山东省东营市广饶县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份山东省东营市广饶县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共23页。试卷主要包含了数学试题答题卡共4页等内容，欢迎下载使用。

（总分：130分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，100分；本试题共8页．
2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线D. 斐波那契螺旋线
【答案】C
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形是长方形列面积式子，又得到该图形由两个边长为n的正方形，3个长、宽为n与m的长方形，1个边长为m的正方形组成，由此列出面积等式.
【详解】∵四边形是一个长方形，
∴该长方形的面积=，
∵该图形由两个边长为n的正方形，3个长、宽为n与m的长方形，1个边长为m的正方形组成，
∴该图形的面积=，
∴=，
故选：B.
【点睛】此题考查因式分解与几何图形面积，正确理解几何图形的组成列面积等式是解题的关键.
3. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A. 爱我中华B. 我游中华C. 中华美D. 我爱美
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，即可求解．
【详解】解：，
2，，，对应的汉字分别为：爱、我、中、华，
呈现的密码信息可能是“爱我中华”，
故选A．
4. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（ ）
A. 15B. 18C. 21D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】此题涉及的知识点是平行四边形的性质．根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．
【详解】解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，DE=CD，
∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，
即△DOE的周长为15．
故选A
【点睛】此题重点考查学生对于平行四边形的性质的理解，三角形的中位线，平行四边形的对角对边性质是解题的关键．
5. 如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ）
A. B.
C. D. 的大小与P点位置有关
【答案】C
【解析】
【分析】过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S1+ S2，得到即可．
【详解】解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，
根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC，
∴S1=AD×PF，S2=BC×PE，
∴S1+ S2
=AD×PF+BC×PE
=AD×（PE+PE）
=AD×EF
=S，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的面积和平行四边形的性质，解题的关键是作出平行四边形过点P的高．
6. 如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，．添加一个条件使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把A、B、C、D四个选项分别作添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DCAB．
【详解】添加A、，无法得到ADBC或CD=BA，故错误；
添加B、，无法得到CDBA或，故错误；
添加C、，无法得到，故错误；
添加D、
∵，，，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
故选D．
【点睛】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7. 定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
整理得：，
去分母得：-x=1+x-2，
解得：x=，
检验：把x=代入得：x-2≠0，
∴分式方程的解为x=．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，分式方程注意要检验．
8. 在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（ ）
A. 96分，98分B. 97分，98分C. 98分，96分D. 97分，96分
【答案】A
【解析】
【分析】利用众数和中位数的定义求解．
【详解】98出现了9次，出现次数最多，所以数据的众数为98分；
共有25个数，最中间的数为第13个数，是96，所以数据的中位数为96分．
故选A．
【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．
9. 将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（ ）
A. 10°B. 12°C. 15°D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、平角的定义以及多边形内角与外角，在中，利用三角形内角和定理求出的度数是解题的关键．
【详解】解：在图中标上点，，，如图所示，
根据题意得：；
；
．
．
故选：B．
10. 如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，转动一张纸条的过程中，下列四个结论：
①四边形的周长不变；②四边形的面积有变化；③；④；其中一定正确的是（ ）
A. ②④B. ①③C. ①②D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等．由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴；故③符合题意；
随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变；故①、④不符合题意，②符合题意；
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．）
11. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则________．
【答案】9或-7##-7或9
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
详解】解：∵多项式x2-（m-1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，
∴m-1=±8，
解得：m=9或m=-7，
故答案为：9或-7
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12. 若关于的方程无解，则的值是 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x−1＝0，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值．
【详解】解：，
分式方程去分母得：x＋1＋2（x−1）＝a，即3x−1＝a，
由分式方程无解，得到x−1＝0，即x＝1，
将x＝1代入整式方程3x−1＝a得：3−1＝a，
解得：a＝2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了分式方程无解的情况，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程时，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
13. 已知的顶点在第三象限，对角线的中点在坐标原点，一边与轴平行且．若点的坐标为，则点的坐标为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，关于原点对称的点的坐标特征．根据平行四边形的性质得到，根据已知条件得到或，由于点与点关于原点对称，即可得到结论．
【详解】解：当点在点的右边时，如图1，
与轴平行且，，
，
对角线的中点在坐标原点，
点、关于原点对称，
四边形为平行四边形，
点、关于原点对称，
即；
当点在点的左边，如图2，
同理可得，则即．
故点的坐标为或．
故答案为：或．
14. 若一组数据的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据这组数的平均数及众数求出中一个是5，另一个是6，再利用方差公式计算即可．
【详解】∵一组数据的平均数为6，众数为5，
∴中至少有一个是5，
∵一组数据的平均数为6，
∴，
∴，
∴中一个是5，另一个是6，
∴这组数据的方差为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了数据的平均数、众数及方差，熟练掌握知识点是解题的关键．
15. 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设原计划每天生产个，则实际每天生产个，根据原计划在20天内完成的任务实际15天完成且还多生产10个，列方程．
