114，新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题

这是一份114，新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A.既是中心对称图形也是轴对称图形，故A不符合题意；
B.是中心对称图形但不是轴对称图形，故B符合题意；
C.既是中心对称图形也是轴对称图形，故C不符合题意；
D.既是中心对称图形也是轴对称图形，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2. 下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①，②，③，④．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．据此对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：①是一元二次方程；
②含有两个未知数，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不是一元二次方程；
④是一元二次方程．
故选：D．
3. 将抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．
【详解】解：将抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位为：，
则平移后的抛物线的顶点坐标为：．
故选：A．
4. 下列说法中正确的是（）
A. “过圆内一点的直线与圆相交”是随机事件
B. “方程有两个不相等的实数根”是必然事件
C. “二次函数与轴相交”是不可能事件
D. “过平面内三点可画圆”是必然事件
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查事件的可能性，解题的关键是掌握直线与圆的关系、一元二次方程的根、二次函数图象与轴的交点情况、圆的定义．
根据直线与圆的关系、一元二次方程的根、二次函数图象与轴的交点情况、圆的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．“过圆内一点的直线与圆相交”是必然事件，此选项不符合题意；
B．，故“方程有两个不相等的实数根”是必然事件，此选项符合题意；
C．“二次函数与轴相交”是随机事件，此选项不符合题意；
D．“过平面内三点可画圆”是随机事件，此选项不符合题意；
故选：B．
5. 过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（ ）
A. 点在圆外B. 点在圆上C. 点在圆内D. 以上都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系、切线的判定等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．根据点与的位置，分别进行分析即可得．
【详解】解：如果点在外，则过点作的切线有两条；
如果点在内，则过点的直线与相交；
如果点在上，则过点作的切线只有一条；
如图，连接，过点作的切线，则，
是唯一的，
过点作的切线只有一条，
故选：B．
6. 函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜﹣2，则（ ）
A. y1＜y2B. y1＞y2
C. y1＝y2D. y1、y2的大小不确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据、与对称轴的大小关系，判断、的大小关系．
【详解】解：∵，
∴此函数的对称轴为：，
∵，两点都在对称轴左侧，，
∴对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键．
7. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆锥的侧面积公式求解即可.
【详解】S=πrl=3×5π=15πcm2.
故选D.
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式.
8. 近年来某县加大了对教育经费的投入，2019年投入2500万元，2021 年预计投入3500万元；假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程；则下列方程正确的是（ ）
A. 2500x2=3500 B. 2500(1+x)2=3500
C. 2500 (1+x%)2=3500 D. 2500(1+x)+2500(1+x)2=3500
【答案】B
【解析】
【分析】根据2019年教育经费额×（1+平均年增长率）2=2021年教育经费支出额，列出方程即可．
【详解】解：设该县投入教育经费的年平均增长率为x，2019年投入2500万元，
那么2020年投入 2500(1+x)万元，
2021年投入 2500(1+x)(1+x)万元，
所以方程为2500(1+x)2=3500.
故答案为：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“-”）．
9. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为
A. 6，B. ，3C. 6，3D. ，
【答案】B
【解析】
【详解】由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度：
如图，
∵正方形的边长为6，∴AB=3．
又∵∠AOB=45°，∴OB=3．
∴AO=．
故选B．
10. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下四个结论：；；；；，其中，正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．
由抛物线开口向下得，由抛物线的对称轴为直线得，由抛物线与轴的交点在轴上方得，所以；由于时，函数值小于，所以；根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点在点和之间，则当时，，即；根据抛物线的对称轴为直线，开口向下，得到当时，有最大值，所以，整理得到．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以错误；
时，，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在点和之间，
抛物线与轴的一个交点在点和之间，
当时，，
，所以正确；
抛物线对称轴，
，即，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
当时，有最大值，
，
，所以正确；
综上，正确的结论有，
故选：C．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 如图，分别切于A、B，，C是劣弧上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交于点E、F．则的周长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线长定理得到，．即可求出的周长．熟练掌握切线长定理是解题的关键．
【详解】解：∵分别切于A、B．
∴
∵过点C的切线分别交于点E、F．
∴．
∴的周长
．
故答案为：
12. 如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】在直角三角形中利用三角函数首先求得和的长，然后证明是等边三角形，根据即可求解．
【详解】解：直角中，，，
，，
又，，
是等边三角形，
，
．
故答案是：1．
【点睛】本题考查了三角函数和旋转的性质，解题的关键是正确证明是等边三角形是关键．
13. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的性质，整体代入求法代数式的值．
把代入一元二次方程，求得的值，然后整体代入即得结果．
【详解】把代入，
得，，
即．
∴
．
故答案为：．
14. 若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 _____．
【答案】m≤1且m≠0．
【解析】
【分析】由抛物线与x轴有公共点可知△≥0，再由二次项系数不等于0，建立不等式即可求出m的取值范围.
