78，甘肃省兰州一中2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份78，甘肃省兰州一中2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
1. 守株待兔是（ ）
A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 确定性事件
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机事件的定义进行判断即可．
【详解】解：守株待兔，可能发生，也可能不发生，属于随机事件．
故选B．
【点睛】本题考查事件的分类，解题的关键是掌握随机事件的定义，随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的事件．
2. 如图，在中，，点D在上，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据平角的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得．
【详解】解：，
，
，
，
在中，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题关键．您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3/份3. 一次函数的图象过点，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可．
【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y随x增减而减小．
故选B．
【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方差公式，合并同类项，单项式除以单项式以及幂的乘方和积的乘方法则分别判断．
【详解】解：（a-b）（-a-b）=b2-a2，故选项A错误；
2a3+3a3=5a3，故选项B错误；
6x3y2÷3x=2x2y2，故选项C正确；
（-2x2）3=-8x6，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式、单项式除以单项式、积的乘方、幂的乘方，解答本题的关键是明确整式运算的计算方法．
5. 某校九年级1班10名同学在“二十大知识”竞赛中的成绩如表所示：88，90，75，88，90，91，92，100，80，88则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（ ）
A. 88，90B. 3，C. 90，89D. 88，89
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数、中位数的概念进行解答即可．
【详解】这个班学生成绩的众数是：88，
中位数；75，80，88，88， 88，90，90，91，92，100，
，
故选：D．
【点睛】此题考查了众数、中位数的概念，解题的关键是熟悉众数、中位数的概念．
6. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时的关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：
故选：C．
7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”意思是：一起去买琎（一种像玉的石头），每个人出两，则多4两；每个人出两，则不足3两．问人数、琎的价格分别是多少？如果设人数x人，琎的价格为y两，那么可列成的方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等量关系人出半，盈四；人出少半，不足三列方程组即可．
【详解】解：由题意知，可列方程为：
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键在于理解题意．
8. 如图所示圆锥，下列说法正确的是（ ）
A. 该圆锥的主视图是轴对称图形
B. 该圆锥的主视图是中心对称图形
C. 该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. 该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断出圆锥的主视图，再根据主视图的形状判断是轴对称图形，还是中心对称图形，从而可得答案．
【详解】解：圆锥的主视图是一个等腰三角形，
所以该圆锥的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A正确，
该圆锥的主视图是中心对称图形，故B错误，
该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C错误，
该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D错误，
故选A．
【点睛】本题考查的简单几何体的三视图，同时考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，掌握以上知识是解题的关键．
9. 下列说法正确的是（ ）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是．
②．
③若一个多边形的内角和是，则它的边数是5．
④的平方根是．
⑤．
A. ③B. ①③⑤C. ③④⑤D. ①②④
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，无理数的估算，多边形内角和，平方根和完全平方公式判断即可．
【详解】解：①若二次根式 有意义，则，解得．
故x的取值范围是，题干的说法是错误的；
②∵
∴故题干的说法是错误的；
③若一个多边形的内角和是，
设多边形的边数为n，
∴，解得，
则它边数是5是正确的；
④，4的平方根是，故题干的说法是错误的；
⑤，故题干的说法是错误的．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，无理数的估算，多边形内角和，平方根和完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
10. 抛物线的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（ ）

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】开口方向，与轴的交点位置，确定的符号，判断①；与轴的交点个数，判断②；对称轴判断③；对称性和特殊点判断④，⑤，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴的交点在正半轴上，
∴，
∴；故①错误；
∵抛物线与轴由2个交点，
∴，故②正确；
∵对称轴为，
∴，
∴，故③错误；
∵抛物线过点，关于对称轴的对称点为：，
∴；故④正确；
由图象可知：当时，函数值小于时的函数值0，
即：，故⑤错误；
综上，正确的有2个；
故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11. 2条直线最多有个交点，3条直线最多有个交点，按照规律依此类推，2023条直线最多有个交点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，，，由此发现规律，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
……，
由此发现，，
∴，
∴
．
故选：B
