广东省深圳市龙华区2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份广东省深圳市龙华区2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了 已知，则的化简结果是， 已知，若，，，则， 下列是函数图象的是等内容，欢迎下载使用。

说明：
1.本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的条形码贴在答题卡上.
3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案.
4.非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据补集和并集的定义运算即得.
【详解】全集，集合，，
所以，
因此，.
故选：D.
2. 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据弧长公式，结合弧度制与角度制互化公式进行求解即可.
【详解】弧长为的弧所对的圆心角为，
故选：B
3. 下列条件中，使成立的充要条件是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义及指数函数的性质逐项分析即得.
【详解】对A，取，则，错误；
对B，取，则，错误；
对C，，正确；
对D，取，则无意义，错误.
故选：C．
4. 下列是奇函数，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.
【详解】对A，函数是奇函数，在上单调递减，故错误；
对B，函数是非奇非偶函数，故错误；
对C，函数是非奇非偶函数，故错误；
对D，函数是奇函数，在上单调递增，故正确.
故选：D
5. 神舟十五号载人飞船于2022年11月30日到达中国空间站，并成功对接，完成了中国空间站的最后一块拼图.已知中国空间站离地球表面的高度约为千米，每分钟绕地球一圈.若将其运行轨道近似地看成圆形，运行轨道所在平面与地球的截面也近似地看成直径约为千米的圆形，则中国空间站在轨道中运行的速度约为（）（ ）
A. 千米/秒
B. 千米/秒
C. 千米/秒
D. 千米/秒
【答案】A
【解析】
【分析】求出半径，再根据圆的周长公式求出运行的长度，除以时间即可得到速度.
【详解】根据直径为千米，则半径为6210千米，则运行速度千米/秒.
故选：A.
6. 已知，则的化简结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式及平方关系化简即可.
【详解】因为，所以，，则，
所以
.
故选：A
7. 已知，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算和对数函数的单调性进行判断即可.
【详解】，
，
，
因为函数是正实数集上的增函数，
所以有
故选：C
8. 已知函数，则的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据零点存在定理，只需判断两个端点的函数值，即两个端点函数值异号即可.
【详解】由已知得，，，， ，
所以，由零点的存在定理得，的零点所在的区间为，
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列是函数图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解..
【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，
因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.
故选：ABD.
10. 下列函数中，最小正周期是，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据已知条件结合选项逐项验证，可得答案.
【详解】A，，最小正周期为，在区间上单调递增，故A正确；
B，，最小正周期为，且在上单调递增，故B正确；
C，，最小正周期为，且在上不具有单调性，故C错误；
D，，最小正周期为，且在上单调递减，故D错误.
故选：AB.
11. 已知函数，下列说法正确是（ ）
A. 的定义域是B. 的图象关于原点对称
C. D. 当时，最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】由函数解析式，根据奇偶性的定义，可得A、B的正误；根据函数解析式可得函数值可得C的正误；根据余弦函数的性质，可得D的正误.
【详解】对A，由函数，其定义域为，故A错误；
对B，，故函数为奇函数，故B正确；
对C，因为，故C正确；
对D，当时，，则，故D错误.
故选：BC.
12. 已知函数的定义域为，若对，均有，则称函数具有“倒负”变换性质.下列具有“倒负”变换性质的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题中定义，结合分类讨论思想逐一判断即可.
【详解】A：，因此本函数不具有“倒负”变换性质；
B：，因此本函数具有“倒负”变换性质；
C：当时，，
当时，，因此本函数具有“倒负”变换性质；
D：当时，，
当时，，因此本函数具有“倒负”变换性质，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：利用代入法，结合分段函数的解析式进行分类讨论是解题的关键.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域是___________.
【答案】且
【解析】
【分析】
根据真数大于0，分母不为0，即可求得答案.
【详解】由题意得，解得且，所以定义域为：且
故答案为：且
14. 化简的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数幂的运算律运算即得.
【详解】，
故答案为：.
