2022-2023学年吉林省长春市绿园区八年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年吉林省长春市绿园区八年级（下）开学数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.10的算术平方根是( )
A. 10B. 10C. − 10D. ± 10
2.计算(−2a2)3的结果是( )
A. −6a6B. −8a6C. 6a5D. −8a5
3.若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
4.计算3a(5a−2b)的结果是( )
A. 15a−6abB. 8a2−6abC. 15a2−5abD. 15a2−6ab
5.如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠AOB=∠NCB，作图痕迹中，弧FG是( )

A. 以点C为圆心，OD为半径的弧B. 以点C为圆心，DM为半径的弧
C. 以点E为圆心，OD为半径的弧D. 以点E为圆心，DM为半径的弧
6.如图，正方形中阴影部分的面积为( )
A. a2−b2
B. a2+b2
C. ab
D. 2ab
7.如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE=5，AC=7，则BD长( )
A. 12B. 7C. 2D. 14
8.如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E.若AB=10cm，AC=8cm，则△ACD的周长是( )
A. 12cm
B. 18cm
C. 16cm
D. 14cm
二、填空题：本题共7小题，共24分。
9.−1的立方根是______．
10.若 211.计算：(14a2−7a)÷7a= ．
12.如图，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD，若BD=3，则DE=______．
13.如图，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD=5，则OE的最小值为______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=______时，△ABC和△PQA全等．
15.从甲地到乙地，长途汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需4个小时即可到达．求甲、乙两地之间高速公路的路程．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.因式分解：
(1)ax2−4ay2
(2)x3−8x2+16x
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
先化简，再求值：(2x+3y)2−(2x+y)(2x−y)，其中x=−12.y=1．
18.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=BC，BD是∠ABC的平分线，DE/​/BC．
(1)求证：BE=DE；
(2)若∠ABC=100°，求∠ADE的度数．
19.(本小题7分)
对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境，为了调查同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试，把测试成绩分成“优、良、中、差”四个等级，绘制了如图不完整的统计图：