【点睛】本题主要考查了直线的交点个数，数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
12. 如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由A、C关于BD对称，推出NA=NC，推出AN+MN=NC+MN，推出当M、N、C共线时，y的值最小，连接MC，由图象可知MC=2，就可以求出正方形的边长，再求a的值即可．
【详解】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴O是BD的中点，
∵点M是AB的中点，
∴N′是△ABC的重心，
∴N′O=BO，
∴N′D=BD，
∵A、C关于BD对称，
∴NA=NC，
∴AN+MN=NC+MN，
∵当M、N、C共线时，y的值最小，
∴y的值最小就是MC的长，
∴MC=2，
设正方形的边长为m，则BM=m，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2=BC2+MB2，
∴20=m2+（m）2，
∴m=4(负值已舍)，
∴BD=4，
∴a=N′D=BD=×4＝，
故选：A．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，重心的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．
二、填空题（本题共4小题总分12分）
13. 如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若将一骰子（看成一个点）投到矩形中，则骰子落在阴影部分的概率为 ___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了几何概率，先根据锐角三角函数求出，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积，最后根据几何概率的求法解答即可．
【详解】解：∵以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，
∴，
在矩形中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积：，
∵矩形的面积为2，
∴将一骰子（看成一个点）投到矩形中，则骰子落在阴影部分的概率为，
故答案为：．
14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式组求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式等知识点，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根是解答本题的关键．
15. 已知，代数式值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求代数式的值，先对进行化简，把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
∵，
∴，
∴原式，
，
故答案为：．
16. 中，，于点D，、的长是方程的根，若的面积为40，则_______．
【答案】16
【解析】
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系及相似三角形的性质求得的长，再根据直角三角形高与斜边的关系求得m的长．
【详解】解：如图，
∵、的长是方程的根，
∴，；
∵的面积为40，
∴；
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴，
∴．
故答案为：16．
【点睛】本题利用了一元二次方程的根与系数的关系，直角三角形的性质，相似三角形的性质，直角三角形的面积公式求解．
三、解答题（本题共9小题总分92分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别进行乘方运算、特殊角的三角函数值、绝对值的化简等运算，然后合并．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先将分子分母进行因式分解，将除法改写为乘法，根据分式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简，最后将x的值代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式化简求值的运算顺序和运算方法．
19. 如图，B，E分别是上的点，，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质．由，可得；等量代换可得，根据内错角相等，两直线平行得到，由平行线的性质可得结论．
【详解】证明：∵，
．
，
．
∴．
．
20. 某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）m＝ ，n＝ ；
（2）在扇形统计图中，“C．实验探究”所对应的扇形的圆心角度数是 度；
（3）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（4）该校共有1600名学生，试估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数．
【答案】（1）25%，15%
（2）54 （3）见解析
（4）160
【解析】
【分析】（1）先用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比=其所对应的人数÷总人数分别求出m、n的值；
（2）用360°乘以C所占的百分比即可求解；
（3）用总人数乘以D类别所占百分比即可求出对应人数，从而补全条形统计图；
（4）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“思想方法”的学生人数．
【小问1详解】
观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有12人，占20%，
故总人数有（人），
，
，
故答案为：25%，15%；
【小问2详解】
，
故答案为：54；
【小问3详解】
D类别人数为60×30%＝18（人），
补全图形如下：
【小问4详解】
根据题意得：（人），
答：估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数有160人．
【点睛】本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息．
21. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN（结果精确到米）．
参考数据：，，．
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的应用，构造直角三角形求解是解题的关键．延长交于点F，设米，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义得出，求出x的值，即可解答．
【详解】解：如图，延长交于点F，
则米，米，．
设米，
在中，，
∴（米），
∴米．
在中，，
∴，
解得，
经检验是原方程的根．
∴米，
∴（米），
答：电池板离地面的高度MN约为米．
22. 甲、乙两种T恤衫的成本价分别为每件30元和50元，乐酷服装店花1200元购进甲、乙两种T恤若干件，并分别以每件35元与60元价格出售，设购入甲种T恤x件，乙种T恤y件．
（1）若甲、乙两种T恤衫全部出售赚了220元，则购进甲、乙两种T恤各多少件？
（2）若要求购进甲种T恤的数量不得少于乙种T恤的数量，问如何购进甲、乙两种T恤并全部出售能获得最大利润，最大利润为多少元？
