，点O，A在直线的同侧.若线段与劣弧所围成的弓形面积为，与的面积之和为，设.当时，______；经研究发现当的值最大时，纪念章最美观，当纪念章最美观时，______.
【答案】 ①. ②.
【解析】由题意可知，∠BOC＝2θ∈（0，π），故，
S1＝＝θ﹣sinθcsθ＝，
S2＝sin2θ＝sin2θ＝2sinθ，
当时，S1＝，S2＝，
故S2﹣S1＝（cm2），
S2﹣S1＝2sinθ+sin2θ﹣θ，，
令f（θ）＝2sinθ+sin2θ﹣θ，，
则，
令＝0可得，csθ＝（舍负），
记csθ0＝，，
当θ∈（0，θ0）时，＞0，函数单调递增，当时，＜0，函数单调递减，故当θ＝θ0时，即csθ＝时，f（θ）取得最大值，即S2﹣S1取得最大值．
故答案为：；.