山东省济南市钢城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省济南市钢城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共27页。试卷主要包含了根据相反数的定义求解即可等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确．
2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔．
4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题40分）
一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分）
1. 中国人最早使用负数．可追溯到两千多年前的秦汉时期．的相反数是（ ）
A. 0.5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0．根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：﹣0.5的相反数是0.5，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2. 剪纸（中阳剪纸）经中华人民共和国国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，今年我市某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，即可作答．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴；如果一个图形沿着某一个点旋转后，仍能与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3. 如图，直线AB∥CD，∠1＝110°，则∠A的度数为（ ）
A. 70°B. 110°C. 60°D. 100°
【答案】A
【解析】
【分析】由AB∥CD，∠2＝∠1＝110°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案．
【详解】解：如图，
∵AB∥CD，∠2＝∠1＝110°，
∴∠A＝180°﹣∠2＝70°．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用．
4. 杭州亚运会已闭幕，中国代表团共收获201金、111银、71铜，总计383枚奖牌，创历史．图①是2023年10月2日乒乓球男单颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了组合体的主视图．熟练掌握从正面看到的是主视图是解题的关键．根据从正面看到的是主视图进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，
是主视图，
故选：B．
5. 我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，将470000000用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将470000000用科学记数法表示是．
故选：C．
6. 有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，根据点在数轴上的位置，判断有理数的大小关系，进一步确定式子的符号，进行判断即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，，，，
故只有选项D正确；
故选D．
7. 下列式子中，运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依次根据合并同类项，整式的除法，幂的乘方，完全平方公式的运算判断
【详解】A.，不符合题意
B，不符合题意
C.符合题意
D.不符合题意
故选C
【点睛】此题是整式的混合运算，主要考查了合并同类项，整式的除法，幂的乘方，完全平方公式的运算，掌握这些知识点是解本题的关键．
8. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“大”、“美”、“钢”、“城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成“美城”的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画出树状图，进行求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“美城”的结果数为2，
所以取出的两个球上的汉字能组成“美城”的概率为，
故选：C．
9. 如图，中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点；③画射线，交于点，交对角线于点．若，则的长度为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝10，再利用勾股定理计算出AC＝8，利用基本作图得到BQ平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到点O到BA的距离等于点O到BC的距离，接着利用三角形的面积公式得到S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝OA：OC，所以OAAC．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝10，
∵BA⊥CA，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，AC8，
由作法得BQ平分∠ABC，
∴点O到BA距离等于点O到BC的距离，
∴S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝6：10＝3：5，
∵S△ABO：S△BCO＝OA：OC，
∴OA：OC＝3：5，
∴OA：AC＝3：8，
∴OAAC8＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质是解题的关键．
10. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为最大值为则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．由完美点的概念可得：，即，由只有一个完美点可得判别式，得方程根为2，从而求得，所以得出函数解析式，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得m的取值范围．
【详解】解：由题意可得，当时，，即
图象上有且只有一个完美点，
∴，则，
方程根为
函数，
该二次函数顶点坐标为，与y轴交点为，
由对称性可知：点也是该二次函数图象上的点，
在左侧，随的增大而减小；
在右侧，随的增大而增大；
且当时函数的最小值为最大值为
则
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题110分）
二、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】用平方差公式即可得到结果．
【详解】原式= (m+6)(m−6)，
故答案为 (m+6)(m−6) ．
【点睛】考查用平方差公式因式分解，解题的关键是熟记用平方差．
12. 为了对10000件某品牌衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，在相同条件下，经过大量的重复抽检，发现一件合格衬衣的频率稳定在常数0.98附近，由此可估计这10000件中不合格的衬衣约为______件．
【答案】200
【解析】
【分析】本题考查利用频率估算概率．根据题意，得到合格衬衣的概率为0.98，进而得到不合格的概率为，用总数量乘以概率求出数量即可．
【详解】解：由题意，得：合格衬衣的概率为0.98，
∴不合格的概率为，
∴这10000件中不合格的衬衣约为（件）；
故答案为：200．
13. 如果关于的方程没有实数根，那么 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于的方程没有实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是______________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，得出六边形的面积即可．
【详解】解：连接，，如图所示：