【详解】解：y＝mx2+2x+1是二次函数，
∴m≠0，
由题意可知：△≥0，
∴4﹣4m≥0，
∴m≤1
∴m≤1且m≠0
故答案为m≤1且m≠0．
【点睛】本题考查二次函数图像与x轴的交点问题，熟练掌握交点个数与△的关系是解题的关键.
15. 如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示求小路的宽是多少？设小路的宽是，根据题意可列方程为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽应为米，由题意有
，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
【详解】解：设道路的宽应为米，由题意有
．
故答案为：．
16. 如图，四边形为的内接四边形，是延长线上一点，已知，则的度数为______ ．
【答案】##65度
【解析】
【分析】本题主要考查了圆心角与圆周角的关系，圆内接四边形的性质，准确识图，理解同弧所对的圆心角是它所对圆周角的倍，圆内接四边形的一个外角等于它的内对角是解决问题的关键．先根据圆心角与圆周角的关系可得出，再根据圆内接四边形的性质可得的度数．
【详解】解：四边形为的内接四边形，，
，
是的内接四边形的外角，
．
故答案为：．
17. 抛物线和y=-3x2形状相同，方向相反，且顶点为（-1，3），则它的关系式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的形状开口方向和抛物线的a值有关，利用顶点式解析式写出即可．
【详解】∵抛物线的顶点坐标（-1，3），开口方向与抛物线y=-3x2的方向相反，
∴这个二次函数的解析式为y=3（x+1）2﹢3．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟记a值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去若点，，则点的坐标为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形的变化旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题．
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、，由图象可知点在轴上，，根据这个规律可以求得的坐标．
【详解】解：由图象可知点在轴上，
，，，
，
，，，，
，，
，
，
．
故答案为．
三、计算题：本大题共1小题，共12分．
19. 某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：A．足球 B．乒乓球C．羽毛球 D．篮球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人，在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数为 ；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
【答案】（1）200，72°；（2）详见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）利用扇形统计图得到A类的百分比为10%，则用A类的频数除以10%可得到样本容量；然后用B类的百分比乘以360°得到在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数；
（2）先计算出C类的频数，然后补全统计图；、
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）20÷＝200，
所以这次被调查的学生共有200人，
在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数＝×360°＝72°；
故答案为200，72°；
（2）C类人数为200﹣80﹣20﹣40＝60（人），
完整条形统计图为：
（3）画树状图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．
所以P（恰好选中甲、乙两位同学）＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
四、解答题：本题共5小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20. 用适当的方法解方程
（1）
（2）
【答案】（1），；（2），
【解析】
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】（1），
移项得：，
配方得：，即，
直接开平方得：，
，；
（2）
提公因式得：，
∴或，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法方法解一元二次方程．
21. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为个单位，在平面直角坐标系内，的顶点、分别为，．
（1）画出绕点逆时针旋转后的；
（2）在（1）条件下，求出旋转过程中点所经过的路径长结果保留．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用弧长求法得出答案．
【小问1详解】
解：如图所示：△，即为所求；
；
【小问2详解】
解：，
∴在中，，
∴旋转过程中点所经过路径长为：．
22. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果每天获得元的利润，销售单价为多少元？
【答案】（1）；（2），当销售单价为16元时，利润最大，最大值为144元；（3）14元
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润==每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
（3）将代入即可求解．
【详解】（1）设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以与的函数解析式为；
（2）根据题意知
，
当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，
（3）根据题意知，
，（舍去）
答：销售单价为元
【点睛】本题是一道二次函数的综合题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
23. 如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．
（1）连接、，则，为中点．为中位线，则，根据可得得证；
（2）连接，利用的结论得，易得，过点作于，利用勾股定理得到的长，利用三角形的面积公式得出结论．
【小问1详解】
证明：连接，连接；
是的直径，
，
．
又，是的中点，
．
，
，
又，
．
是半径，
是切线；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
，
过点作于，

，
，
，
，
阴影部分的面积．
24. 如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线交x轴于A，C两点，与直线交于A，B两点，直线与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）点P在直线上方的抛物线上运动，若的面积最大，求此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数与不等式．
（1）由直线与x轴交于点A可得点A的坐标，代入抛物线中可得，由抛物线的对称轴为直线可得，解方程组即可得到a，b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）求出点A，点B坐标，结合图象根据二次函数与不等式的关系即可求解；
（3）设点P的坐标为（），过点P作轴，交于点Q，可得，从而，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
∵直线与x轴交于点A
∴令，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∵抛物线经过点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
解方程组得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解方程组得或，
∴点B的坐标为，
由图象可得，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为：或；
【小问3详解】
设点P的坐标为（），
过点P作轴，交于点Q，
∴点Q的坐标为，
∴，
∴，
∴当时，有最大值．
∴，
∴点P的坐标为．