云南省保山市腾冲市第八中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份云南省保山市腾冲市第八中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．命题“∃x∈R,x2+2x+3≤0”的否定是（ ）
A．∀x∈R,x2+2x+3≤0B．∀x∈R,x2+2x+3>0
C．∃x∈R,x2+2x+3>0D．∃x∈R,x2+2x+3≥0
2．已知集合A=xlgx<1,B=xx<2，则A∩B=（ ）
A．(-∞,2)B．(0,1)C．(0,2)D．(1,10)
3．已知平面向量a=3,1，b=x,-3，且a⊥b，则x=（ ）
A．-3B．-1C．3D．1
4．已知复数z=2+i3-i，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．已知a=lg1.10.9， b=0.91.1， c=1.10.9，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a6．函数y=x3-x⋅3|x|的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=32，则B的大小为（ ）
A．30°B．60°
C．30°或150°D．60°或120°
8．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若b2+c2-a2=65bc，则sinB+C的值为（ ）
A．-45B．45C．-35D．35
9．下列命题中，真命题是（ ）
A．对于任意实数x，不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立，则实数a的取值范围为{a|－2B．∀x>0，且x≠1，则lgx+1lgx≥2
C．“ab>1”的一个充分不必要条件是“a>1，b>1”
D．“sinx=12”的必要不充分条件是“x=π6”
10．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为θ，则cs2θ等于（ ）
A．725B．-725C．925D．-925
11．下列命题中，正确的个数为（ ）
①设O是坐标原点，向量OA、OB对应的复数分别为2-3i、-3+2i，那么向量BA对应的复数是-5+5i；
②复数z是x2-2x+3=0的根，则z=3；
③若复数2+3i是关于x的方程x2+2px+q=0p,q∈R的一个根，则p+q=11；
④已知复数z满足z-1+i=3，则复数z对应的点的轨迹是以1,1为圆心，半径为3的圆.
A．1B．2C．3D．4
12．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若sin2C=2sin2A-3sin2B，则tanB的最大值为（ ）
A．52B．53C．352D．253
二、填空题
13．若A(3,-6)，B(-5,2)，C(6,y)三点共线，则y= ．
14．2lg23+lg218+(2020)0+lne= .
15．已知fx是定义在R上且周期为4的奇函数，当x∈2,4时，fx=csπx4，则f2021的值是 .
16．已知函数fx=x2+2x-3,x≤0-2+lnx,x>0，当方程fx-k=0有两解时，k 的取值范围是 .
三、解答题
17．已知向量a,b满足a=2,b=1,(a+b)⋅(2a-b)=8．
(1)求a与b的夹角θ
(2)求a+b
18．已知函数fx=x,x≤22x-2,x>2.
(1)在平面直角坐标系中，画出函数fx的简图，并写出fx的单调区间和值域；
(2)若ft≤6，求实数t的取值范围.
19．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a,3b)与n=(csA,sinB)平行.
(1)求A；
(2)若a=7，b=2，求△ABC的面积.
20．已知函数fx=sin2x+3sinxcsx.
(1)求fx的最小正周期和单调递减区间；
(2)求fx在区间-π3,π3上的最小值，并求出此时对应的x的值.
21．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若AB=a，AD=b．
（1）试以a，b为基底表示BE，DF；
（2）求证：A，G，C三点共线．
22．在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2acsB=2c+b.
（1）求∠A的大小；
（2）若ΔABC的外接圆的半径为23，面积为33，求ΔABC的周长.
参考答案：
1．B
【解析】命题的否定：利用“改量词，否结论”即可判断.
【详解】由命题“∃x∈R,x2+2x+3≤0”，
可得它的否定是：∀x∈R,x2+2x+3>0.
故选：B.
2．C
【分析】求出集合A，再根据交集的运算即可得出答案.
【详解】解：A={x|lgx<1}={x|0所以A∩B= (0,2).
故选：C.
3．D
【解析】由a⋅b=3x-3=0解得结果可得解.
【详解】∵a⊥b，
∴a⋅b=3x-3=0；
∴x=1.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，属于基础题.
4．D
【分析】先化简z=2+i3-i，然后可求出其共轭复数，从而可得答案.
【详解】因为z=2+i3-i=2+i3+i3-i3+i=5+5i10=12+12i，
所以z=12-12i，则在复平面内对应的点12,-12位于第四象限，
故选：D
5．A
【解析】根据指数函数、对数函数与幂函数的单调性，借助中间量即可比较大小.
【详解】解：由函数y=lg1.1x在0,+∞上单调递增，
所以a=lg1.10.9由于函数y=0.9x在R上单调递减，
所以0<<0.90=1，
由于函数y=1.1x在0,+∞上单调递增，
所以1.10.9>1.10=1，
故a故选：A.