根据以上统计信息，解答下列问题：
(1)求成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比；
(2)求本次随机抽取问卷测试的人数；
(3)请把条形统计图补充完整；
(4)扇形统计图中成绩是“良”的圆心角的度数是______°.
20.(本小题7分)
如图①、图②均是10×10的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图(保留作图痕迹，不要求写出画法)，并回答问题．
(1)在图①中，作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′；
(2)在图②中，在MN上画出点P，使得PA+PC最小；
(3)△ABC的面积是______．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD.若AB=10，AC=17，BD=6，AD=8．
(1)求∠ADB的度数；
(2)求BC的长．
22.(本小题9分)
某学校计划购进一批电脑和电子白板，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元；购进2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
(2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有哪几种购买方案？
(3)请你求出学校在(2)的购买活动中最多需要多少资金？
23.(本小题10分)
探究：如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．若AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．
应用：如图②，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为______．
24.(本小题12分)
如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿射线AB，射线BC匀速运动，它们的速度都是1cm/s，设点P的运动时间为t(t>0)s．
(1)用含t的代数式表示线段BP(BP>0)；
(2)当PQ//AC时，求t的值；
(3)当△PBC是等腰三角形时，求t的值；
(4)当△PBQ是直角三角形时，直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵10的平方根为± 10，
∴10的算术平方根为 10．
故选：B．
一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．利用概念即可解决问题．
此题主要考查了算术平方根的定义，弄清概念是解决本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：(−2a2)3=(−2)3(a2)3=−8a6．
故选：B．
积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
本题考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得(n−2)×180=1800，
解得n=12，
∴这个多边形是12边形．
故选：D．
n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，设这个正多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．
此题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和为(n−2)×180°是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：3a(5a−2b)=15a2−6ab．
故选：D．
根据单项式乘以多项式，先用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加计算．
此题考查单项式乘多项式，关键是根据法则计算．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查作图−尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤.根据作一个角等于已知角的步骤即可得．
【解答】
解：作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，
故选D．
6.【答案】D
【解析】解：阴影部分的面积为(a+b)2−12a2×2−12b2×2=2ab，
故选：D．
根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可．
本题考查三角形和正方形的面积，掌握图形中各个部分面积之间的关系是正确解答的关键．
7.【答案】A
【解析】由全等三角形的性质得到AC=DC=7，CB=CE=5，再根据BD=DC+CB即可得解．
解：∵△ABC≌△DEC，
∴AC=DC，CB=CE，
∵CE=5，AC=7，
∴CB=5，DC=7，
∴BD=DC+CB=7+5=12．
故选：A．
此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴△ACD的周长=AD+DC+AC=AD+DB+AC=AB+AC=18(cm)，
故选：B．
根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9.【答案】−1
【解析】解：∵(−1)3=−1
∴−1的立方根是−1．
直接利用立方根的定义计算．
此题主要考查了立方根的定义，注意负数的立方根还是负数．
10.【答案】2
【解析】【分析】
此题考查了估算无理数的大小，正确估算出 2<2< 5是解题的关键．
根据 2<2< 5即可得解．
【解答】
解：∵ 2<2< 5， 2∴a=2，
故答案为2．
11.【答案】2a−1
【解析】解：(14a2−7a)÷7a
=14a2÷7a−7a÷7a
=2a−1．
故答案为：2a−1．
根据整式除法的法则对式子进行运算即可．
本题主要考查整式的除法，解答的关键是熟记并灵活运用整式的除法法则．
12.【答案】3
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE=12∠ABC=30°．
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E．
∵∠ACB=60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E=60°．
∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠DBE=∠DEB=30°，
∴DE=BD=3．
故答案为3．
根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE=∠E=30°，根据等角对等边得出DE=BD=3．
本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结合求解．考查了学生综合运用数学知识的能力，得到∠E=30°是正确解答本题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，OD=5，
∴O到AB的距离等于OD的长，
根据垂线段最短，可知OE最小值为5．
故答案为：5．
利用角平分线的性质即可，
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，利用垂线段最短是关键．
14.【答案】5或10
【解析】解：当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
①当AP=5=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
AB=QPBC=PA
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)，
②当AP=10=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
AB=PQAC=PA
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL)，
故答案为：5或10．
当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．
15.【答案】解：设甲、乙两地之间高速公路的路程为x千米．
根据题意，得x+307+30=x4，
解这个方程，得 x=320．
答：甲、乙两地之间高速公路的路程为320千米．
【解析】等量关系为：高速公路的路程除以相应时间−30=普通公路的路程除以相应时间，把相关数值代入可得方程，解出即可．
本题考查一元一次方程的应用，得到汽车在高速公路行驶和普通公路行驶的速度之间的等量关系是解决本题的关键．
16.【答案】解：(1)ax2−4ay2=a(x2−4y2)=a(x+2y)(x−2y)；
(2)x3−8x2+16x=x(x2−8x+16)=x(x−4)2．
【解析】(1)先提公因式a，再利用平方差公式分解可得；
(2)先提取公因式x，再利用完全平方公式分解可得．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
17.【答案】解：(2x+3y)2−(2x+y)(2x−y)
=4x2+12xy+9y2−4x2+y2
=12xy+10y2，
当x=−12，y=1时，
原式=12×(−12)×1+10×12
=−6+10
=4．
【解析】本题主要考查整式的混合运算−化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算顺序和运算法则．
先利用完全平方公式与平方差公式化简，再合并同类项，最后代入计算即可．
18.【答案】解：(1)∵AB=BC，BD是∠ABC的平分线，
∴D为AC的中点，
∵DE/​/BC，
∴E为AB的中点，
∴BE=12AB，DE=12BC，
∴BE=DE．
(2)∵∠ABC=100°，
∴∠C=12(180°−∠ABC)=40°，
∵DE/​/BC，
∴∠ADE=∠C=40°．
【解析】(1)根据三角形中位线定理可求出DE=12BC=12AB，即可证得结论．
(2)根据平行线及三角形内角和定理可求出∠ADE的度数．
本题考查的是平行线，角平分线，及三角形中位线的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
19.【答案】126
【解析】解：(1)72°÷360°=20%，
即“优”的人数占抽取人数的百分比为20%；
(2)40÷20%=200(人)，
即抽取检测的人数为200人；
(3)“中”的人数为：200−40−70−30=60(人)，
画图如下：
(4)扇形统计图中成绩是“良”的圆心角的度数是360°×70200=126°，
故答案为：126．
(1)根据“优”所对的圆心角度数除以360°即可求解；
(2)用“优”的人数除以其所占比例即可求解；
(3)用总人数减去“优”、“良”、“差”的人数即可求出“中”的人数，据此画图即可；
(4)总人数乘以“良”的人数和所占的比例即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，求扇形圆心角度数和画条形统计图的知识．根据“优”所对的圆心角度数求出该项人数所占比例是解答本题的关键．
20.【答案】5.5
【解析】解：(1)如图①所示，△A′B′C′，即为所求，
(2)作点C关于MN的对称点C′，连接AC′交MN于点P，则点P即为所求；
(3)S△ABC=3×4−12×1×3−12×2×3−12×1×4=5.5．
(1)根据轴对称性质找到△ABC的顶点关于直线MN的轴对称的对应点A′，B′，C′顺次连接即可；
(2)根据轴对称的性质，作点C关于MN的对称点C′，连接AC′交MN于点P，则点P即为所求；
(3)根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．
本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，三角形面积问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB=90°；
(2)在Rt△ACD中，CD2=AC2−AD2=172−82=225，
∴CD=15；
∴BC=BD+CD=6+15=21，
答：BC的长是21．
【解析】(1)根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形；
(2)利用勾股定理求出CD的长，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．
22.【答案】解：(1)设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，
根据题意得：x+2y=3.52x+y=2.5，
解得，x=0.5y=1.5，
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元；
(2)设需购进电脑m台，则购进电子白板(30−m)台，
根据题意得：0.5m+1.5(30−m)≥280.5m+1.5(30−m)≤30，
解得：15≤m≤17，
又∵m为正整数，
∴m可以为15，16，17，
∴共有3种购买方案：
方案1：购进电脑15台，电子白板15台；
方案2：购进电脑16台，电子白板14台；
方案3：购进电脑17台，电子白板13台．
(3)选择方案1所需费用为0.5×15+1.5×15=30(万元)；
选择方案2所需费用为0.5×16+1.5×14=29(万元)；
选择方案3所需费用为0.5×17+1.5×13=28(万元)．
∵30万元>29万元>28万元，
∴学校在(2)的购买活动中最多需要30万元．
【解析】(1)设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据“购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元；购进2台电脑和1台电子白板需要2.5万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设需购进电脑m台，则购进电子白板(30−m)台，利用总价=单价×数量，结合总价不超过30万元且不低于28万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案；
(3)利用总价=单价×数量，可求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；(3)根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需费用．
23.【答案】6
【解析】探究：证明：∵∠A=∠BAE+∠ABE，
∠BAC=∠CAF+∠BAE，
又∵∠1=∠BAC，
∴∠ABE=∠CAF，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠CFA，
在△ABE和△CAF中，
∠AEB=∠CFA∠ABE=∠CAFAB=AC，
∴△ABE≌△CAF(AAS)；
应用：解：由(1)知△ABE≌△CAF，
∴S△ABE=S△CAF，
∴S△ABE+S△CAF=S△ACD，
∵CD=2BD，△ABC的面积为9，
∴S△ACD=23S△ABC=6，
∴△ABE与△CDF的面积之和为6，
故答案为：6．
探究：根据∠A=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠CAF+∠BAE，可得∠ABE=∠CAF，根据∠1=∠2，可得∠AEB=∠CFA，根据AAS证明即可；
应用：根据全等三角形的性质可得S△ABE=S△CAF，进一步可得S△ABE+S△CAF=S△ACD，再根据CD=2BD，求出△ACD的面积，即可求出△ABE与△CDF的面积之和．
本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由△ABC是边长为3cm的等边三角形，可得：∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，，
根据题意可得：AB=AC=BC=3，AP=BQ=t，
当点P在线段AB上时，0则有：BP=AB−AP=3−t，
在点P线段AB的延长线上时，t>3，
则有：BP=AP−AB=t−3，
即：BP=3−t(03)；
(2)如图1，当点P在线段AB上时，0
∵PQ/​/AC，
∴∠BQP=∠BCA=60°，∠BPQ=∠BAC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP=BQ，
∴3−t=t，即t=32；
当点P线段AB的延长线上时，不存在PQ//AC，
综上：t=32；
(3)当点P在线段AB上时，如图2，