【详解】解：设原计划每天生产个，则实际每天生产个，
由题意得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
16. 已知，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式化简，然后将代入计算即可得出结果。
【详解】解：
当时，原式。
故答案为：。
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用和化简求值，能熟练运用完全平方公式是解题的关键。
17. 如图，将正方形中的绕点顺时针旋转到的位置，且．则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转性质的运用，根据旋转角判断三角形的形状，根据旋转的对应边相等及勾股定理求边长．观察图形可知，旋转中心为点，点的对应点为，点的对应点为，故旋转角，根据旋转性质可知，可根据勾股定理求．
【详解】解：由旋转性质可知，旋转角，，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为：．
18. 如图，等边的边长为4，为坐标原点，在轴上，沿轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到，翻滚2024次后中点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是坐标与图形变化旋转，等边三角形的性质等知识．作出把经3次翻滚后的图形，作轴于点，由勾股定理可得的长，从而可知点的纵坐标，再根据等边三角形的边长为4及等腰三角形的三线合一性质，可得的长，从而可知点的坐标；由图象可知翻滚的循环规律，从而可知翻滚2024次后中点的坐标．
【详解】解：如图所示，把经3次翻滚后，点落到点处，点经过点、点落到点处，点落到点处，作轴于点，
则，，
∴，，
，
，．
．
由图象可知，翻滚三次为一个循环，
，
∴翻滚2024次后中点的纵坐标与点的纵坐标相同，横坐标为，
∴翻滚2024次后中点的坐标为．
故答案为：．
三、解答题：本大题共8小题，共72分、解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是解分式方程注意要检验．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【小问1详解】
解：去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
【小问2详解】
解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
20. 化简求值：
，其中x为数据4，5，6，5，3，2的众数．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，众数．先根据分式混合运算法则进行化简，根据众数的定义求出x的值，最后代入计算即可．
【详解】解：
，
4，5，6，5，3，2的众数为5，
将代入，得：
原式．
21. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
【答案】（1）7.5，8，8
（2）200人 （3）八年级的学生成绩更优异，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，中位数、众数，利用样本估计总体等：
（1）根据中位数、众数的定义求解；
（2）利用样本估计总体思想求解；
（3）从合格率或中位数方面进行比较．
【小问1详解】
解：七年级抽取的20名学生中，将成绩按从小到大的顺序排列，由条形统计图可知，第10位学生的成绩是7分，第11位学生的成绩是8分，
∴七年级抽取学生的成绩的中位数是，即；
同理可求得八年级抽取学生成绩的中位数是8，即；
八年级抽取的学生成绩中，8分出现的次数最多，
∴众数是8，即，
故答案为：7.5，8，8；
【小问2详解】
解：（人），
即该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的约有200人；
【小问3详解】
解：八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异，因为八年级的中位数高于七年级的中位数．
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形．
【解析】
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；
（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，
（3）根据勾股定理逆定理解答即可．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==，
即OB2+OA12=A1B2，
所以三角形的形状为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23. 如图，的对角线与相交于点O，E，F是上的两点．
（1）当满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由；
（2）当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，则，，由即可得到，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形；
（2）根据四边形是平行四边形，进而可得，，结合，证明进而可得，，根据等角的补角相等可得，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边即可得证．
【详解】解：（1），理由如下，
四边形是平行四边形
，
四边形是平行四边形；
（2），理由如下，
四边形是平行四边形
又
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．
24. 八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度
【答案】慢车的速度为
【解析】
【分析】根据已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，列方程即可；
【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意，得，
解得：；
经检验：x=40是原方程的解；
答：慢车的速度为．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，准确分析条件列方程是解题的关键．
25. 【三角形中位线定理】已知：在中，点D、E分别是边的中点．直接写出和的关系；
【应用】如图②，在四边形中，点E、F分别是边的中点，若，，，．求的度数；
【拓展】如图③，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，．求证：．

【答案】[三角形中位线定理]见解析；[应用]；[拓展]见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
[三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论；
[应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可；
[拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论．
【详解】解：[三角形中位线定理]，；
理由：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，；
[应用]连接，如图所示，

、分别是边、的中点，
，，
，
，，
，，
，
，
；
[拓展]证明：取的中点，连接、．

、分别是、的中点，
是的中位线，
且，
同理可得且．
，
，
，，
，，
，
，
．
26 附加题：
我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形．
（1）如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______．
（3）如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）是 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论；
（2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明、、三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长；
（3）如图3，作辅助线：将绕点逆时针旋转的大小，得，先证明、、三点共线，则，当时，的面积最大，从而得结论．
【小问1详解】
解：由旋转得：，，
，
，
四边形是等补四边形．
故答案为：是；
【小问2详解】
解：如图2，，，
将绕点顺时针旋转得，
，，，
，
，
，
，
、、三点共线，
，
，
，
（负值舍去）；
故答案为：4．
【小问3详解】
解：，

将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3，
，，，
，
，
、、三点共线，
，
当时，的面积最大，为．
则四边形面积的最大值为．年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
众数
7
合格率