六边形正六边形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算，解答本题的关键是明确正六边形的特点．
15. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则水温下降过程中，与的函数关系式满足______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图象，可以求出水温下降过程中，与的函数关系式．
【详解】解：由题意可，
升温过程中，当时，所用的时间，
设水温下降过程中，与的函数关系式满足，
点在该函数图象上，
，
解得，
即，
故答案为：．
16. 如图，在中，已知，，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了圆的有关知识，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．过点作于，利用解直角三角形得，，，由勾股定理得，再由，可得点在以为圆心为半径的上，即当、、三点共线时最小，的最小值．
【详解】解：如图，过点作于，连接，
，，，
则，，
，
在中，，
点与点关于直线对称，
，
点在以为圆心为半径的上，
当、、三点共线时最小，的最小值，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键．
18. 解不等式组：，并求出它的非负整数解．
【答案】；非负整数解为
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．
【详解】
解：解不等式①得x＜2，
解不等式②得x≥-1，
∴此不等式组的解集为：-1≤x＜2，
则它的非负整数解x=0，1．
【点睛】本题主要考查了解不等式组及其非负整数解，解答此题关键求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19. 如图，菱形中，过点C分别作边，上的高，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，利用菱形性质得到，，结合，，可证，即可得证．
【详解】证明：是菱形，
，，
又，，
，
，
．
20. 为了解甲、乙两所学校八年级学生综合素质整体情况，对两校八年级学生进行了综合素质展示测评，并分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： ）；
b．甲学校学生成绩在：这一组的是：
80 81 81 81 81 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．甲、乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1） ， ；
（2）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是 （填“A”或“B”）；
（3）根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（4）已知甲校八年级共有600名学生，预估甲学校八年级有多少学生综合素质测评可以达到优秀？
【答案】（1）；
（2）A （3）乙，从优秀率和中位数两个方面比较，乙校均高于甲校
（4）240名
【解析】
【分析】本题考查求中位数，利用中位数做决策，利用样本估计总体数量．掌握相关计算方法，是解题的关键．
（1）根据中位数的确定方法求出，利用成绩在85分及以上的人数除以总人数求出；
（2）根据两个学生的成绩与甲，乙的中位数的大小关系进行判断即可；
（3）从优秀率和中位数两个角度进行说明即可；
（4）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【小问1详解】
解：甲组数据的第25和第26个数据均为81，
∴；
；
故答案为：，；
【小问2详解】
因为，
∴A同学的排名更靠前；
故答案为：A；
【小问3详解】
从优秀率和中位数两个方面比较，乙校均高于甲校，
∴乙学校的综合素质展示的水平更高；
故答案为：乙，从优秀率和中位数两个方面比较，乙校均高于甲校；
【小问4详解】
（名）；
答：预估甲学校八年级有240名学生综合素质测评可以达到优秀．
21. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为α，液压杆与底盘夹角为β．已知液压杆，当时．（参考数据：，，，，）
（1）求液压杆顶端B到底盘的距离的长；
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合．
（1）根据，代入数据求出结果即可；
（2）根据三角函数的定义分别求出，，再求出结果即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：∵，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
．
22. 如图，是的直径，弦于点C，过点F作的切线交的延长线于点D．
（1）已知，求的大小；
（2）取的中点M，连接，请补全图形；若求的半径．
【答案】（1）
（2）半径为
【解析】
【分析】（1）连接，如图，先根据垂径定理，再根据圆周角定理得到，接着利用切线的性质得到，然后利用互余计算的度数；
（2）连接，如图，设的半径为，根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，则，所以，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到,然后利用勾股定理，求出，从而得到OF的长．
【小问1详解】
解：连接，，如图，
，是的直径，
．
，，
．
为的切线，
．
．
，
；
【小问2详解】
连接，如图，
为的直径，
为中点，．
为的中点，
，
，
，
，
，设的半径为，
在中，，，
在中，．
即，
解得，
即的半径为．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和切线的性质．
23. 爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．钢城某超市计划购进灯笼和春联这两种商品．已知购进2个灯笼和4副春联花费110元，购进4个灯笼和6幅春联花费190．
（1）求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？
（2）已知每个灯笼售价是30元，每幅春联的售价是18元，超市两次购进灯笼和春联这两种商品共300件，其中春联的数量不少于灯笼的数量的3倍，若购进的灯笼和春联全部售出，请问当购进灯笼多少个时，可使销售获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）每个灯笼的进价是25元，每副春联的进价是15元
（2）购进灯笼75个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是1050元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用．正确的列出方程组和一次函数解析式，是解题的关键．
（1）设每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是y元，根据购进2个灯笼和4副春联花费110元，购进4个灯笼和6幅春联花费190，列出方程组进行求解即可；
（2）设购进灯笼个，销售获得的利润为，根据春联的数量不少于灯笼的数量的3倍，求出的取值范围，根据总利润等于灯笼的利润加上春联的利润，列出函数关系式，利用一次函数的性质，求出最大值即可．
【小问1详解】
解：设每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：每个灯笼的进价是25元，每副春联的进价是元；
【小问2详解】
解：设购进灯笼个，则购进春联副，
由题意得：，
解得：，
设销售获得的利润为，则，
整理，得：．
，
∴w随着a的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：购进灯笼75个时，可使销售获得最大利润，最大利润是1050元．
24. 在平面直角坐标系xOy中，对于函数y（x＞0），它的图象是双曲线在第一象限内的一部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上．
（1）对于函数y（x＞0）的图象而言，
①点P（3，1）在 （填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）．
②横、纵坐标满足不等式y的点在 （填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）．
（2）已知m＞0，将在第一象限内满足不等式组的所有点组成的区域记为W．
①当m＝1时，请在图2中画出区域W（用阴影部分标示）；
②若A（1，2），B（2，4）两点恰有一个点在区域W内，结合图象，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）①曲线上方；②曲线下方
（2）①见解析；②1＜m＜8且m≠2
【解析】
【分析】（1）①把相应坐标代入函数式即可得到答案；②根据函数图象可得到答案；
（2）①根据题意得不等式组，根据轨迹可得答案；②分当点A（1，2）在区域W内时，当点B（2，4）在区域W内时，两种情况得不等式组，求解可得答案．
【小问1详解】
解：①在函数y图象上，当x＝3时，y，
∴点P（3，1）在曲线上方；
②y为曲线，横、纵坐标满足不等式y的点在曲线下方．
故答案为：①曲线上方；②曲线下方．
【小问2详解】
解：①由题意知，区域W满足，
∴区域W满足在y的上方且在y＝x+1的下方，如图：
②当点A（1，2）在区域W内时，，
得1＜m＜2，
当点B（2，4）在区域W内时，，
得2＜m＜8，
∴m的取值范围为1＜m＜8且m≠2．
【点睛】此题考查的是函数的轨迹问题，掌握反比例函数性质及数形结合思想的应用是解决此题关键．
25. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．顶点为D点，点E为抛物线对称轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，若是以为斜边的直角三角形，请求出点E的坐标：
（3）抛物线对称轴上是否存在点E，使得取得最小值，若不存在，请说明理由，若存在，求出点E的坐标，并求出的最小值．
【答案】（1）
（2），
（3），
【解析】
【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a、c的值即可．
（2）过点C作垂直抛物线的对称轴于点M，设对称轴交轴于点，令，得，则，，把抛物线解析式化为，得到对称轴是直线 ，顶点 ，设点， 得到，，证明，得到，得到．解得，，，即得．
（3）根据，，求出，得到；过点A作于点，交对称轴于点，得到 ．得到最小，根据，，得到，得到， ，，得到．
【小问1详解】
把，代入．
得，．
解得，．
∴．
【小问2详解】
过C作抛物线对称轴的垂线段，设对称轴交轴于点．
则．
在中，当时，．
∴．
∴．
∵，
∴对称轴是直线 ，顶点．
设点，则，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
解得，，．
检验知，，是所列方程的根，且符号题意．
∴，．
【小问3详解】
在中，
∵，，
∴．
∴．
如图2，过点A作于点，交对称轴于点．
在中，．
∴．
∴．
∴的最小值为．
∵在和中，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴，，．
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数，解直角三角形综合题．熟练掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，正弦正切定义，垂线段最短，是解决问题的关键．
26. 问题情境：综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在中，，点D，E在边上，且，则用等式表示线段之间的数量关系是______；

