黄金卷08-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知复数（，且），且为纯虚数，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.
【详解】因为，所以，
又因为为纯虚数，所以，即（舍）或，
所以，所以，
所以.
故选：D
2．已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（ ）
A．22B．23C．24D．25
【答案】C
【分析】设集合和集合的元素个数分别为，根据条件列方程求出，然后根据集合子集个数的公式求出集合和集合的所有子集个数，然后做差即可.
【详解】设集合和集合的元素个数分别为，
则由有2个元素，有6个元素可知，．
即①．
又因为集合的元素个数比集合的元素个数多2个，
所以②．
联立①②可得，，即集合和集合的元素个数分别为5和3，
所以集合的所有子集个数和集合的所有子集个数分别为，，
所以，
故选：C．
3．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据时的范围，及当时，的取值，利用排除法即可得解.
【详解】令，得或，
令，得，
故排除CD，
又当时，，故排除B.
故选：A.
4．已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案.
【详解】，故，解得，所以，
则在方向上的投影向量为.
故选：A.
5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆和双曲线的定义及条件可求，根据双曲线离心率的定义可得结果.
【详解】因为，，依题意，由椭圆及双曲线的定义得：
，，
由，
解得，而，所以双曲线的离心率．
故选：A．
6．已知直线和圆相交于M，N两点，当的面积最大时，m＝（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】结合圆的几何性质，求得弦长与点到直线的距离即可求解.
【详解】圆，圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
则弦长为，
则的面积为
令，，则，
则当时，取得最大值，
此时，解得或.
故选：C
7．已知，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.
【详解】，
，
，分子分母同时除以得：
①，
由于，所以，所以，
所以，
所以，
即，代入①得：
，解得.
故选：B
8．已知等差数列的前项和为，且关于正整数的不等式与不等式的解集均为．
命题：集合中元素的个数一定是偶数个；
命题：若数列的公差，且，则．
下列说法中正确的是（ ）
A．命题是真命题，命题是假命题B．命题是假命题，命题是真命题
C．命题是假命题，命题是假命题D．命题是真命题，命题是真命题
【答案】B
【分析】举反例即可判断命题为假；由可知单调递增，结合且可知，即可判断命题为真.
【详解】对于命题：当时，的解集为，
的解集为，此时集合中元素的个数是1，
故命题为假命题；
对于命题：又公差，则单调递增，
由，得且，
解得且，所以
所以，故命题为真命题.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．为庆祝江西籍航天员邓清明顺利从太空返航，邓清明家乡的某所中学举办了一场“我爱星辰大海”航天知识竞赛，满分100分，该校高一（1）班代表队6位参赛学生的成绩（单位：分）分别为：84，100，91，95，95，98，则关于这6位参赛学生的成绩.下列说法正确的是（ ）
A．众数为95B．中位数为93
C．平均成绩超过93分D．第分位数是91
【答案】ACD
【分析】根据题意将成绩排序，结合众数、中位数、平均数、百分位数相关知识求解即可.
【详解】将成绩按从小到大的顺序排序为：，
对于A，95出现两次，其他数据只出现一次，所以众数为95，故A正确；
对于B，中位数为第3,4个数据的平均数，为，故B错误；
对于C，平均数为，故C正确；
对于D，，所以第分位数是第二个数，为91，故D正确.
故选：ACD
10．根据《中华人民共和国噪声污染防治法》，城市噪音分为工业生产噪音，建筑施工噪音、交通运输噪音和生活环境噪音等四大类.根据不同类型的噪音，又进一步细化了限制标准.通常我们以分贝（dB）为单位来表示声音大小的等级，30～40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为v的声音对应的分贝数为（dB），那么满足：.对几项生活环境的分贝数要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商业、工业混合区：50～60dB，安静住宅区、疗养院：30～40dB．已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为，，，则（ ）
A． B．若声音强度由降到，需降为原来的
B． D．若要使分贝数由40提高到60，则声音强度需变为原来的100倍
【答案】AD
【分析】根据题目分贝数函数求出，，，即可判断ABC，再分别求出40分贝数和60分贝数对应的声音强度即可判断D.
【详解】由题意可知，，即，得，
，即，得，
，即，得，
则，所以，与大小关系不确定，由此可知A正确，B错误；
因为，，所以，C错误；
当声音强度的等级为60dB时，有，即，得，
此时对应的强度.
当声音强度的等级为40dB时，有，
即，得，此时对应的强度，
所以60dB的声音与40dB的声音强度之比，D正确.
故选：AD
11．已知二次函数满足对于任意的且．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】设，根据题意，求得，由，得到，设，得到，结合三角函数的性质，逐项计算，即可求解.
【详解】设二次函数，
因为，令，可得，故，所以，
令，得，故，即；
又因为，即，解得，所以，
由，可得，
设，即，
从而，故A错误，B正确；
又由
，所以C错误、D正确．
故选：BD．
12．半正多面体亦称“阿基米德体多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是（ ）