15. 已知S市某所新建高中年的绿化面积为，若该校绿化面积的年平均增长率为％，则到_______年（用整数年份表示），该校的绿化面积约是.（参考数据：，）
【答案】
【解析】
【分析】设经过n年后，该校的绿化面积约是，由已知可得n的关系式，再通过两边取对数，利用对数运算求解即可．
【详解】设经过n年后，该校的绿化面积约是，
则由已知得，即，
两边取对数得，
，
故答案为：．
16. 已知，，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式结合条件即得.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数.
（1）当时，求的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）4； （2）或.
【解析】
【分析】（1）将代入求解；
（2）根据，求解即得.
【小问1详解】
∵函数，
∴当时，；
【小问2详解】
函数的定义域为，
因为，所以，
即，解得或；
所以或.
18. 如图所示，在直角坐标系内，锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，并与单位圆交于点.
（1）用含的式子表示点的坐标；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由三角函数定义，根据题中条件，即可用含的式子表示点的坐标；
（2）法一：根据题中条件，由同角三角函数的平方关系和商数关系，联立方程组求解即可；
法二：根据题中条件，由同角三角函数基本关系可得，①，②，联立方程组求解即可．
【小问1详解】
依题意得：，
由三角函数定义知，，
，
所以点的坐标为
【小问2详解】
法一：因，所以①
又因为②，
联立①②解得或，
所以或.
法二：因为，所以①
两边平方得，所以，
又因为，所以②
当时，解得，
此时
当时，解得，
此时或．
19. 已知函数，.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最小值.
【答案】（1）（）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用整体代入法与余弦函数的性质求解即可；
（2）利用余弦函数的性质，结合整体法求解即可.
【小问1详解】
设，∵，的单调递增区间是，，
∴由，，解得，，
∴函数的单调递增区间为（）.
【小问2详解】
∵，∴，
∴由余弦函数的性质，
当，即时，的最小值为，此时，
∴当时，在区间上的最小值为.
20. 已知函数，.
（1）证明是增函数；
（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可；
（2）法一：利用函数的单调性，把问题转化为在上恒成立，再求在上的最大值即可；
法二：原不等式可转化为，再通过换元转化为二次不等式在给定区间的恒成立问题，利用二次函数性质求解即可．
【小问1详解】
证明：，且，
，
因为，函数在上单调递增，所以，
又，故，即.
因此，是增函数.
【小问2详解】
法一：由（1）知在上单调递增，
所以，
所以不等式可变为，
即，
令，则在上单调递减，
当时，取得最大值，所以，
综上所求得的取值范围是.
法二：由不等式得，
整理得，
令，即，
即，
因为，所以，，
所以要使原不等式恒成立，则有，
即，，
故的取值范围是
21. 已知函数.
（1）若，证明：；
（2）若是定义在上的奇函数，且当时，.
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）求方程的所有根.
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ）；（ⅱ），，
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的性质，基本不等式结合条件即得；
（2）根据奇函数的性质可得函数的解析式，方程转化成曲线与直线的交点情况，结合函数的图象和性质即得.
【小问1详解】
证明：因为，
所以，，
由基本不等式，当时，，
即，
即；
【小问2详解】
（ⅰ）依题意得，当时，，
因为是定义在上奇函数，所以，代入上式成立，
即当时，，
设，则，所以，
所以；
（ⅱ）方程转化成曲线与直线的交点情况，
当时，与交于点和点，

由（1）知图象总是向上凸的，所以除外不会有其它交点，
同理，当时，根据对称性，两个图象还有一个交点，
所以方程有三个根，，.
22. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线(在上).经测算，若以为轴，为轴建立平面直角坐标系，则左侧曲线上的任一点在抛物线上，而右侧曲线上的任一点在以为顶点的抛物线上.
（1）求桥的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中，在上（不包括端点）.若桥墩每米的造价为（万元），桥墩每米的造价为（万元），则当为多少米时，两个桥墩的总造价最低？
【答案】（1）120米；
（2）32.
【解析】
【分析】（1）根据A,B高度一致结合条件即得结果；
（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用二次函数的性质即得.
【小问1详解】
由得，
所以，，
解得，即，
所以桥的长度为(米)；
【小问2详解】
设，则，，
依题意得，由（1）得，
，
所以，
所以两个桥墩的总造价，
化简得，
所以当米时，两个桥墩的总造价最低.