甘肃省兰州市城关区第五十六中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份甘肃省兰州市城关区第五十六中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共 8页，满分120分，考试用时 120分钟
一、选择题(共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分)
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．水中捞月B．水涨船高C．守株待兔D．百步穿杨
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
4．如图，圆锥的母线长为，高是，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（ ）
A．B．C．D．
5．临夏历史悠久、文化灿烂，地处临夏南门外东面的“东公馆”是中国砖雕艺术的一座极其宝贵的大观园，在这里，可以览临夏砖雕之精美，叹华夏古建之雄美．为了体味民族文化，临夏州某校九（1）班名同学利用周末去“东公馆”研学，他们分成四个小组，每组 人，那么该班小宇同学被分在 小组的概率为( )
A．B．C．D．
6．若三点，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（）
A．B．C．D．
8．如图，分别切于点A，B，切于点E，且分别交于点C，D，若，则的周长为（ ）
A．5B．7C．12D．10
9．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线 的距离 ，则直线与的位置关系是( )
A．相交B．相切C．相离或相切D．相交或相切
10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米B．2米C．米D．米
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线对称轴为直线x＝1；③ax2+bx+c＝5的另一个解是x＝4；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，其中，正确的个数（ ）
A．2B．3C．4D．5
12．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重台，轴，交y轴于点P．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(本大题共 8小题，每小题 3 分，共 24 分)
13．在不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.8左右，则袋子中红球的个数最有可能是 个．
14．若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是 ．
15．二次函数的最大值是 ．
16．如图， 内接于， 是的直径，若，则的度数是 .
17．点关于原点对称的点Q的坐标是，则 ．
18．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为 ．
19．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升，则滑轮旋转的角度为 ．
20．如图，中，，，，将绕点顺时针旋转，点A、B的对应点分别为、，当点恰好落在上时，弧与点构成的阴影部分的面积为 ．
三、解答题(本大题共8小题，共 60分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
21．解方程：
(1)
(2)
22．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
(1)画出将关于原点O的中心对称图形；
(2)将绕点E逆时针旋转得到，画出；
(3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________．
23．“天水的苹果安宁的桃，唐汪川大接杏是一宝”，位于临夏州东乡族自治县的唐汪川为有名的“桃杏之乡”，所产大接杏为甘肃三大名杏之一，以果实硕大，味甜适口，深受消费者喜爱.某超市购进一批“唐汪川大接杏脯”，进价为每千克元．调查发现，当销售单价为每千克元时，平均每天能售出千克，而当销售单价每下降元时，平均每天能多售出千克．
(1)设每千克降价元，用含的代数式表示实际销售单价和销售数量；
(2)若超市要使这种“唐汪川大接杏脯”的销售利润每天达到元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元?
24．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程有两个实数根、，且，求k的值．
25．某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：

(1)此次调查一共随机采访了________名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为________度；
(2)若该校有5500名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
(3)李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中，两人的概率．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
2．B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
B、水涨船高，必然事件，符合题意；
C、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
D、百步穿杨，是随机事件，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解其区别是解题的关键．
3．A
【分析】先计算出，然后根据判别式的意义即可判断方程根的情况．
【详解】解：，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
4．B
【分析】设该圆锥侧面展开图的圆心角为，先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径为，再利用弧长公式得到，然后解关于n的方程即可．
【详解】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为，
圆锥的母线长为，高是，
圆锥底面圆的半径为：，
∴，
解得：．
即该圆锥侧面展开图的圆心角为．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5．D
【分析】本题考查了概率公式，根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：∵全部同学分成四小组，
∴小宇同学被分在小组的概率为：．
故选：D．
6．C
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是轴，根据时，随的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：∵的图象开口向下，对称轴是轴，关于y轴的对称点是，
∴时，随的增大而减小，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
7．C
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出．
【详解】解：∵四边形为的内接四边形，
由圆周角定理得：，
故选：C．
8．C
【分析】根据切线长定理得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵分别切于点A，B，切于点E，，
∴，
∴的周长，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，先求方程的根，可得的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【详解】解：，
，，
的半径为一元二次方程的根，
或，
，
当时，，
直线与的位置关系是相切，
当时，，