A．该半正多面体的表面积为
B．该半正多面体的体积为
C．该半正多面体外接球的的表面积为
D．若点分别在线段上，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据给定的多面体，利用正四面体的性质，球的截面圆的性质，以及多面体的侧面展开图，结合棱锥的表面积与体积公式，以及球的表面积公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，其棱长为1，
A中，该半正多面体的表面积为，所以A错误.
B中，如图所示，该半正多面体所在的正四面体中，可得正四面体的棱长为，
取正四面体的下底面的中心为，连接，则底面，
在直角中，因为，，
所以，
即该半正多面体所在的正四面体的高为，体积为，
该半正多面体的体积为，所以B正确；
C中，该半正多面体外接球的球心即其所在正四面体的外接球的球心，
记球心为，半径为，的中心为，
连接，由等边的边长为，可得，
又由底面正六边形的边长为 ，可得，
在正四面体中，可得，所以，
设，因为，可得，
即，解得，即，
所以，故该半正多面体外接球的表面积为，
所以C正确.

D中，该半正多面体的展开图，如图所示，
则，所以D正确.
故选：BCD

第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为 .
【答案】
【分析】由条件利用二项式定理，分类讨论求得的展开式中项的系数.
【详解】表示5个因式的乘积，
在这5个因式中，有1个因式选，其余4个因式选1，相乘可得含的项；
或者有3个因式选，1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项；
故项的系数为：.
故答案为：.
14．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是 ．

【答案】
【分析】首先根据正四棱台的对称性得到外接球的球心所在位置，根据垂直关系列出方程组，解方程组得外接球半径，最后求出外接球表面积即可．
【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为，
由棱台的性质可知，外接球的球心落在线段上，
由题意该四棱台上下底面边长分别为8和6，侧棱长为10，
则，，，
所以，
设外接球的半径为，，则，
因为垂直于上下底面，
所以，即，
又，即，
联立解得，，
所以该米斗的外接球的表面积为．
故答案为：