6．C
【分析】先判断函数的奇偶性，可排除B,D，再判断0【详解】设f(x)=x3-x⋅3x，该函数的定义域为R，
f(-x)=(-x)3-(-x)⋅3|-x|=-x3-x⋅3|x|=-f(x)，
所以函数y=fx为奇函数，故排除B，D选项；
当0故选：C.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7．A
【分析】先由正弦定理求出sinB=12，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.
【详解】由正弦定理得bsinB=asinA，
即32sinB=6sin45°，
解得sinB=12，
又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，
又因为a>b，所以A>B，即B=30°.
故选：A.
8．B
【分析】利用余弦定理表示出csA,将已知等式代入求出csA的值,进而求出sinA的值,原式利用诱导公式化简后将csA的值代入计算即可求出值.
【详解】∵b2+c2-a2=65bc,
∴csA=b2+c2-a22bc=65bc2bc=35,
∵A为三角形的内角,
∴sinA=1-cs2A=45,
则sin(B+C)=sinA=45.
故选：B.
9．C
【分析】分a-2=0与a-2≠0讨论，即可判断A，当0【详解】对A，当a-2=0时，即a=2时，原不等式变为-4<0，显然成立，符合题意；
当a-2≠0时，即a≠2，因为对于任意实数x，不等式
(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立，
则a-2<0Δ=-2a-22-4a-2×-4<0，
解得-2综上可得-2对B，当0当且仅当-lgx=-1lgx时，即x=110时，取等号，故B错误；
对C，因为a>1,b>1可以推出ab>1，故充分性满足，
由ab>1推不出a>1,b>1，比如a=3,b=12，故必要性不满足；
所以“ab>1”的一个充分不必要条件是“a>1，b>1”，故C正确；
对D，由sinx=12不能推出x=π6，比如sin56π=12，
反之，由x=π6可以推出sinx=12，
所以“sinx=12”的充分不必要条件是“x=π6”，故D错误；、
故选：C
10．B
【分析】根据题意可得出sinθ-csθ=15，平方可得sin2θ=2425，即可求出.
【详解】因为大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，
所以5sinθ-5csθ=1，即sinθ-csθ=15，两边平方得1-sin2θ=125，即sin2θ=2425.
因为θ是直角三角形中较大的锐角，所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π，
所以cs2θ=-1-sin22θ=-725.
故选：B.
11．B
【分析】利用复数的几何意义可判断①④；求出方程x2-2x+3=0的虚根z，利用复数的模长公式可判断②；利用韦达定理可判断③.
【详解】对于①，因为BA=OA-OB，则向量BA对应的复数是2-3i--3+2i=5-5i，①错；
对于②，由x2-2x+3=0可得x-12=-2=±2i2，解得z=1±2i，故z=1+2=3，②对；
对于③，由题意可知，关于x的方程x2+2px+q=0p,q∈R的两个虚根分别为2+3i、2-3i，
所以，2+3i+2-3i=-2p2+3i2-3i=q，解得p=-2q=13，故p+q=-2+13=11，③对；
对于④，因为z-1+i=z-1-i=3，
所以，复数z对应的点的轨迹是以1,-1为圆心半径为3的圆，④错.
故选：B.
12．A
【分析】利用正弦定理及余弦定理化简表示csB，结合基本不等式求得csB的取值范围，从而求得tanB的取值范围，即可求解.
【详解】由题意sin2C=2sin2A-3sin2B，由正弦定理得：c2=2a2-3b2，化简得：b2=23a2-13c2，
由余弦定理得：csB=a2+c2-b22ac=a2+c2-23a2+13c22ac=13a2+43c22ac=16·a2+4c2ac≥16·2a2·4c2ac=23，
当且仅当a=2c时等号成立，从而可得B为锐角，
所以：23≤csB<1，得：49≤cs2B<1，则：1<1cs2B≤94，
所以：tan2B=sin2Bcs2B=1-cs2Bcs2B=1cs2B-1∈(0,54]，
所以：tanB的最大值为52，故A项正确.
故选：A.
13．-9
【解析】用坐标表示出AB，AC，根据A，B，C三点共线，可知 AB//AC，由平面向量共线定理得到方程，解得.
【详解】解：∵A(3,-6)，B(-5,2)，C(6,y)
∴AB=(-8,8)，AC=(3,y+6)，
∵A，B，C三点共线，
∴AB//AC，
∴-8(y+6)-8×3=0，解得y=-9．
故答案为：-9
【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.
14．2
【解析】根据对数的运算性质进行计算.
【详解】原式=3+lg22-3+1+1=2.
故答案为：2
15．22/122
【分析】根据函数fx的周期性和奇偶性可求得f2021的值.
【详解】因为fx是定义在R上且周期为4的奇函数，当x∈2,4时，fx=csπx4，
因为2021=4×505+1，则f2021=f1=f-3=-f3=-cs3π4
=-csπ-π4=csπ4=22.
故答案为：22.
