黄金卷05-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，则是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得，
所以故选：C
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为复数满足，所以，
所以.故选：B.
3．已知向量，，，若，则（ ）
A．3B．-1C．2D．4
【答案】A
【解析】由，，
又由，可得：，解得.故选：A.
4．已知角满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，
可得，所以，
.故选：D.
5．第19届亚运会在杭州举行．杭州市奥林匹克体育中心是杭州亚运会比赛场馆之一，主要由主体育场、游泳馆、网球中心以及综合训练馆组成．现从甲、乙等7名服务者中随机选取4人分别到这四个区域负责服务工作，要求这四个区域各有1名服务者，且甲不去游泳馆，乙不去网球中心，则不同的安排方案共有（ ）
A．360种B．480种C．620种D．720种
【答案】C
【解析】由题意按甲、乙是否被选中分为三种情况：
①若甲、乙都未被选中，则不同的安排方案有（种）；
②若甲、乙2人中只有1人被选中，则不同的安排方案有（种）；
③若甲、乙都被选中，则先安排甲，再安排乙，
若甲去了网球中心，则不同的安排方案有（种）；
若甲没有去网球中心，则不同的安排方案有（种）.
所以当甲、乙都被选中时，不同的安排方案有（种）．
由分类加法计数原理可得共有（种）不同的安排方案.故选：C．
6．已知直线，若无论取何值，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】将直线化为，故直线恒过定点，
又直线与圆恒有公共点，
所以点在圆上或圆内，即，
又，所以，即的取值范围为，故选：A.
7．等差数列中的前项和分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】等差数列中的前项和分别为，．故选：D．
8．如图，已知，是双曲线C：的左､右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】延长与双曲线交于点P＇，因为，根据对称性知，
设，则，，
可得，即，
所以，则，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，
即，解得.故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则（ ）
A．这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600
B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数
C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差
D．这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200
【答案】ABD
【解析】由折线图可得甲一星期内的步数从小到大的排列为：
11000，11800，12200，12600，13500，15400，18200，所以中位数为12600；
由折线图可得乙一星期内的步数从小到大的排列为：
11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，所以中位数为12600，
故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600，正确；
这一星期内甲的日步数的平均数为：，
这一星期内乙的日步数的平均数为：，
因为，故正确；
由图知，甲的波动程度较大，故方差较大，故错误；
乙一星期内的步数从小到大的排列为：11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，
，故这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200，故正确；故选：
10．已知，直线，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】，且，
所以，当且仅当时等号成立，故A正确；
，当且仅当时等号成立，，故B正确；
，故C错误；
，当且仅当，即时等号成立，故D正确．
故选：ABD.
11．如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（ ）
A．存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形
B．当时，三棱锥体积为
C．当时，三棱锥的外接球表面积为
D．当时，直线与平面所成的角的正弦值为
【答案】BD
【解析】设正方体的棱长为4，以为原点，以、、所在的直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
对于A选项，时，在点，，
由可知，所以截面即为四边形；
由图形知，截面为五边形或六边形．故A错误．
对于B选项，当时，，
所以，所以平面，，
又平面，所以，
三棱锥体积为，故B正确．
对于C选项，当时，且平面，
所以根据球的性质容易判断，三棱锥的外接球的球心在过线段的中点，
且垂直于平面的直线上，，，
所以的中点，可记球心，，
外接球的半径，解得，，
所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误．
对于D选项，当时，，，，，，
所以，，，设平面的一个法向量为，
则，令，则，，所以可取，
由平面知，平面的法向量为，
记平面与平面的交线的一个方向向量为，
则，令，则，，所以可取，
又平面的法向量为，则，，，
设与平面所成的角为，则，故D正确．故选：BD．
12．已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】已知函数，的定义域均为，
因为，，可得，
又因为为奇函数，则，可得，即为偶函数，
则，即，可得，
所以，可知的周期为8.
对于选项A：因为，
令，则，，可得，，故A正确；
对于选项B：因为，令，可得，故B正确；
对于选项C：因为，且为偶函数，则，
令，可得，
又因为，令，则，，
可得，可得，
但由题设条件无法推出，故C错误；
对于选项D：因为的周期为8，故，故D正确；故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为，则的值为 .
