2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题六　微重点10　离心率的范围问题19

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考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
例1 (1)(2023·三亚模拟)已知F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点，若过原点的直线与椭圆交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
(2)(2023·咸宁模拟)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝24，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则3e1e2的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，＋∞)) B．(1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
规律方法 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．
跟踪演练1 (2023·亳州模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为__________．
考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
例2 (1)(2023·张掖模拟)若椭圆E：x2＋eq \f(y2,1－m2)＝1(00)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(1,1＋eq \r(2)) B．(1,1＋eq \r(3))
C．(1,1＋eq \r(2)] D．(1,1＋eq \r(3)]
规律方法 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．
跟踪演练2 设M是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点，P是C上的一个动点．当P运动到下顶点时，|PM|取得最大值，则C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围
例3 (1)(2023·榆林模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若cs∠PAQ≥－eq \f(3,5)，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，eq \r(13)] B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(21),3))) D．[eq \r(21)，＋∞)
(2)(2023·无锡模拟)已知点P在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，P到两渐近线的距离
分别为d1，d2，若d1d2≤eq \f(1,2)|OP|2恒成立，则C的离心率的最大值为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
规律方法 利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．
跟踪演练3 (2023·成都模拟)已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，设∠PF1F2＝θ，当双曲线C的离心率范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\r(3)))时，θ的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,12))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,3)))