北京市十一学校2021-2022学年高三上学期开学考试数学试卷

这是一份北京市十一学校2021-2022学年高三上学期开学考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．设集合，，，则( )
A．B．
C．D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知为第二象限，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．最小正周期为，且图像关于直线对称的一个函数是（ ）
A．B．
C．D.
5．如图，在中，，，分别为线段，，的中点，则=（ ）
A．B．
C．D．
6．已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数值为（ ）
A．1B．
C．1或D．-1或
7．若，,则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件
8．已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B.
C．D．
9．所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用表示人类能听到的声强范伟，其中能听见的声音的声强（约）为标准声强，记作，声强与标准声强之比的常用对数称作声强的声强级，记作，即，声强级的单位名称为贝（尔），符号为，取贝（尔）的十分之一作为响度的常用单位，称为分贝（尔）.简称分贝.《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为.一个士兵大喝一声的响度为，如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度，那么这群士兵的人数为（ ）
A．1万B．2万C．5万D．10万
10.已知函数的定义域为，若存在常数，对任意,有，则称为函数.给出下列函数：①； ② ③； ④是定义在上的奇函数，且满足对一切实数均有.其中是函数的序号为（ ）
A．②④B．①③C. ③④D．①②
二、填空题（共7个小题，每小题5分，共35分；15-16-17题前一空3分，后一空2分）
11.已知是的共轭复数，则=__________.
12．已知幂函数的图像经过点，则=__________.
13.若扇形的周长是8，面积4，则扇形的圆心角为________.
14.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_______.
15.已知为正实数，直线与曲线相切，则与满足的关系为_________.的最小值为__________.
16.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为，.则的值为_______；的值为_________.
17.已知函数.
若函数在有且有一个极值点，则实数的取值范围___________;
若函数的最大值为1，则=_________.
三、解答题(共5小题，75分)
18.（14分）已知函数的部分图像如图所示
（6分）求函数的解析式；
（8分）求函数的单调递增区间.
19.（16分）设向量，记
（4分）求函数的最小正周期；
（4分）五点法画出函数在区间的简图（需要列表）；
（4分）该函数图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？（从以下 eq \\ac(○,1)、 eq \\ac(○,2)中选一种作答）
eq \\ac(○,1)将函数的图像向________平移_______个单位得到函数________的图像.再保持纵坐标不变，横坐标______为原来的______，得到函数_______的图像，再向_____平移______个单位就可得到函数的图像.
eq \\ac(○,2)将函数的图像上的点纵坐标不变，横坐标_____为原来的______,得到函数______的图像，再向___平移_____个单位得到函数________的图像，再向______平移_____个单位得到函数的图像
(4分)若时，函数的最小值为2，试求出函数的最大值并指出取何值时，函数取得最大值.
20.（15分）已知：函数.
（4分）若，求曲线在点处的切线方程；
（5分）求函数的单调区间;
（6分）函数在区间上满足，求的取值范围.
21.（本题15分）已知函数
（5分）若时，求函数的最小值；
（5分）若，证明：函数有且只有一个零点；
（5分）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
22.（15分）已知集合，对于，，定义与的差为；与之间的距离为.
（4分）若，试写出所有可能的；
（4分），证明：；
（7分），三个数是否一定有偶数？证明你的结论.
参考答案
一、选择题
1．【解析】集合中的不等式，变形得：，解得：，，，,，.故选：D
【答案】：D
2．【解析】因为全称命题得否定是特称命题，所以命题，，则为，.故选：A
【答案】：A
3．【解析】为第二象限角，，，，则.故选：D
【答案】:D
4.【解析】由于函数的最小正周期为，故排除A；由于函数的最小正周期为，当时，，不是最值，故函数的图像不关于直线对称，故排除.由于的最小正周期为，当时，，是最大值，故函数的图像关于直线对称，故C正确；由于的最小正周期为，当时，，不是最值，故函数的图像不关于直线对称，故排除D；
【解答】:C
5．【解析】
【答案】：D
6．【解析】据题意向量，不共线，且，，若与反向，存在使得，不共线，，.故选：B.