【答案】
【解析】由可知其展开式的通项为，，，
令，得，可得，
又的系数为，即，.
14．设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，
延长PM交准线于N，连PF，显然垂直于抛物线的准线，
由抛物线定义知：，
当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，
而，所以的最小值为.
15．已知函数，曲线的一个对称中心为，一条对称轴为，则的最小值为 .
【答案】9
【解析】因为为的一个对称中心，为的一条对称轴，
，得，
，，代入①得，
，当，时，.
16．若函数在处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围 ．
【答案】
【解析】当时，，所以切点的坐标为，
当时，，，
所以切线的斜率，所以切线的方程为：
而，即过点
当切线过点时，切线与函数的图象有三个公共点，
将代入切线方程得：，得
当切线与相切时，切线与数的图象只有两个公点，
设切线：与在处相切，
由，得，
所以，得，，所以切点坐标为
代入切线：，得，
因此在处的切线与的图像有三个公共点时，的取值范围为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
已知正项等差数列的前n项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式：
（2）令，求的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，则，
又因为成等比数列，可得，
则，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得：，
则，
可得，
两个等式相减得, ，
所以，
所以.
18．（12分）
已知的内角，，的对边分别为、、，.
（1）求；
（2）已知为边上的中线，，，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
由，，，，
所以，即，
由于，所以.
（2）在中，由，得，
由，得，.
则，
由正弦定理得，，
设，，由余弦定理得，故，
在中，由余弦定理得，，
即，解得，则，
所以的面积.
19．（12分）
如图，在四棱锥中，，，，，且.
（1）若平面，证明：点为棱的中点；
（2）已知二面角的大小为，求：平面和平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：：因为，，所以，，，
在直角三角形中，，
又因为，为的平分线，
延长、交于点，连接，
在中，，所以，是等腰三角形，
所以，点是的中点，
因为直线平面，过的平面与平面的交线为，则，
因为是的中点，所以，是的中点.
（2）在中，，，，则，即，
由已知得，，
又平面平面，平面，所以平面，
因为平面，即，
所以，为二面角的平面角，所以，
又，所以为正三角形，
取的中点为，连，则，平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内垂直于直线的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设分别为平面和平面的法向量，
则，取，则，
，取，则，
所以.
则平面和平面所成夹角的余弦值为.
20．（12分）
今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多．9月19日，中国疾控中心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告．我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
（1）是否有的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
（2）以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率．现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：
（3）该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为．求当为何值时，最大？附：
【答案】（1）没有的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关
（2）；（3）当时，最大
【解析】（1）假设：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关，
依题意有，
故假设不成立，没有的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关.
（2）由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为，
设随机抽取的4人中至多有1人感染病毒为事件，
则，
（3）记事件为：检测了2名成员确定为“感染高危家庭”；
事件为：检测了3名成员确定为“感染高危家庭”；
则
则，令，则（舍去）
随着的变化，的变化如下表：
综上，当时，最大．
21．（12分）
已知椭圆的焦距为2，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在；点
【解析】（1）由椭圆的焦距为2，故，则，
又由椭圆经过点，代入得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）根据题意，直线l的斜率显然不为零，令，
由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
则，
设，，且，
设存在点，设点坐标为，由，可得，
又因为，
所以，所以，
所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有，
则，所以，
所以，整理得，
即，即，解得，
符合题意，即存在点满足题意．
22．（12分）
已知关于的方程有两个不同实根，．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）方程，
令，函数在单调递增且，
方程在有两根，
可转化方程在有两根，其中，
令，则在为减函数，在为增函数，
又时，；时，，.
（2）不妨设两根，则，，
令则，
在单调递增，时，，
由得，，
而在单调递减，且，
所以，所以，
，
，又，
，而在单调递增，
.接种天花疫苗与否/人数
感染猴痘病毒
未感染猴痘病毒
未接种天花疫苗
30
60
接种天花疫苗
20
90
0.1
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
+
0
递增
极大值
递减