河南省周口市第十九初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省周口市第十九初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意：
本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．
一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分）
1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图2，在中，，则的度数是（ ）
图2
A．B．C．D．
3．关于x的一元二次方程有两个实数根的条件是（ ）
A．B．C．且D．且
4．对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上B．它的图象在第一、三象限
C．当时，y随x的增大而增大D．当时，y随x的增大而减小
5．如图3，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
图3
A．B．C．D．
6．如图4，在中，P为上一点，在下列四个条件中不能判定和相似的条件是（ ）
A．B．C．D．
图4
7．如图5，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数n的值为（ ）
图5
A．B．C．D．3
8．如图6是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
图6
A．B．C．D．
9．如图7，正方形的边长为6，F是边上一点，连接交对角线于点E．若，则的长为（ ）
图7
A．2B．C．D．3
10．二次函数的图象如图8所示，对称轴是直线，有下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，则；④；⑤对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数是（ ）
图8
A．5B．4C．3D．2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图9是两根木杆在同一时刻的影子，那么它们是由______形成的投影（填“太阳光”或“灯光”）．
图9
12．某中学开展“歌唱祖国红歌比赛”活动，九年级一班、二班都从“A．《歌唱祖国》，B．《我和我的祖国》，C．《唱支山歌给党听》，D．《保卫黄河》”四首歌中，任意选择一首作为参赛曲目．比赛规定：各班歌唱不同歌曲，一班先随机抽取一首歌曲，不放回，二班再从剩余的歌曲中随机抽取一首，求出两个班恰好抽到B，C歌曲的概率______．
13．在中，若满足，则是______三角形．
14．如图10，已知和是以点C为位似中心的位似图形，点的对应点为，点C位于处．若点B的对应点的横坐标为3，则点B的横坐标为______．
图10
15．如图11，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴垂足为点C，并交于点D．若
的面积为2，D为的中点，则k的值为______．
图11
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：
（2）解方程：
17．（9分）如图12，已知的三个顶点的坐标分别是．
图12
（1）画出绕点B逆时针旋转所得到的．
（2）直接写出点的坐标．
（3）线段扫过的面积是______（结果保留）．
18．（9分）如图13，在中，对角线与相交于点，过点作交于点．
图13
（1）求证：；
（2）若，求的长．
19．（9分）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图14所示．
图14
方案一：抛物线型拱门的跨度，拱高，其中，点N在x轴上，．
方案二：抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上．
现知，小华已正确求出方案二中，当时，．
请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积，并比较的大小．
20．（9分）如图15，为东西走向的滨海大道，小莉沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小莉在点A处时，某艘海上观光船位于小莉北偏东的点C处，观光船到滨海大道的距离为．当小莉沿滨海大道向东步行到达点E时，观光船沿北偏西的方向航行至点D处，此时观光船恰好在小莉的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，）
图15
21．（9分）如图16．，点O在上，与相切于点A，与的交点分别为B，C．作，与交于点D，作，垂足为E，连接并延长，交于点F．
图16
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．（10分）如图17，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为．
图17
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）【问题呈现】如图18①，和都是等边三角形，连接，求证：．
① ② ③
【类比探究】如图18②，和都是等腰直角三角形，，连接，请直接写出的值．
【拓展提升】如图18③，和都是直角三角形，，且，连接．
（1）求的值．
（2）延长交于点，交于点，求的值．
九年级数学参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1-5CACCA 6-10DABBC
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．太阳光 12． 13．等边 14． 15．
三、解答题（共75分）
16．（1） （2）
17．（1）略 （2） （3）
18．（1）【证明】是菱形，．
（2）【解】由（1）可知，是菱形，，，，．，，，，，即，解得．即的长为．
19．（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点为，设，且该抛物线经过点，解得．
（2）令，则，
解得，
．
，而．
20．解：过点作于，由题意得，，在中，．，，．，四边形为矩形，，在中，，答：观光船从处航行到处的距离约为．
21．（1）证明：如图，
连接，与相切于点，
，，
是的直径，，
，
，，；
（2）如图，过点作于点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
22．（1）将代入，得
反比例函数的解析式为；
将代入，得，
解得，
，
将和分别代入
得解得
所求的一次函数的解析式为
（2）当时，，
解得：，
，
，
．
（3）存在．
过点作轴于交x轴于，如图，
，
点坐标为，
点坐标为；
，
，而，
，，
，即，，
，点的坐标为，
满足条件的点坐标为．
23．【问题呈现】证明：和都是等边三角形，
，，
，，
，；
【类比探究】和都是等腰直角三角形，
，，
；
【拓展提升】（1），，
，，，
，，；
（2）由（1）得：，，
，，
．