黄金卷02-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】(1) (2).
【详解】（1），由正弦定理得，
即，
由余弦定理，得.
因为，所以.
（2）由（1）得，
所以的面积为，得，
由及正弦定理，得，
所以.
由余弦定理，得，
所以.
18．（12分）
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，其中，，
若是的中点，则，，，
于是，∴，即．
（2）由题设知，，，是平面内的两个不共线向量．
设是平面的一个法向量，
则，取，得．
又平面的一个法向量是，
∴，
而二面角的余弦值为，因此，
解得或（舍去），此时．
设，而，由此得点，，
∵PQ∥平面，且平面的一个法向量是，
∴，即，解得，从而．
将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，
故四面体的体积．
19．（12分）
【答案】(1)(2)证明见解析(3)．
【详解】（1）由题可得，
∵曲线在处的切线方程为，
∴，即，
∴．
（2）证明：令，
则，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴，
∴，
∴．
（3）∵对任意的恒成立，
∴对任意的恒成立，
令，，
则，
由（2）可知当时，恒成立，
令，可得；令，可得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴，
∴实数k的取值范围为．
20．（12分）
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为.
由，可知，，即
因为为整数，所以，
结合不等式组解得，
所以.
（2）由（1）可知.
当为偶数时，
.
又，即对任意偶数都成立，所以.
同理，当为奇数时，
，
又，即对任意奇数都成立，
易知当奇数时，函数取得最小值-15，
故.
综上，.
21．（12分）
【答案】(1)(2)分布列见解析，
【详解】（1）从甲箱中摸出2个球颜色相同的概率为，
记事件A为最后摸出的2个球颜色不同，事件B为这2个球是从丙箱中摸出的，
则，
，
，
所以；
（2）X的所有可能取值为2，3，4，
则，
，
，
故X的分布列如表：
故.
【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于求分布列时，计算每个值相应的概率，要弄清楚每个值对应的情况，分类求解，注意计算量较大，要十分细心.
22．（12分）
【答案】(1)
(2)面积取到最大值，此时点.
【详解】（1）设d是点P到直线的距离，
根据题意动点P的轨迹就是集合．
由此得．
将上式两边平方，并化简得.
即C的标准方程为.
（2）设，则，
切线方程：，切线方程：，
因为两直线都经过点，
所以可得，
从而直线的方程是，
联立，消去可得，
由韦达定理，得，
所以，
点到直线的距离，
所以，其中，
令，则，所以，
令，则，
在上递增，
即，即时，的面积取到最大值，
此时点.
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
B
B
C
D
A
D
9
10
11
12
BD
ACD
ACD
AC
X
2
3
4
P