【答案】（1）购进甲种T恤20件，乙种T恤12件
（2）购进甲种T恤15件，乙种T恤15件并全部出售时能获得最大利润，最大利润为225元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用：
（1）设购进甲种T恤x件，乙种T恤y件，根据甲、乙两种T恤的成本之和是1200元，和甲乙两种T恤的利润之和是220元可列二元一次方程组，求解即可．
（2）设购进甲种T恤a件，则可表示出购进乙种T恤件，根据购进甲种T恤的数量不得少于乙种T恤的数量，可列关于a的不等式，求出a的取值范围；再设利润为W元，用a表示出甲乙两种T恤的利润之和，再根据一次函数的增减性可求出最大利润和购进方案．
【小问1详解】
解：设购进甲种T恤x件，乙种T恤y件，
由题意得，，
解得，，
答：购进甲种T恤20件，乙种T恤12件．
【小问2详解】
解：设购进甲种T恤a件，则购进乙种T恤件，
由题意得：，解得．
设甲、乙两种T恤全部出售能获得的利润为W元，
则，，
即，
∵，
∴W随a的增大而减小，当a最小时，W最大．
∴时，W有最大值，W最大（元），
此时，（件），
答：购进甲种T恤15件，乙种T恤15件并全部出售时能获得最大利润，最大利润为225元．
23. 如图，B，C是反比例函数在第一象限图象上点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式：
（1）根据直线求出点A坐标，进而确定的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点E坐标，进而求出，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
【小问1详解】
解：当时，即，
∴，
即直线与x轴交于点A的坐标为，
∴，
又∵，
∴点C的坐标为，
而点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
【小问2详解】
解：方程组的正数解为，
∴点B的坐标为，
当时，，
∴点E的坐标为，即，
∴，
∴，
答：的面积为4．
24. 抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；
（3）如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3
（2）P点的横坐标为或
（3）Q点坐标为(﹣7，5)或(﹣12，5)或(3，﹣10)或(3，﹣5)
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）先分别求出直线AE、AC的解析式，进而求出点B（1，2），D（1，0），F（1，﹣2），过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，设P（m，m2﹣2m﹣3），则M（m，m﹣3），由面积关系求出P点的横坐标；
（3）分类讨论①当△CDF∽△QAE时， ；②当△CDF∽△AQE时，；③当△CDF∽△EQA时， ；④当△CDF∽△QEA时， ．分别求出点Q的坐标．
【小问1详解】
解：将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
【小问2详解】
将A（3，0）代入y＝﹣x+b中，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
设直线AC的解析式为y＝kx+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴B（1，2），D（1，0），F（1，﹣2），
过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，

设P（m，m2﹣2m﹣3），则M（m，m﹣3），
∴PM＝﹣m2+3m，
∴S2＝×OA×PM＝m2+m，
S1＝×BF×AD＝4，
∵S2＝S1，
∴m2+m＝，
解得m＝或m＝，
∴P点的横坐标为或；
【小问3详解】
∵C（0，﹣3），D（1，0），F（1，﹣2），
∴CD＝，CF＝，DF＝2，
∵E（﹣2，5），A（3，0），
∴AE＝5，
设Q（x，y），
①当△CDF∽△QAE时，
∴＝＝，
∴AQ＝5，EQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（﹣7，5）；
②当△CDF∽△AQE时，，
∴＝＝，
∴AQ＝5，QE＝10，
∴，
解得（舍）或，
∴Q（﹣12，5）；
③当△CDF∽△EQA时， ，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝10，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣10）；
④当△CDF∽△QEA时， ，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣5）；
综上所述：Q点坐标为（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．
【点睛】本题主要是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键．
25. 菱形的边长为，，M，N，K分别在边上，，点P从点M出发，沿折线以的速度匀速运动，到达点N时停止．连接，作，射线与菱形的另一边交于点E，如果与对角线有交点，设交点为F．如图1，当点P位于起始位置点M处时，，设点P的运动时间为．
（1）求的长度；
（2）用含t的式子表示点P到的距离d（写出t的取值范围）；
（3）如图2，若点P在上运动，则当t为何值时最大？求出最大值，并判断此时与的数量关系；
（4）直接写出点K不在外部的总时长．
【答案】（1）
（2）
（3）当t=7时，CF有最大值，最大值为；
（4）
【解析】
【分析】（1）通过证明，可求，即可求解；
（2）分三种情况讨论，由锐角三角函数可求解；
（3）通过证明，可得，可求的长，由二次函数的性质可求的最大值，此时，由“”可证，可得；
（4）利用特殊位置，列出方程可求t的值，即可求解．
【小问1详解】
解：菱形中，，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
【小问2详解】
解：当点P在上时，如图1，过点P作，垂足为G，
则，
∴；
当点P在上时，如图2，过点A作，垂足为G，
∵，
∴P到距离等于平行线之间的距离，
则，即；
当点P在上时，如图3，过点P作，垂足为G，
则，，
∴，
即；
综上所述：；
【小问3详解】
解：菱形中，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为；
如图4，连接，则等边三角形中，，
∴，即，
∵，
∴．
在与中，，
∴，
∴；
【小问4详解】
解：当点P在折线上运动时，点K始终在的内部．
当时，同理可得：，
当时，，解得 ，，
∵点K不在外部，包括点K在的内部或边上两种情况，
∴点K不在外部的总时长．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
四、附加题（20分）
26. 如图：四边形内接于，且，为的直径，过A作于E，X、Y在上，满足，M为的中点．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】首先根据相似三角形的性质求得，则，过X作的平行线交于F，由平行线截线段成比例推知；根据圆周角定理和平行四边形的判定定理的四边形为平行四边形，则M为的中点，最后根据三角形中位线定理证得结论．
详解】证明：∵，，
∴
∴，
则：，
过X作的平行线交于F，连接，
∴，
∴，
由为直径得，
∴，
同理，
∴四边形为平行四边形，
∴M为的中点，
∴为的中位线，
∴．