直线与的位置关系是相交，
故选：D．
10．C
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．连接交于点．利用垂径定理以及勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：连接交于点．
由题意，
∴（米），
在中，（米），
∴（米），
故选：C．
11．C
【分析】设抛物线解析式为：，将（0，-3）代入得，根据可判断结论①正确；抛物线的解析式为，即可得抛物线的对称轴为直线，可判断结论②正确；根据所给的表格可得，当时，，再根据抛物线的对称性得的另一个解为4，可判断结论③正确；根据所给表格可判断结论④错误；根据所给表格可得，抛物线于x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），则抛物线于x轴的两个交点间的距离是4，可判断结论⑤正确，即可得．
【详解】解：设抛物线解析式为：，
将（0，-3）代入得：，
解得：，
∵，
∴抛物线开口向上，故①正确；
抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，故②正确；
根据所给的表格可得，当时，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴的另一个解为4，故③正确；
根据所给表格可得，当时，，故④错误；
根据所给表格可得，抛物线于x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），
则抛物线于x轴的两个交点间的距离是：，故⑤正确；
综上，①②③⑤正确，正确的个数有4个；
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
12．A
【分析】根据正六边形的性质推出，进而得出，，则，再根据旋转的性质，依次得出前几次旋转的点A的对应点坐标，总结出一般变化规律，即可解答．
【详解】解：∵该六边形为正六边形，
∴，，
∵轴，正六边形中心与原点0重合，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴
第1次旋转结束时，点A的坐标为；
第2次旋转结束时，点A的坐标为；
第3次旋转结束时，点A的坐标为；
第4次旋转结束时，点A的坐标为，
∵4次一个循环，
∴
第2023次旋转结束时，点A的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握求正多边形中心角的方法，旋转的性质．
13．16
【分析】本题考查利用频率估计概率，根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．
【详解】解：由题意可得，（个），
即袋子中红球的个数最有可能是16个．
故答案是：16．
14．
【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答．本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键．
【详解】∵是关于的一元二次方程的解，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
15．
【分析】先求出对称轴，再求出最大值即可．
【详解】∵
∴二次函数开口向下，在顶点处有最大值，
∵二次函数对称轴为直线，
∴当时，，即最大值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质和最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．##度
【分析】本题考查直径所对的圆周角等于和同弧所对的圆周角相等，连接，结合，求得，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，，熟知“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”是解题的关键．
【详解】解：∵点关于原点对称的点Q的坐标是，
，
，
．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【详解】解：∵将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴得到的抛物线解析式为，即，
故答案为：．
19．270
【分析】根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：，
即滑轮旋转的角度为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，．
20．##
【分析】设和BC交于点O，由旋转易证为等边三角形，即得出，从而得出，进而可求出，又可求出．再利用含角的直角三角形的性质，结合，可求出，．最后根据，结合三角形面积公式和扇形面积公式即可求出答案．
【详解】解：如图，设和交于点O．
由旋转性质可知，，，，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，，，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形与等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，含角的直角三角形的性质以及扇形的面积公式．有图形得出是解答本题的关键．
21．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力．
（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【详解】（1）解：
或
解得：，；
（2）解：
，，，
，
，
解得：，．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据中心对称的性质即可画出；
（2）根据旋转的性质即可画出；
（3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点P的位置．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
23．(1)实际销售单价为元，销售数量为千克；
(2)每千克应降价元．
【分析】（）由每千克降价元，根据题意列出代数式即可求解；
（）根据（）的结论，利用售价减去进价乘以销量等于，根据题意取舍方程的解，即可求解；
本题考查了列代数式和一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：由每千克降价元，根据题意得：
实际销售单价为元，销售数量为千克；
（2）由（）得：实际销售单价为元，
∴每千克的利润为元，
∴，整理得：，
解得：，，
由让顾客得到实惠，则需降价元，
答：每千克应降价元．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）先利用根与系数的关系得到，再由得到关于k的方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程为，
∴
，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、，
∴，
∵，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
25．(1)；
(2)人
(3)
【分析】（1）利用选择蓝色的学生人数除以所占的百分比，求出总人数，利用“灰”所占的比例，进行求解即可；
（2）用全校的人数乘以样本中“红”所占的比例，进行求解即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：此次调查一共随机采访学生（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：；；
（2）（人）；
估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为人；
（3）列表如下：
由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的结果有2种，
∴恰好抽中A，B两人的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
x
﹣2
﹣1
0
1
3
y
5
0
﹣3
﹣4
0
A
B
C
D
A
B
C
D