【答案】：B
7．【解析】方法1：，又与同号，是的充要条件.
方法2：，当且仅当时取等号.，.是的充要条件.故选：C.
【答案】：C
8．当时，，同理，当时，所以函数的图像如图所示，当时，函数的图像与函数的图像有两个交点，即方程有且只有两个不相等的实数根，故选：A
【答案】：A
9．【解析】由题意得解得张飞大喝一声的声强为：，没一个士兵大喊一声的声强为：，,如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声的响度，那么这群士兵的人数为10万，故选：D
【答案】：D
10.【解析】对于 eq \\ac(○,1)，，显然不成立，故其不是函数；对于 eq \\ac(○,2)，，由于时，不成立，故不是函数；对于 eq \\ac(○,3)，，，故对任意的，都有，故其是的函数；对于 eq \\ac(○,4)，是定义在上的奇函数，且满足对一切实数，均有，令，由奇函数的性质知，，故有，显然是函数，故选：C
【解答】：C
二、填空题（共7个小题，每小题5分，共35分；15-16-17题前一空3分，后一空2分）
11.【解析】，，，
【答案】：1
12．【解析】设，因为幂函数图像经过点，则有，，即，
【答案】：
13.【解析】设扇形的圆心角为，半径为，则.故答案为：2.
【答案】：2
14.【解析】：依据题意，设与的夹角为，，则，若，则，变形可得：，又由，则
【答案】：
15.【解析】由，得，因此曲线在切点处得切线得斜率等于2，，即，此时则切点为，相应得切线方程为则，.又，，当且仅当时上式等号成立.
【答案】：；
16.已知，，，则，则，则，
则，则，，，则，则.
【答案】：
17.【解析】：（1）时，，，若在有且只有一个极值点，则在递增，在；（2）时，的对称轴时， eq \\ac(○,1)即时，在递增，，函数无最大值 eq \\ac(○,2)即时，在递增，在递减，故，解得或（舍）；时，，综上.
【答案】：
三、解答题(共5小题，75分)
18.【解析】（1）有图可知，可得，则，则；
又图像经过，故有，，得；
又，取.
过点，所以，可得.得.
（2）


由
得，
所以得单调递增区间为
注：1.单调区间不是区间形式的答案，减1分；忽略，减1分；化简后，没有单调区间的过程，只有最后单调区间答案的减2分；
2．考察三角函数的单调区间，一定是化成的形式，结合正弦函数的单调区间求得；不必采用导数的办法；
19.【解析】（1）由题意可得；
（两个二倍角公式各1分）
所以最小正周期
（2）表2分
图2分
（3）①将函数的图像向___左____平移____个单位得到函数_____的图像.再保持纵坐标不变，横坐标__缩短___为原来的____，得到函数____的图像，再向__上__平移___个单位就可得到函数的图像.
eq \\ac(○,2)将函数的图像上的点纵坐标不变，横坐标__缩短___为原来的______,得到函数______的图像，再向__左_平移_____个单位得到函数________的图像，再向___上___平移_____个单位得到函数的图像
从第一个空开始算，对一空0.5分，总分向下取整。（如出现实质性错误，从该空及后面的空均不给分，如平移方向、单位个数错误）。
（4）方法一：，由，可得所以，进而可得.又因为函数的最小值为2，所以.
所以，当时，即时，函数取得最大值（等号成立的条件及由来、最值各1分）
方法二：，因为在上单调递增，在上单调递减，且，且的最小值为，所以.
所以，当时，即时，函数取得最大值 （等号成立的条件及由来、最值各1分）
20.【解析】(1)若，则， .