16．-4∪-3,+∞
【分析】作出函数y=fx的图象，观察直线y=k与函数y=fx的图象的交点，由此可得出实数k的取值范围.
【详解】∵fx=x2+2x-3,x≤0-2+lnx,x>0，作出函数y=fx与函数y=k的图象如下图所示：
由图象可知，当k=-4或-3因此，所求的k的取值范围是-4∪-3,+∞.
故答案为：-4∪-3,+∞.
17．(1)θ=60°
(2)a+b=7
【分析】（1）化简(a+b)⋅(2a-b)=8可求得a与b的夹角θ，
（2）由a+b=a2+2a⋅b+b2求解
【详解】（1）因为(a+b)⋅(2a-b)=8，所以2a2+a⋅b-b2=8，
因为a=2,b=1，所以8+2csθ-1=8，所以csθ=12，
因为0°≤θ≤180°，所以θ=60°．
（2）因为a=2,b=1，θ=60°，
所以a⋅b=abcs60°=2×1×12=1，
所以a+b=a2+2a⋅b+b2=4+2+1=7
18．(1)图象见解析，fx的增区间为[0,+∞)，减区间为(-∞,0)，值域为[0,+∞).
(2)-6≤t≤3
【分析】（1）画出图象，然后可得答案；
（2）根据图象可得答案.
【详解】（1）函数fx的简图如下：
由图可知，函数fx的增区间为[0,+∞)，减区间为(-∞,0)；值域为[0,+∞).
（2）由f(-6)=6,f3=6，及函数fx的单调性可知，
若ft≤6,则实数t的取值范围为-6≤t≤3.
19．(1)A=π3
(2)S=332
【分析】根据两向量平行有asinB-3bcsA=0，利用正弦定理化为sinAsinB-3sinBcsA=0求A；利用余弦定理求c值，进而利用S=12bcsinA求面积.
【详解】（1）因为m//n，所以asinB-3bcsA=0，由正弦定理得sinAsinB-3sinBcsA=0,
又sinB≠0，从而tanA=3,因为0（2）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccsA,又a=7，b=2，A=π3，
所以7=4+c2-2c，即c2-2c-3=0，因为c>0，所以c=3，
设△ABC的面积为S，S=12bcsinA=332.
20．(1)最小正周期为π；单调递减区间为π3+kπ,56π+kπ，k∈Z
(2)当x=-π6时，fxmin=-12
【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换公式化简，即可得到fx=sin2x-π6+12，再由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）因为fx=sin2x+3sinxcsx=1-cs2x2+32sin2x=sin2x-π6+12，
所以fx的最小正周期T=2π2=π，
令π2+2kπ≤2x-π6≤32π+2kπ，k∈Z，
解得π3+kπ≤x≤56π+kπ，k∈Z，
所以单调递减区间为π3+kπ,56π+kπ，k∈Z
（2）因为x∈-π3,π3，所以2x-π6∈-56π,π2，当2x-π6=-π2时，即x=-π6时，
fx取得最小值-12.
21．（1）BE=12b-a，DF=12a-b；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据向量的加法，减法以及数乘运算，即可求出；
（2）以a，b为基底，利用向量共线定理，两种方式表示出向量AG，由平面向量基本定理，解方程可求出AG=13(a+b)，而AC=a+b，根据共线定理即可证出．
【详解】（1）BE=AE-AB=12b-a，DF=AF-AD=12a-b．
（2）因为D，G，F三点共线，则DG=λDF，，
即AG=AD+λDF=12λa+(1-λ)b．
因为B，G，E三点共线，则BG=μBE，
即AG=AB+μBE=(1-μ)a+12μb，
由平面向量基本定理知12λ=1-μ1-λ=12μ，解得λ=μ=23，
所以AG=13(a+b)=13AC，
所以A，G，C三点共线．
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，平面向量基本定理和向量共线定理的应用，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力，属于基础题．
22．（1）2π3；（2）6+43.
【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式化简即得∠A的大小；（2）先利用正弦定理求出a的值，再利用面积求出bc的值，最后利用余弦定理求出b+c的值即得解.
【详解】（1）因为2acsB=2c+b，
由正弦定理可得，2sinAcsB=2sinC+sinB，
由三角形内角和定理和诱导公式可得，
sinC=sin(π-(A+B))=sin(A+B) =sinAcsB+csAsinB，
代入上式可得，2sinAcsB=2sinAcsB+2csAsinB+sinB，
所以2csAsinB+sinB=0.
因为sinB>0，所以2csA+1=0，即csA=-12.
由于0（2）因为ΔABC的外接圆的半径为23，由正弦定理可得，
a=43sinA=43×32=6.
又ΔABC的面积为33，
所以12bcsinA=33，即12bc×32=33，所以bc=12.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccsA，
则36=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=(b+c)2-12，
所以(b+c)2=48，即b+c=43.
所以ΔABC的周长a+b+c=6+43.
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.