问题初探：
（1）以下是两位同学经过思考给出的两种思路：
①如图2，小明同学经过分析后，将绕点A逆时针旋转得到，连接，根据三角形全等和勾股定理知识得到线段之间的数量关系 ；
②如图3，小强同学经过分析后，将、分别沿进行翻折，得到和，根据三角形全等和勾股定理知识也得到了线段之间的数量关系 ；

类比分析：两名同学分别从旋转和轴对称的角度分析、解决问题，将前面问题进行变式，请你解答：
（2）如图4，在中，，点D在边上，点E在的延长线上，且，用等式表示线段之间的数量关系，并证明：
学以致用
（3）如图5，在四边中，，若，则的长

【答案】（1）①；②；（2），证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）①证明，则，由勾股定理得，，进而可得；②由翻折的性质可知，，，，，则，由勾股定理得，，进而可得；
（2）如图4，作，使，连接，．则，证明，则，，证明，则，由勾股定理得，进而可得；
（3）如图5，在上取一点，使得，证明，则，，证明，则，由题意知，，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可．
【详解】（1）①解：∵，，
∴，，
由旋转的性质可得，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
故答案为：；
②解：由翻折的性质可知，，，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
故答案为：；
（2）解：，证明如下：
如图4，作，使，连接，．则，
图4
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴；
（3）解：如图5，在上取一点，使得，

∵，
∴，
∵，
∴，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意知，，
设，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．甲学校
乙学校
平均数
中位数
众数
优秀率
平均数
中位数
众数
优秀率
82
m
81
83.3
84
78
46%