所以，及切线的斜率等于-2；
又，切点为；
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）的定义域为，
，
当或时，，在和上单调递减；
当时，，在单调递增 （列表和文字说明均可）
所以的递减区间为；递增区间为；
（3）方法一：①当，即时，在上单调递增，，
解得，因此
②当，即时，在上单调递减，上单调递减，
，解得，因此；
③当，与矛盾，因此无解
注：或者由于在要有定义，排除情况也可以；但写不给分
④当，在上单调递减，
，与矛盾，因此无解
综上所述，d的取值范围为.
方法二：，恒成立恒成立，
①当时，，由，得，令，则，故在区间上单调递增，，
所以，即，于是；
②当时，，由得，
即，与矛盾；
③当时，恒成立，符号不确定，故不符合题意；
综上所述，的取值范围为
方法三：，恒成立，，
所以，有，所以.
所以，恒成立恒成立，
所以
令，则，
故在区间上单调递增，，
所以，即，于是；
所以的取值范围为.
方法四：,恒成立，
因此，即，所以.
当，即时，
由（2）已知，在上单调递减，上单调递增，
恒成立，因此符合题意；
当时，由（2）已知，在上单调递减，恒成立，
因此符合题意
综上所述，的取值范围为.
21.【解析】（1）当时，，
.
令，都，
当时， 当时，；
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，最小值；
注：有的同学只写导数的正负，不写单调性，扣1分，这里还是建议画表格，导数符号和单调性都有了
（2）证明：由，得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，在上最多有一个零点.
又当时，，
，
当时，函数在上有零点.
综上，当时，函数有且只有一个零点；
注：有的同学只说函数单调递减，没有分别找出函数值大于0和小于0得自变量，这是不可以的，因为不符合零点的存在定理得条件，这样扣2分，找其他得能确认正负的值都可以得分；还有的同学用到了极限，扣1分
（3）方法一：令，，
所以，设；
函数有两个零点，必须函数与得图像有两个交点.
，设，显然与的符号相同，
又在上单调递减，且；
所以当时，，，在上单调递增；
当时，，，在上单调递减；
函数的极大值为，又，
当时，，且当时，，
所以，函数有两个零点，必须.
注：有的同学看到（2）（3）梁文都是关于函数零点的问题，因此就都用的参变分离的方法，这是极好的，极大地降低了难度
方法二：由（2）知，当时，在上单调递减，最多有一个零点.
有两个零点，.
由，得.令，，，
在上只有一个零点，
设这个零点为（其中），
当时，，，函数在上单调递减；
当时，，，函数在上单调递增.
要使函数在上有两个零点，必须函数的极小值，，即
，，
又在上是减函数，且，
，即，解得；
此时，当时，；
，，
当时，，；
所以当时，函数两个零点.
或者下面这样说明：
当时，，,
,且，函数在上有一个零点.
又，，
且，在上有一个零点.
当时，函数在内有两个零点
综上所述，实数的取值范围是
22.【解析】（1）；
；
；
；
（2）令，，，对，
；
方法一：
显然当时，；当时，；
当时，有；
当时，有.
所以

方法二：
由表可知
所以
（3）三个数中一定有偶数
理由如下：
方法一：
由于只能取或，所以中至少有两个相等，不妨设，此时为偶数，
故为偶数，
所以三个数中不可能都是奇数.
即三个数中一定有偶数
方法二：
因为，
且与奇偶相同.
所以为偶数，
故为偶数，
所以三个数中不可能都是奇数.
即三个数中一定有偶数
方法三：
由表可知必为偶数
则
必为偶数
所以三个数中不可能都是奇数.
即三个数中一定有偶数
方法四：
两整数与奇偶性相同
则与奇偶性相同，
与奇偶性相同，
即与奇偶性相同
由（2）可知
所以与奇偶性相同，必为偶数
所以三个数中不可能都是奇数.
即三个数中一定有偶数 0
0
0
0
1
1
1
1
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1
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1
0
1
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2