∴∠PCB=∠ACB−∠ACP<60°，∠CPB=∠CAB+∠ACP>60°，
∵∠PBC=60°，
∴此时△PBC不可能是等腰三角形时，
当点P线段AB的延长线上时，如图3，

∵∠ABC=60°，
∴∠PBC=120°，即△PBC是钝角三角形，
∴只存在PB=BC情况，
∴t−3=3，即t=6；
(4)若∠PQB=90°，如图4，

∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴PB=2BQ，
即3−t=2t，解得：t=1；
若∠BP′Q′=90°，如图5，

同理可得2P′B=BQ′，
即2×(3−t)=t，解得：t=2，
综上，t=1或t=2．
【解析】(1)分点P在线段AB上和在线段AB的延长线上两种情况上，直接列式即可；
(2)当点P在线段AB上时，0(3)当点P在线段AB上时，可证明△PBC不可能是等腰三角形时，当点P线段AB的延长线上时，可证明△PBC是钝角三角形，即只存在PB=BC情况，问题得解；
(4)运用分类讨论的数学思想，按∠PQB=90°或∠BP′Q′=90°两种情况逐一解析，即可解决问题．
该题主要考查了等边三角形的判定及其性质、平行线的性质、直角三角形的边角关系等几何知识点及其应用问题，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质．