15．函数经过点，图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 .
【答案】
【分析】根据阴影部分的面积以及已知点求得的解析式，进而求得.
【详解】由图可知，
则，
依题意，，
由于，
所以，
所以.
则
.
故答案为：
16．已知抛物线Γ：与直线围成的封闭区域中有矩形，点A，B在抛物线上，点C，D在直线上，则矩形对角线长度的最大值是 .
【答案】4
【分析】由题意首先画出图形，不妨设，结合图形以及分别算出参数的范围以及目标函数表达式，从而即可求解.
【详解】如图所示：
联立，解得或，
得抛物线Γ与直线的两个交点分别为，
由题意四边形是矩形，故，且注意到
所以不妨设，
又，所以，
所以由图可知，
联立，
因此，
而，
由两平行线间的距离公式可知，
从而，
所以当且仅当时，长度取最大值是.
故答案为：4.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理设参，并通过数形结合求出参数的范围也是很重要的，至于求出目标函数表达式只需仔细计算即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与时间第年进行了统计得如下数据：
(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当时的利润额．
附：，
，．
参考数据：，，，．
【答案】(1)，y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．
(2)，万元．
【分析】（1）先利用公式计算出相关系数r，再按要求进行比较，进而得到结果；
（2）先利用公式求得，得到利润y与时间t的回归方程，进而预测当时的利润额．
【详解】（1）由题表，，
因为，，，
所以．
故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合．
（2），，
所以．当时，．
预测该专营店在时的利润为万元．
18．已知数列的首项，是与的等差中项．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题设，构造法得到，即可证结论.
（2）由（1）及放缩法得，再应用等比数列前n项和公式求和，即可证结论.
【详解】（1）由题设，又，
所以是首项、公比均为2的等比数列.
（2）由（1）知：，则，显然时成立，
当有，此时，
综上，，得证.
19．在直三棱柱中，，为的中点.
(1)若，，求的长；
(2)若，，求二面角的平面角的正切值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由为的中点得，然后两边平方即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角.
【详解】（1）因为点为的中点，所以，
两边平方可得，
故.
（2）由题意及，知，，两两互相垂直，所以以为坐标原点，
，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则即，
取，可得.
设平面的一个法向量为，
则即，
取，可得.
设与的夹角为，二面角的平面角为，
则，
由图观察可得该二面角的平面角为锐角，
故，，
所以，
即二面角的平面角的正切值为.
20．已知①，②，③，从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，并且满足__________.
(1)求角；
(2)若为角的平分线，点在上，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用正弦定理或余弦定理实现边角互化，从而求角的大小；
（2）用余弦定理结合三角形面积公式求解.
【详解】选①：由，
得，
因为，则，
可得，
所以.
选②：由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
选③：由得
则
即，
且，可知，则，
解得，即，
，故.
（2）由，得，
即.
由余弦定理得，所以.
解得（舍去）或，所以.
21．已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，动直线与在第一象限内交于B，C两点，连接，.
(1)求E的方程；
(2)若，证明：动直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线的方程写出渐近线方程以及焦点F的坐标，利用点到直线距离公式求得，即可得到双曲线的方程；
（2）联立直线l与双曲线E的方程，根据韦达定理得到B，C的横坐标满足，，由题中条件结合斜率定义及两角和差的正切公式可得，整理后得到m与k的关系，即可得证.
【详解】（1）由题可得，双曲线的一条渐近线方程为，，
则点到的一条渐近线的距离，解得，
所以的方程为.
（2）证明：由（1）可得，，
依题意，直线的斜率一定存在，
所以设直线，，.
因为动直线与在第一象限内交于B，C两点，且E的一条渐近线斜率为1，所以.
联立整理得，
则，
根据韦达定理得，，.
由斜率定义得，，.
因为，
所以，
化简得，，即，
变形得，，①
将代入①整理可得，，②
将，代入②得，
，
化简得，，即，解得或.
当时，直线，此时直线过点，不符合题意；
当时，直线，此时直线过点.
综上，动直线过定点.
【点睛】关键点点睛：本题第（2）小问中，解题关键在于利用斜率与倾斜角的关系及两角和差的正切公式，将题中条件转化成与的关系，进而利用韦达定理化简求解.
22．已知函数．
(1)若直线与函数的图象相切，求实数a的值；
(2)若函数有两个极值点和，且，证明：．（e为自然对数的底数）．
【答案】(1)2；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义结合已知求出a的值.
（2）求出函数及其导数，确定有两个极值点的条件，再由变形并构造函数，利用导数推理论证即得.
【详解】（1）依题意，设切点，求导得，
则，解得，又，，则，
所以实数a的值为2.
（2）依题意，的定义域为，
求导得，则有两个不等的正根，且是的变号零点，
令，求导得，当时，，当时，，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，
由函数有两个零点，得，解得，
此时，令，求导得，
当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，
则，即，，
因此当时，函数必有两个零点，且是变号零点，由，得，
由，得，令，则，
于是，解得，，
因此要证，只需证，即，只证，
令，，求导得，
因此函数在上单调递增，，
所以.
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.1
2
3
4
5
2.6
3.1
4.5
6.8
8.0